精品解析：重庆市第十一中学校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

重庆十一中高2024届高三上12月质量监测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 若复数满足，其中是虚数单位，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中所有项的系数和为（ ） A. 2048 B. 1024 C. 512 D. 2024 4. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 6. 设，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中女生的“50米跑”测试数（单位：秒）服从正态分布，且，现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（ ） A. 由，类比为： B. 由，类比为： C. 由，类比为 D. 由，类比为： 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数有两个零点 C. 方程有且仅有1个解时m的取值范围为或 D. 函数有极大值，无极小值 12. 设随机变量ξ的分布列如下，则下列说法正确的是（ ） ξ 1 2 3 … 2020 2021 2022 2023 P … A. 当为等差数列时， B. 数列的通项公式可能为 C. 当数列满足（，3，…，2023）时， D. 当数列满足（，2，…，2023）时， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设是定义域为的奇函数，且.若，则______. 14. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 15. 等比数列的首项为4，公比为3，前n项的和为，若（n，），则的最小值为______. 16. 已知函数的图象过，若有4个不同的正数满足，且（），则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设数列的前n项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求. 18. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面ABC的射影为BC的中点N，M为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱柱的体积和表面积. 19. 已知函数. （1）若，求ω的最小值； （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，，若点M是边上一点，，且，求的面积. 20. 直播带货是扶贫助农的一种新模式，利用网络主播的公信力助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我市忠县是蜜桔种植大县，在蜜桔成熟季节通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱.已知最近5天单日直播总时长（即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与蜜桔的单日销售量（单位：百箱）之间的统计数据如下表： 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 可用线性回归模型拟合与之间的关系. （1）试求变量与的经验回归方程； （2）若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？ （3）直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱：若采用甲款包装箱，成本为元/箱，且每箱坏果的个数X服从，若采用乙款包装箱，成本元/箱，且箱坏果的个数Y服从，请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大？ 21. 已知双曲线过点，且双曲线C的渐近线方程为． （1）求双曲线C的方程； （2）如图，若直线l与双曲线C的两支分别于A，B两点，直线l与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线l使得坐标原点O在以为直径的圆上且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数（其中为自然对数的底数），． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的都有不等式成立，求实数a的值． （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中高2024届高三上12月质量监测 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 若复数满足，其中是虚数单位，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算规则进行计算，即可得. 【详解】，. 故选：A 2. 已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，根据充分、必要条件判断即可. 【详解】由解得， 则A项是命题p的充要条件，故A错误； 由， 则B项是命题p的充分条件，故B错误； 由，且， 则C项是命题p的一个必要不充分条件，故C正确； 由，且， 则D项是命题p的既不充分也不必要条件，故D错误； 故选：C. 3. 的展开式中所有项的系数和为（ ） A. 2048 B. 1024 C. 512 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】直接由赋值法即可求解. 【详解】设，在该式中令， 可得. 故选：B. 4. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到双曲线的一条渐近线，圆心坐标与半径，再根据圆心到直线的距离等于半径及的关系计算可得. 【详解】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为，即， 圆的圆心为，半径， 依题意，，又，整理可得， 所以. 故选：C. 5. 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系，利用作差法求得，所以是首项为2，公差为的等差数列，求解即可. 【详解】当时， 所以，两式相减得：， 所以，即， 由于正项数列，所以，即， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：B 6. 设，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可求解. 【详解】首先有，其次因为， 所以， 所以. 故选：C. 7. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化简得，再根据条件切化弦及正余弦定理有，求值即可. 【详解】已知，由余弦定理得，所以， . 故选：A. 8. 已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的几何意义为两动点与的距离，A在曲线上，B在曲线上，为抛物线的焦点，的最小值就是，即求点到曲线上点的最小值，通过设点，由两点间距离公式，利用导数求最值. 【详解】的几何意义为两动点与的距离， A在曲线上，B在曲线上，抛物线开口向右， 焦点， 作出两曲线与的图象，如图所示， 可得 ，， 的最小值就是， 即求点到曲线上点的最小值. 取曲线上点，， 令，则， 函数单调递增，且， 则有在上为负，在上为正， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，则的最小值为， 即的最小值为， 所以实数m的最大值是. 故选：D. 【点睛】思路点睛：某些代数式的最值问题，用代数方法解决相当繁琐，如果所求代数式具有某种几何意义，根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解析几何基本模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法，能使我们在的问题简化，使解题变得更轻松，这对于开拓思路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中女生的“50米跑”测试数（单位：秒）服从正态分布，且，现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，二项分布的概念及期望逐一对选项进行分析即可. 【详解】因为服从正太分布, 故. 又因为， 所以， 所以，故A错误，B正确； 5人“50米跑”的测试数据符合二项分布，即，故C正确； 由二项分布的期望公式得，故D错误. 故选：BC. 10. 将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（ ） A. 由，类比为： B. 由，类比为： C. 由，类比为 D. 由，类比为： 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可. 【详解】设，，则， 所以，，A正确； ，，C错误； 设， 所以，， 因为复数与实数不能比较大小，故D错误， ， ， 因为， ， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 故，又， 所以，B正确； 故选：AB. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数有两个零点 C. 方程有且仅有1个解时m的取值范围为或 D. 函数有极大值，无极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】求函数的定义域与导数，分析函数的单调性与图象趋势，作出函数的大致图象，数形结合可判断各选项. 【详解】函数的定义域为. 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递减. 所以在处取极大值，极大值为且； 又当 当. 由此，作出函数的大致图象（如图）. A项，当时，，，所以不是单调递减的，故A错误； B项，由图象可知，函数的图象与轴有两个交点，即有两个零点，故B正确； C项，由图象可知要使直线与的图象有且仅有一个公共点时，则，或，故C错误； D项，函数在处取极大值，由图象可知有极大值，无极小值，故D正确. 故选：BD. 12. 设随机变量ξ的分布列如下，则下列说法正确的是（ ） ξ 1 2 3 … 2020 2021 2022 2023 P … A. 当为等差数列时， B. 数列的通项公式可能为 C. 当数列满足（，3，…，2023）时， D. 当数列满足（，2，…，2023）时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，若为等差数列，则根据等差数列性质以及项和可判断A选项；对B，可变形为，裂项相加法可验证，可判断B选项；对C，根据等比数列可求出，再根据，可求出，可判断C选项；对D根据递推公式可得，根据各项乘可求出，再根据，可求得，则可判断D选项. 【详解】对A，若为等差数列，设公差为， 所以， 则， 化简可得，故A错误； 对B，可变形为， ，故B正确； 对C，根据等比数列可求出， ，故C正确； 对D，令，则 根据递推公式可得，所以 ， ， 化简可得，则，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设是定义域为的奇函数，且.若，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与周期性，结合特定的函数值，求给定的函数值. 【详解】根据题意得，是定义在上的奇函数，所以有， 又，所以，所以， 所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 14. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，， 得在方向上的投影向量为. 故答案为：. 15. 等比数列的首项为4，公比为3，前n项的和为，若（n，），则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求出数列的通项和，从而由题设可得即或，故可求的最小值. 【详解】由题设有，， 因为，故， 所以即，即， 因为为非零的自然数，故或， 故的最小值为， 故答案为：. 16. 已知函数的图象过，若有4个不同的正数满足，且（），则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，求得三角函数的解析式，并作图，根据对称性，列举法得到所有结果和满足要求的结果，结合概率公式，可得答案. 【详解】∵函数的图象过， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∴的周期为2，作出的函数图象如图所示： 由图象可知都是的对称轴， ∵有4个不同的正数满足，且（）， ∴， ∴从4个数中任选2个，有共6种选法， 其中和不超过5的选法共有4种，分别是， ∴和不超过5的概率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 由题意求得函数解析式为，由的对称性、周期性，得的图象与的交点横坐标，根据图象的对称性可得任意两数之和与5的关系，用列举法求得事件的总数，得出概率． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设数列的前n项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可求通项； （2）利用分组求和法可求. 【小问1详解】 当时，； 当时，即， 而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以满足通项，所以. 【小问2详解】 当为奇数时，，当为偶数时，， . 18. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面ABC的射影为BC的中点N，M为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱柱的体积和表面积. 【答案】（1） 如图，因为M，N分别为，BC中点，所以，所以四点共面， 又面ABC，连AN，因为平面，则， 又，有，又，面，面，于是面， 又面，平面面， （2）； 【解析】 【分析】（1）由已知条件，通过证明面，证得平面面； （2）由棱柱的体积和表面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，则，， ，，； 又，则到AB距离和AC距离相等， 且为，所以， ，， 所以表面积为. 19. 已知函数. （1）若，求ω的最小值； （2）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，，若点M是边上一点，，且，求的面积. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和诱导公式化简可得，进而由和可求ω的最小值； （2）由，，可得，，，进而利用余弦定理可得，又利用可得，由两个方程相减可得，从而可判断是直角的三角形，并求得面积. 【小问1详解】 由题意可得： . 则，即 所以或， 则或， 结合可得，令，. 【小问2详解】 因为，即，又，所以. 因为，所以，，如图所示： 又，所以. 在中，由余弦定理得，即，① 又，所以， 两边平方得， 即，所以，② ②①得，所以， 代入①得， 在中，， 所以是以为直角的三角形， 所以的面积为. 20. 直播带货是扶贫助农的一种新模式，利用网络主播的公信力助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我市忠县是蜜桔种植大县，在蜜桔成熟季节通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱.已知最近5天单日直播总时长（即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与蜜桔的单日销售量（单位：百箱）之间的统计数据如下表： 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 可用线性回归模型拟合与之间的关系. （1）试求变量与的经验回归方程； （2）若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？ （3）直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱：若采用甲款包装箱，成本为元/箱，且每箱坏果的个数X服从，若采用乙款包装箱，成本元/箱，且箱坏果的个数Y服从，请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大？ 【答案】（1） （2）9 （3） 当时，采用两款包装箱获得的利润一样；当时，采用甲款包装箱获得的利润更大；当时，采用乙款包装箱获得的利润更大. 【解析】 【分析】（1）计算出，由已知数据，代入公式中算出，即可得经验回归方程； （2）依题意代入经验回归方程可得所需时长的范围，进而求得所需主播数； （3）分别计算出采用甲乙款包装箱每箱的利润的期望，并比较大小，得出方案. 【小问1详解】 由题意得，， 又，， 所以， 所以，所以经验回归方程为； 【小问2详解】 根据题意得，解得， 又，所以至少要请9位主播进行直播； 【小问3详解】 设采用甲款包装箱每箱获得的利润的数学期望为， 则 ； 设采用乙款包装箱每箱获得的利润的数学期望为， 则； 令，解得， 因为，所以令，解得； 令，解得. 综上所述，当时，采用两款包装箱获得的利润一样；当时，采用甲款包装箱获得的利润更大；当时，采用乙款包装箱获得的利润更大. 21. 已知双曲线过点，且双曲线C的渐近线方程为． （1）求双曲线C的方程； （2）如图，若直线l与双曲线C的两支分别于A，B两点，直线l与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线l使得坐标原点O在以为直径的圆上且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 假设满足题意的直线l存在． 易知直线斜率存在，设直线的方程为， ，， 联立，整理得， 且， 解得且． 由韦达定理有 则 ， 因为M为直线与渐近线的交点， 联立 ，解得， ∴M点的坐标为，同理可得N点的坐标为， 则， 由题知，， 即， 整理得．① 因为原点O在以为直径得圆上， ∴，，， ， 整理得．② 联立①②得，，无解，故没有满足条件的直线l． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线即可联立求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，进而根据弦长公式求解,根据两点距离求解，根据已知条件建立方程求解即可. 【小问1详解】 由题意有，，① 将点代入双曲线方程得，② 联立①②解得， 故双曲线C的方程为 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直线与双曲线的相交问题.曲线与直线相交是解析几何的主要题型，常采用联立直线与曲线的方程，得到跟与系数的关系，利用弦长公式求解弦长，以及结合点到直线的距离求解面积，也常涉及到最值问题，解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 22. 已知函数（其中为自然对数的底数），． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的都有不等式成立，求实数a的值． （3）设，证明：． 【答案】（1） 当时，函数在区间上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）； （3） 由（1）知，当 时，对任意实数x，都有， 即，当且仅当时，等号成立. 令，，2，3，…，，， 则，即， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）求出，分类讨论以及，根据导函数的符号即可得出函数的单调性； （2）由已知得，求出，经分析可得.构造，可知在上单调递增.分以及，根据零点存在定理可知都有唯一解，有，进而得到的单调性和最小值.令，可得，又可证得，即可得到，进而求出a的值； （3）由（1）知，当时，可推出成立，且仅在时取等号.令，进而推得.代入根据等比数列前项和公式即可证明. 【小问1详解】 解：函数定义域为R，． ①当时，恒成立，函数在区间上单调递增； ②当时，解可得. 解，得，所以函数在上单调递增； 解，得，所以函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 令，定义域为， . ①当时，单调递增，的值域为R，不符合题意； ②当时，，也不符合题意； ③当时，令，则 恒成立， 所以在上单调递增. 当时，，又，根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，有，此时； 当时，，又，根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，有，此时. 综上所述，对，都有唯一解，有，此时. 又当时，，即，所以在上单调递减； 当时，，即，所以在上单调递增. 所以， 故只需. 令，上式即转化为，设，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，当时，有最大值，所以， 所以. 又，所以，所以. 由，解得． 综上所述，满足条件的实数a的值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点，以及证明不等式．解题关键是问题的转化．如不等式恒成立，转化为求函数的最值或取值范围，不等式的证明采用 ，这个关键的不等式入手， 从而再用换元法证得结论．解题中注意变化的技巧与方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $