专题训练1-2 二次函数的五种简单应用专练-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题训练 二次函数的三种简单应用专练 类型一 销售类二次函数最值问题 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 2．（2024•曹妃甸区模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【分析】根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润． 【解答】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元， 由题意可得：w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000， ∴当x＝70时，w取得最大值， 故选：D． 3．（2023秋•拱墅区月考）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 　y＝﹣　，宾馆利润最大利润是 　10240　元． 【分析】设房价x元，则增加的房间数为个，宾馆的利润为y元，根据利润等于（房价﹣40）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：设设房价x元，宾馆的利润为y元，由题意得： y＝（x﹣40）（50﹣） ＝﹣ 即：y＝﹣， ∵y＝﹣ ＝﹣（x﹣360）2+10240 a＝﹣＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝360时，y有最大值，为10240． 此时房间定价为360元． ∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：y＝﹣，10240． 4．（2024•南通模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）； （2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890， ∵﹣10＜0， ∴当x＜57时，w随x的增大而增大， ∵44≤x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元； （3）依题意剩余利润为（w﹣200）元， ∵捐款后每天剩余利润不低于2200元， ∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200， 由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64， ∵﹣10＜0，44≤x≤52， ∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52， 答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52． 5．（2024春•乐清市期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为 　110　个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为 　（120+10x）　个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【分析】【任务一】依据题意，由售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元/个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元/个，每天可多卖出10个，可得当降价x元/个时，可得平均每天销售数量； 【任务二】依据题意，若设涨价y元/个时，可得 （25﹣5+y）（120﹣5y）＝2520，进而可得Δ＝16﹣96＝﹣80＜0，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价x元/个时，则得 （25﹣5﹣x）（120+10x）＝2520，进而计算可以得解； 【任务三】依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润＝（25﹣5﹣x）（120+10x）＝﹣10x2+80x+2400＝﹣10（x﹣4）2+2560，再由二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：【任务一】由题意，∵售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个， 又涨价2元/个， ∴平均每天销售数量为：120﹣2×5＝110（个）． 又售价每下降1元/个，每天可多卖出10个， ∴当降价x元/个时，平均每天销售数量为：（120+x×10）＝（120+10x）个． 故答案为：110；（120+10x）． 【任务二】 由题意，若设涨价y元/个时， 得 （25﹣5+y）（120﹣5y）＝2520， 化简得 y2﹣4y+24＝0． ∴Δ＝16﹣96＝﹣80＜0． ∴涨价不能使利润达到2520元． 若设降价x元/个时， 得 （25﹣5﹣x）（120+10x）＝2520， 化简得 x2﹣8x+12＝0， ∴解得 x1＝2，x2＝6． ∴将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． 【任务三】 ∵尽快减少库存， ∴采取降价促销． ∴每天的利润＝（25﹣5﹣x）（120+10x）＝﹣10x2+80x+2400＝﹣10（x﹣4）2+2560． ∴将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 类型二 抛物线型运动轨迹问题 6．（2023秋•建昌县期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（　　） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【分析】根据函数表达式，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答． 【解答】解：20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20，故D错误； ∴t＝3时，h＝15，此时小球继续下降，故B错误； ∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用4s，故C正确． 故选：C． 7．（2024•杭州模拟）为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度y（m）和离运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　10m　． 【分析】铅球的落地点与运动员出手点的水平距离，即该二次函数y＝0（x＞0）时，x的值． 【解答】解：令y＝0（x＞0），则x＝10， 故答案为：10m． 8．（2023秋•南浔区期末）如图，乒乓球桌桌面是长AB＝2.7m，宽AD＝1.5m的矩形，E，F分别是AB和CD的中点，在E，F处设置高HE＝0.15m的拦网．一次运动员在AD端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边AD的距离为0.1m，到桌面侧边AB的距离为0.1m处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH高0.1m，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网EF的距离为 　1.35　m；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离BC为0.2m的Q点处，此时QC的长度为 　　m． 【分析】以O点为原点建立坐标系，I为拦网正上方抛物线上的点，求出抛物线表达式，将y＝0代入后可求点Q到拦网EF的距离，再利用勾股定理可求CQ． 【解答】解：以O点为原点建立坐标系，其中x轴平行于AB，y轴平行于AD，如图所示： ①由题意知，AE＝AB＝1.35m，O点到AD的距离为0.1m，I为拦网正上方抛物线上的点， 则xI＝1.35﹣0.1＝1.25，yI＝0.15+0.1＝0.25， ∴I（1.25，0.25）， 设抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+c， 将O（0，0）和I（1.25，0.25）代入得： ， 解得：， ∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+x， 将y＝0代入抛物线得：﹣x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝， ∴点Q到拦网EF的距离为：﹣1.25＝1.35m， 在Rt△CQJ中，BQ＝0.2m，CJ＝BC﹣BJ＝1.5﹣0.1＝1.4m， ∴CQ＝m． 故答案为：1.35，． 9．（2024•南召县一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【解答】解：（1）如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+2， 又∵抛物线过点（0，1.5）， ∴1.5＝4a+2， ∴a＝﹣， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2， 解得x＝2±2， ∵x＞0， ∴x＝2+2， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则x≤2+2， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1． 10．（2024•邗江区校级四模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（），正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令y＝﹣10，解方程即可求得点B的坐标； （2）利用二次函数的解析式求得x＝3时的y值，依据题意求得运动员此时距水面高度，通过比较与5米的大小即可得出结论． 【解答】解：∵运动员在空中最高处A点的坐标为（）， ∴A点为抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为y＝a， ∵该抛物线经过点（0，0）， ∴a＝﹣， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣＝﹣x2+x． ∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练， ∴令y＝﹣10，则﹣x2+x＝﹣10， ∴x＝4或x＝﹣， ∴B（4，﹣10）； （2）该运动员此次跳水不会失误，理由： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，点E的坐标为（﹣1，﹣10）， ∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3， 当x＝3时，y＝﹣32+3×＝﹣， ∴运动员距水面高度为10﹣＝5.5（米）， ∵5.5＞5， ∴该运动员此次跳水不会失误． 11．（2024•杭州模拟）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围． 【分析】任务1：易得抛物线的顶点坐标为（6，18），用顶点式设出抛物线解析式，把（0，0）代入后可求得a的值，即可求得抛物线解析式； 任务2：用含x的式子表示出t，代入任务1得到的函数解析式可得y关于x的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的x的值，找到符合题意的解即可； 任务3：设PQ的长度为c．那么水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．把点A、B的坐标代入函数解析式可得c的值，进而可得c也就是PQ的取值范围． 【解答】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16）， ∴抛物线的顶点坐标为（6，18）． 设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18． ∵抛物线经过点（0，0）， ∴36a+18＝0． 解得：a＝﹣． ∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18； 任务2：∵x＝3t， ∴t＝． ∴y＝﹣（﹣6）2+18 ＝﹣x2+2x． 当水火箭落地（高度为0m）时，﹣x2+2x＝0． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36． 答：水火箭飞行的水平距离为36米； 任务3：设PQ的长度为c． ∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c． ①当抛物线经过点A时． ∵AP＝42m， ∴点A的坐标为（42，0）． ∴﹣×422+2×42+c＝0． 解得：c＝14． ②当抛物线经过点B时． ∵AP＝42m，． ∴BP＝（18+18）m． ∴点B的坐标为（18+18，0）． ∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0． 解得：c＝18． ∵水火箭落到AB内（包括端点A，B）， ∴14m≤c≤18m． ∴14m≤PQ≤18m． 答：发射台高度PQ的取值范围为：14m≤PQ≤18m． 类型三 几何图形面积相关类问题 12．（2024•玉环市二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【分析】设垂直于墙的一边为x m，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令S＝48和S＝36，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【解答】解：设垂直于墙的一边为x m，则隔离区的另一边为（24﹣3x）m， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x； 根据题意，得不等式组， 解得：4≤x＜8， 当S＝48时，﹣3x2+24x＝48， 解得x1＝x2＝4（不合题意，舍去）； 当S＝36时，﹣3x2+24x＝36， 解得x1＝6，x2＝2（不合题意，舍去）， 故小亮说法正确． 故选：B． 13．（2023秋•仙居县期末）如图，某校计划在边长为10m的正方形花坛ABCD内种花，过BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，分别交正方形ABCD的四边于点E，F，G，H，连接EG，在△EGP区域种百合花，在四边形HPFD区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/m2，玫瑰花的成本为15元m2，则种植两种花卉的计划成本最少为 　600　元． 【分析】设AH＝x m，种植两种花卉的计划成本为y元，则DH＝（10﹣x）m，根据题意可得y＝20×x2+15（10﹣x）2＝25x2﹣300x+1500＝25（x﹣6）2+600，运用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：设AH＝x m，种植两种花卉的计划成本为y元，则DH＝（10﹣x）m， 由题意得： y＝20×x2+15（10﹣x）2＝25x2﹣300x+1500＝25（x﹣6）2+600， ∵25＞0， ∴当x＝6时，y取得最小值600， ∴种植两种花卉的计划成本最少为600元． 故答案为：600． 14．（2023秋•上城区期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论： ①AB的长可以为15m； ②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值； ③农场ABCD面积的最大值为450m2； ④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2． 其中，正确结论的是 　②　．（只需填序号） 【分析】依据题意，设AD边长为x m，则AB边长为长为m，当AB＝15时，＝15，解得x＝30，故可判断①；当菜园ABCD面积为200m2，由题意得x•＝200，从而x＝30±10，又x≤28，故可判断②；又设矩形菜园的面积为y m2，从而y＝x•＝﹣（x﹣30）2+450，结合﹣＜0，x≤28，从而当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2，故可判断③；依据题意，直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，进而设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．求得a≈6.2，最后得农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560，故可判断④． 【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为长为m， 当AB＝15时，＝15， 解得x＝30， ∵AD的长不能超过28m， ∴x≤28， 故①不正确． ∵菜园ABCD面积为200m2， ∴x•＝200． ∴x＝30±10． 又x≤28， ∴x＝30﹣10． ∴满足条件的AB的长只有一个值，故②正确． 由题意，设矩形菜园的面积为y m2， 根据题意得：y＝x•＝﹣（x﹣30）2+450， ∵﹣＜0，x≤28， ∴当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2． 故③不正确． ∵直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60， ∴设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a． ∴a≈6.2． ∴农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560． ∴农场的面积不超过560m2． 故④错误． 故答案为：②． 类型四 实物形状类比抛物线类问题 15．（2024•张家口一模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案． 【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：∵AB＝DE＝1.5m， ∴点B与点D关于对称轴对称， ∴AE＝2×1.6＝3.2（m）； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5， 将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5， 当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5， 解得x＝0（舍）或x＝3.2， 所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米， 故选：A． 16．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　18　米． 【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长． 【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”， 可知y＝8， 把y＝8代入y＝﹣x2+10得： 8＝﹣x2+10， 解得x＝±9， ∴由两点间距离公式可求出EF＝18（米）． 故答案为：18． 17．（2024•榆阳区校级一模）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长． 【解答】解：（1）根据题意，点C（0，1），A（2，0.6），B（﹣2，0.6）， 设抛物线解析式为：y＝ax2+1，将A（2，0.6）坐标代入解析式得：4a+1＝0.6， 解得：a＝﹣0.1， 抛物线解析式为：y＝﹣0.1x2+1． （2）设直线OA解析式为y＝kx，将A（2，0.6）坐标代入得，0.6＝2k，解得k＝0.3， ∴直线OA解析式为：y＝0.3x， 联立函数解析式：， 解得：，或（不符合题意舍去）， ∴点F坐标为（﹣5．﹣1.5） 抛物线的对称轴是y轴，∴点E的坐标为（5，﹣1.5）， ∴EF＝5﹣（﹣5）＝10． 18．（2024•黄岩区一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中AB＝3米，EF＝5米． （1）如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； （3）现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【分析】（1）根据题意用待定系数法求函数解析式即可； （2）把x＝15代入（1）中解析式求出CD长度，再求6根钢柱的总长度即可； （3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣26）2+k，根据抛物线经过点F（25，5），求出a＝﹣k+5，再根据抛物线与AB有交点求出k的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得顶点F的坐标是（25，5）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+5， ∵抛物线经过原点（0，0）， ∴将（0，0）代入得，a（0﹣25）2+5＝0， 解得a＝﹣， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣25）2+5； （2）由题意可得，OC＝15米， 将x＝15代入y＝﹣（x﹣25）2+5， 解得y＝， ∴CD＝米， ∴2（AB+CD+EF）＝2×（3++5）＝（米）， ∴6根钢柱的总长度为米； （3）由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为（26，k）， ∴抛物线解析式为y＝a（x﹣26）2+k． ∵抛物线经过点F（25，5）， ∴5＝a（25﹣26）2+k， ∴a＝﹣k+5， 当x＝5时，y＝a（5﹣26）2+k＝441a+k， ∵抛物线与钢柱AB有交点， ∴0≤441a+k≤3， 将a＝﹣k+5 代入，可得0≤441（﹣k+5）+k≤3， ∴﹣2205≤﹣440k≤﹣2202， 解得≤k≤． ∴顶点的纵坐标k的取值范围为≤k≤． 类型五 二次函数“素材”“任务”型问题 19．（2023秋•婺城区期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材一 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β． 素材二 厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线QM为遮阳棚，PQ为遮阳棚安装在窗户上方的支架，PQ⊥QM，线段QM的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚QM所在的抛物线与抛物线的形状相同． 素材三 如图2，AB为小明家的朝南窗户，测得，∠β＝45°，窗户AB的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（QM的长）． 素材四 春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼CD与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米． 解决问题 任务1 求小明家所需的遮阳棚的跨度QM． 任务2 当d＝0.16时，求m的值． 任务3 现要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范围． 【分析】任务1，根据题目，我们知道窗户AB的高度为1.5米，tanα＝，β＝45°，那么我们可以求出QM的长度，即遮阳棚的跨度； 任务2，根据题目，去定出点N坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，通过将点N代入抛物线我们可以求出m的值． 任务3，根据题目，将点N代入抛物线并根据题目给出的m和n的取值范围，那么我们可以求出d的取值范围． 【解答】解：任务1：过点M作垂线交BE于点E，交AF于点F，如图： ∴QM＝BE＝AF， ∵， ∴＝， ∴ME＝AF， ∵β＝45°， ∴tanβ＝1， ∴＝＝1， ∵AB＝1.5， ∴AF+1.5＝AF， ∴AF＝2（m）， 即QM＝2m， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度QM长为2m； 任务2：以点A为坐标原点，AQ所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： 由任务1可知，Q（0，2），M（2，2）， 设抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c， 将点Q，M坐标代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2， 点N坐标为（m，1.96+n），代入y＝﹣x2+x+2得， ﹣m2+m+2＝1.96+n， 解得m＝1±； 任务3：点N坐标为（m，1.8+n+d）， 将点N坐标为（m，1.8+n+d）代入y＝﹣x2+x+2得， ﹣m2+m+2＝1.8+n+d， 令w＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+， ∵0.6≤m≤1.5， ∴当x＝1.5时，w取最小值，最小值为2.1875， 当x＝1时，w取大值，最大值为2.25， ∴w的取值范围2.1875≤w≤2.25， 即2.1875≤1.8+n+d≤2.25， 解得0.3875﹣n≤d≤0.45﹣n， 当0.1≤n≤0.2时，0.1875≤d≤0.35． 20．（2024春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上，且OP＝2.8m． 素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+b． 素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【分析】任务一：先求出点P的坐标，再分别 代入一次函数与二次函数解析式计算即可求解； 任务二：在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得（舍去）或，由|7﹣5|＞|3.82﹣5|，即可得到答案． 【解答】解：任务一：∵OP＝2.8m， ∴P（0，2.8）， 把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8， 解得：a＝﹣0.4， ∴a的值是﹣0.4； 把P（0，2.8）代入y＝﹣0.4x+b得2.8＝b， ∴b的值是2.8． 任务二：∵OA＝3m，CA＝2m， ∴OC＝5m， ∴C（5，0）， 在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7， 在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得（舍去）或， ∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近． 21．（2024•鹿城区校级开学）根据下列素材，完成相应任务． 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体OA＝2.6米，BC＝5米，水平距离OC＝12 米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数表示 素材2 图3是棱长为1m的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在MN处，MN＝1m．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升10cm，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道OE，HC，FG，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域EF，GH．要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当OM＝2.4米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区EF＝　2　米，GH＝　4　米，仓库最大仓储品容量为 　1700　件． 【分析】（1）根据题意写出A，B 点的坐标，代入解析式求出b，c的值即可； （2）当OM＝2.4米，即x＝2.4时，代入解析式求出函数值，比较跟4的大小关系，过大于4则不能取出，若小于则可以； （3）分别写出E点和H点的坐标，代入解析式求出不同点可堆放的数量，相加即可． 【解答】解：任务1． 由题意得：A（0，2.6），B（12，5）在y＝﹣x2+bx+c上， ∴． 解得：． ∴y＝﹣x2+x+． ∵﹣＜0， ∴y最大＝＝＝6.35（m）． 答：仓库离地的最大距离为6.35m； 任务2． 当OM＝2.4米，即x＝2.4时，y＝﹣×（）2++＝4.616． ∵4.616﹣4＜10， ∴叉车不能从左边或右边取出； （3）设EF＝a米时，则GH＝12﹣2×3﹣a＝6﹣a米， 又∵y＝﹣x2+x+， E（2，0），H（10，0），x＝2时，在E处可放3件， 相隔1米可放4件， 当x＝10时，y＝，可放5件， 当x＝8时，y＝，可放6件， 当x＝6时，y＝，可放10件， 当x＝7时，y＝，可放6件， ∴至少可放3+4+5+6+10+6＝34件，共可放34×50＝1700件， 这时EF＝2米，GH＝4米，最大仓储量为1700件． 22．（2024•宝安区三模） 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【分析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x＝5，即可得到﹣＝5，那么b＝﹣10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b＝﹣10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式； 任务二：根据题意可得杯子的最左端距离原点12cm，取x＝12代入抛物线解析式，计算出y的值．若圆柱形水杯的高小于y的值，则水流能流到圆柱形水杯内； 任务三：计算出P点刚能使水流进入和离开的时刻即可． 【解答】解：任务一： ∵AB∥x轴，AB＝5cm，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：x＝5． ∴﹣＝5． ∴b＝﹣10a． 把点M（15，0）代入抛物线 y＝ax2+bx+15得： 15a+b+1＝0， 把b＝﹣10a代入15a+b+1＝0 得： 15a﹣10a+1＝0， 解得：a＝﹣， ∴b＝2， ∴水流抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+15． 任务二： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是15﹣3＝12， 当x＝12时，y＝﹣×122+2×12+15＝10.2， ∵11＞10.2， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三：2+3． 23．（2024春•镇海区期末） 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方案 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中AB、CD是固定支架，分别与地面BD垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面BD的距离是，BD＝4m，AB＝CD＝2.5m． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为0.25m的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为0.4m．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于2.5m．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以0.4，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取3.5减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【解答】解：任务一：建立坐标系． 由已知可得：顶点的横坐标为2，纵坐标为：﹣＝，点A的坐标是（0，0）． ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+， ∴0＝a（0﹣2）2+， 解得：a＝﹣． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+； 任务二：由于固定支架长为2.5m，因此要使灯带底部与地面的距离不低于2.5m，只需要让安装点到x轴的距离不小于 0.25m． ∴0.25＝﹣（x﹣2）2+； 解得：x1＝0.5，x2＝3.5． ∴安装点的横坐标取值范围为：0.5≤x≤3.5； 任务三：∵（3.5﹣0.5）÷0.4＝7.5， ∴最多可以安装 7+1＝8 条灯带． ∵最右边灯带的横坐标为：3.5﹣＝． ∴y＝﹣（﹣2）2+＝． 故最右边灯带安装点的坐标为：． 24．（2024•深圳三模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点为（6，4），从而可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4，又抛物线过（0，0），求出a即可得解； （2）依据题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝x，又A（6﹣m，m）在抛物线，求出m后即可得解； （3）依据题意，由A（3，3），N（12，0），可得直线AN为，再结合PQ∥AN，可设PQ为，进而可得，根据直线与抛物线相切Δ＝225﹣36b＝0，求出b后即可得直线PQ，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4． 又抛物线过（0，0）， ∴0＝36a+4． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m， ∴A（6﹣m，m）． 又A在抛物线， ∴． ∴m＝3或m＝﹣12（舍去）． ∴AB＝3； 答：门高AB为3m； （3）由题意，∵A（3，3），N（12，0）， ∴直线AN为． 又∵PQ∥AN， ∴可设PQ为． ∴． ∴x2﹣15x+9b＝0． ∴Δ＝225﹣36b＝0． ∴． ∴直线PQ为． 令y＝0， ∴．即， 答：此时OQ的长为． 25．（2024•福田区校级模拟） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米 素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围． 【分析】任务1．易得左侧抛物线的顶点坐标为（﹣7，5）以及点A的坐标（﹣10，0）．用顶点式表示出所求的抛物线解析式，把点A的坐标代入即可求得二次函数的二次项系数，即可求得抛物线的解析式； 任务2．设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）．可设甲喷水头形成的抛物线解析式为：y＝﹣x2+m．根据任务1中的抛物线解析式可得点M的坐标，进而可得FM的长度，根据GM＝FM，可得GM的长度，即可求得点G的坐标，代入所设的抛物线解析式，即可求得m的值，也就求出了OP的最高高度； 任务3．乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：（h，m+0.8）．用顶点式表示出乙喷水头喷出的抛物线的解析式，把点P的坐标代入可得h的值，进而根据OP喷出的水柱高度不低于5m，取顶点的纵坐标不低于5可得m的一个范围，进而根据水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．取点M的坐标代入所求的抛物线解析式可得m的值，即可求得m的取值范围，也就求得了喷水装置OP高度的变化范围． 【解答】解：任务1．如图以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系． ∵A、B之间的距离为20米， ∴点A的坐标为（﹣10，0）． ∵水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m， ∴左侧抛物线的顶点坐标为（﹣7，5）． ∴设左侧抛物线的解析式为：y＝a（x+7）2+5． ∴a（﹣10+7）2+5＝0． 解得：a＝﹣． ∴左边抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x+7）2+5． 任务2．设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）． ∵甲喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同． ∴甲喷水头形成的抛物线解析式为：y＝﹣x2+m． 由任务1得：左边抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x+7）2+5． 当y＝1.8时，1.8＝﹣（x+7）2+5． 解得：x1＝﹣9.4（不合题意，舍去），x2＝﹣4.6． ∴点M的横坐标为：﹣4.6． ∵CD为12m， ∴OC＝6m． ∴FM＝6﹣|﹣4.6|＝1.4． ∵GM＝FM， ∴GM＝0.4． ∴点G的横坐标是﹣4.6+0.4＝﹣4.2． ∴点G的坐标是（﹣4.2，1.8）． ∴1.8＝﹣×（﹣4.2）2+m． 解得：m＝． ∴OP的最高高度为米． 任务3．如图，建立平面直角坐标系．以y轴左侧的抛物线为例． 设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）． ∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8 m， ∴乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：（h，m+0.8）． ∵乙喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同． ∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣h）2+m+0.8． 把点P的坐标代入得：m＝﹣（0﹣h）2+m+0.8． 解得：h＝﹣1.2或h＝1.2（不合题意，舍去）． ∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：y＝﹣（x+1.2）2+m+0.8． ∵OP喷出的水柱高度不低于5m， ∴最高点（h，m+0.8）的纵坐标不低于5m． ∴m+0.8≥5． 解得：m≥． ∵水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． ∴取点M的坐标（﹣4.6，1.8）代入y＝﹣（x+1.2）2+m+0.8． 1.8＝﹣（﹣4.6+1.2）2+m+0.8． 解得：m＝． ∴m＜． ∴≤m＜． ∴喷水装置OP高度的变化范围为：≤OP＜． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练 二次函数的三种简单应用专练 类型一 销售类二次函数最值问题 1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 2．（2024•曹妃甸区模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．50 B．90 C．80 D．70 3．（2023秋•拱墅区月考）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 　 　，宾馆利润最大利润是 　 　元． 4．（2024•南通模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 5．（2024春•乐清市期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为 　 　个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为 　 　个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 类型二 抛物线型运动轨迹问题 6．（2023秋•建昌县期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（　　） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 7．（2024•杭州模拟）为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度y（m）和离运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　 　． 8．（2023秋•南浔区期末）如图，乒乓球桌桌面是长AB＝2.7m，宽AD＝1.5m的矩形，E，F分别是AB和CD的中点，在E，F处设置高HE＝0.15m的拦网．一次运动员在AD端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边AD的距离为0.1m，到桌面侧边AB的距离为0.1m处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH高0.1m，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网EF的距离为 　 　m；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离BC为0.2m的Q点处，此时QC的长度为 　 　m． 9．（2024•南召县一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 10．（2024•邗江区校级四模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（），正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 11．（2024•杭州模拟）【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 … 【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式． 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围． 类型三 几何图形面积相关类问题 12．（2024•玉环市二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 13．（2023秋•仙居县期末）如图，某校计划在边长为10m的正方形花坛ABCD内种花，过BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，分别交正方形ABCD的四边于点E，F，G，H，连接EG，在△EGP区域种百合花，在四边形HPFD区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/m2，玫瑰花的成本为15元m2，则种植两种花卉的计划成本最少为 　 　元． 14．（2023秋•上城区期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论： ①AB的长可以为15m； ②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值； ③农场ABCD面积的最大值为450m2； ④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2． 其中，正确结论的是 　 　．（只需填序号） 类型四 实物形状类比抛物线类问题 15．（2024•张家口一模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 16．（2024•新化县一模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 17．（2024•榆阳区校级一模）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 18．（2024•黄岩区一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中AB＝3米，EF＝5米． （1）如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； （3）现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 类型五 二次函数“素材”“任务”型问题 19．（2023秋•婺城区期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材一 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β． 素材二 厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线QM为遮阳棚，PQ为遮阳棚安装在窗户上方的支架，PQ⊥QM，线段QM的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚QM所在的抛物线与抛物线的形状相同． 素材三 如图2，AB为小明家的朝南窗户，测得，∠β＝45°，窗户AB的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（QM的长）． 素材四 春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼CD与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米． 解决问题 任务1 求小明家所需的遮阳棚的跨度QM． 任务2 当d＝0.16时，求m的值． 任务3 现要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范围． 20．（2024春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上，且OP＝2.8m． 素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+b． 素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 21．（2024•鹿城区校级开学）根据下列素材，完成相应任务． 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体OA＝2.6米，BC＝5米，水平距离OC＝12 米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数表示 素材2 图3是棱长为1m的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在MN处，MN＝1m．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升10cm，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道OE，HC，FG，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域EF，GH．要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当OM＝2.4米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区EF＝　 　米，GH＝　 　米，仓库最大仓储品容量为 　 　件． 22．（2024•宝安区三模） 制作简易水流装置 设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0） 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 23．（2024春•镇海区期末） 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方案 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中AB、CD是固定支架，分别与地面BD垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面BD的距离是，BD＝4m，AB＝CD＝2.5m． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为0.25m的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为0.4m．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于2.5m．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 24．（2024•深圳三模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 25．（2024•福田区校级模拟） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米 素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$