第三章 空间向量与立体几何（A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第三章 空间向量与立体几何单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、空间向量运算与空间向量基本定理 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 3．已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 4．已知空间中两点，，且，则实数x的值是（    ） A． B．或6 C． D．或2 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 二、多选题 7．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 8．如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 三、填空题 9．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 10．在长方体中，，，点P为底面ABCD上一点（包括边界），则的取值范围为 ． 四、解答题 11．已知向量，，. (1)求； (2)求在方向上的投影向量； (3)若，求，的值. 12．如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．设，，．    (1)用，，表示； (2)设E是棱上的点，且，用，，表示． 考点二、空间位置关系的向量证明 一、单选题 1．已知，，平面的法向量为，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 3．已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 4．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（    ） A．或 B．或 C． D． 5．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（    ） A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy C．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面 二、多选题 7．设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 三、填空题 9．如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足 的是 （填正确的序号） . ①．   ②．   ③．   ④．   10．在正方体中，M，N分别为，BC的中点，点Q为直线上的点，且，若平面，则 ． 四、解答题 11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 12．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 考点三、向量法求空间角 一、单选题 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 4．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 二、多选题 7．已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 8．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则到直线的距离 三、解答题 9．如图所示，在三棱锥中，平面，，，为上一点，，，分别为，的中点．    (1)证明：； (2)求与平面所成角的大小． 10．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 考点四、向量法求空间距离、折叠及探索性问题 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知四边形是菱形，，点E为的中点，把沿折起，使点A到达点P的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 5．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．如图①，在中，，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使平面，如图②.若点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，则点到直线的距离的最小值为 . 8．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 9．如图，在长方体中，，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为 ．    三、解答题 10．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. (1)求证：. (2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. (3)在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 11．在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 12．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 空间向量与立体几何单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、空间向量运算与空间向量基本定理 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解. 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 3．已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 4．已知空间中两点，，且，则实数x的值是（    ） A． B．或6 C． D．或2 【答案】B 【分析】利用两点距离公式列方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得或6. 故选：B 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 6．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 二、多选题 7．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 8．如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系进行运算即可. 【详解】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，，. A：，，， ，A正确. B：，B错误. C：，C正确. D：因为，则，所以， ，， 所以的面积，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．如图，设为所在平面外任意一点，为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】利用图形，结合空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得解. 【详解】依题意， ， 又，所以，则. 故答案为：. 10．在长方体中，，，点P为底面ABCD上一点（包括边界），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算即可求得结论． 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则，， 设，，， 则，， 故． 故答案为：． 四、解答题 11．已知向量，，. (1)求； (2)求在方向上的投影向量； (3)若，求，的值. 【详解】（1）∵，， ， 所以 （2） （3）∵，∴存在实数，使得， ，故， 解得，， 12．如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．设，，．    (1)用，，表示； (2)设E是棱上的点，且，用，，表示． 【详解】（1）因为， 且，，， 则. （2） 考点二、空间位置关系的向量证明 一、单选题 1．已知，，平面的法向量为，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据线面平行的向量表示可得答案. 【详解】因为，， 所以，即，解得. 故选：A. 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】利用面面垂直的空间向量的坐标运算可得答案. 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 3．已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 【答案】C 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 则，所以. 故选：C. 4．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可，即可判断. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 所以，所以， 所以或. 故选：A 5．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点在平面内，则该点与构成的向量与的数量积为0，由此依次判断选项即可得到答案. 【详解】对于A，，则，故A不正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C不正确； 对于D，，则，故D不正确； 故选：B 6．在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（    ） A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy C．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面 【答案】C 【分析】根据与法向量的关系判断. 【详解】由已知得， 坐标平面的一个法向量是， 坐标平面的一个法向量是， 易判断与，不平行， 所以直线AB不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错. 因为，所以直线不平行坐标平面， 故A错 因为 ， 点A、B均不在坐标平面上，所以直线AB与坐标平面平行，故C对. 故选：C 二、多选题 7．设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面法向量和直线的方向向量，判定线面的空间位置关系. 【详解】对A，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面， 所以若，则， A错误； 对B，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该平面内， 所以若，则或， B错误； 对C，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行， 所以若，则， C正确； 对D，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直， 所以若，则， D错误. 故选：ABD． 8．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】AD 【分析】利用线面平行的判定即可判断A；根据即可判断BC，建立合适的空间直角坐标系，证明，最后结合线面垂直的判定即可. 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 三、填空题 9．如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足 的是 （填正确的序号） . ①．   ②．   ③．   ④．   【答案】②③ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；    对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确；    对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；    故答案为：②③. 10．在正方体中，M，N分别为，BC的中点，点Q为直线上的点，且，若平面，则 ． 【答案】 【分析】建立空间坐标系，根据向量共面，即可列方程求解. 【详解】以D为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，，， 由得，则， 由题意知，向量，，共面， 故，使，故解得，则． 故答案为： 四、解答题 11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 12．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 考点三、向量法求空间角 一、单选题 1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 2．已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为，且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以两条异面直线所成的角， 故选：A. 3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题得， 所以到平面的距离为， 故选：C. 4．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故， 设直线与平面所成角为，则. 故选：B 5．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可. 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 6．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 二、多选题 7．已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】BC 【分析】根据共线向量的定义、单位向量的定义、向量夹角的定义以及法向量的定义直接计算即可判断选项. 【详解】由题意知，，因为，所以与不是共线向量，即A错误； 的单位向量为，所以的单位向量为或，即B正确； ，所以与夹角的余弦值为，即C正确； 设平面的一个法向量为，则即， 令，则，所以，即D错误, 故选：BC. 8．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与共面 B．与夹角为 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．若正方体棱长为2，则到直线的距离 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，可采用平移法来求判断是否共面以及求异面直线所成的角，可利用空间向量法来求两平面夹角的正弦值，可利用平面几何中的等面积法来求点到线的距离. 【详解】对于A，由于，而与显然是共面向量，所以与共面，故A正确； 对于B， 因为，所以异面直线与所成的角就是， 而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形， 所以，即与夹角为，故B错误； 对于C， 如图建系：设正方体的边长为，可知：，，， 则设平面的法向量为 则，令，则， 即 而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量 则， 即， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确； 对于D， 过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点， 由正方体可知平面，因为平面， 所以，因为正方体棱长为，所以，， 则由勾股定理得：， 解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为， 即点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ACD. 三、解答题 9．如图所示，在三棱锥中，平面，，，为上一点，，，分别为，的中点．    (1)证明：； (2)求与平面所成角的大小． 【详解】（1）设，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．    则，，， 又，，分别为，的中点， ，，，，， ， ，因此． （2）由（1）知，，，， 设为平面的法向量， ，． 则 取， 得． 平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 则． ， 与平面所成的角为． 10．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以， 在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故， 又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面， 又平面,故，因为，平面，故⊥平面． （2） 如图，取的中点为，连接，则， 则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直， 故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，． 由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量． 因，，则，， 设平面的法向量为，则， 故可取． 则平面与平面夹角的余弦值为． 考点四、向量法求空间距离、折叠及探索性问题 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 2．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，证明平面,不妨设,以为基底的空间向量，,再求解，从而求出，根据是异面直线，求解其余弦值. 【详解】已知等腰直角三角形,点是中点，则, 沿着翻折平面可得, 所以, 又,平面， 所以平面, 不妨设,则， 以为基底的空间向量， 所以，则 所以， 因为是异面直线，所以异面直线的余弦值为. 故选：B    3．如图，已知四边形是菱形，，点E为的中点，把沿折起，使点A到达点P的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，再结合向量夹角的余弦公式运算即可. 【详解】由题意四边形是菱形，，所以， 又点E为的中点， 所以由三线合一可知，， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 所以两两垂直，以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，得，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 4．在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 5．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 6．已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，得出，再左右同时平方，利用数量积公式，算出两向量的夹角的余弦值，从而得出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，所以, 因为 所以. 所以 即 所以异面直线与CD所成角的余弦值为. 故选：C. 二、填空题 7．如图①，在中，，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使平面，如图②.若点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设点、，设，将点的坐标用表示，可得出点在直线上的射影为的坐标，求出，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】翻折前，在图①中，，，则， 翻折后，在图②中，因为平面，， 且平面，则，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，则，， 因为点是线段的靠近点的三等分点，则， 所以，，解得，即点， 设，则，则， 设，即， 所以，，，， 即， 设点在直线上的射影为，则， 点到直线的距离的平方， 由题意，故当时，点到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：. 8．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意可知，， 故． 设平面的法向量为，又， 则有即 令，可得平面的一个法向量为． 设与平面的法向量的夹角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 9．如图，在长方体中，，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为 ．    【答案】 【分析】根据已知得出点的坐标，应用向量法求点到平面距离即可. 【详解】如图可得, 设平面法向量为, 所以, 令,所以, 所以, 所以到平面的距离为. 故答案为：. 三、解答题 10．如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. (1)求证：. (2)当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. (3)在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设，， 则，，，，. 因为，所以， 所以. （2）因为E为AB的中点，所以， 从而，，. 设平面的法向量为，则， 即，得， 从而， 所以点E到平面的距离. （3）设这样的点M存在，且，，平面与平面AMC所成的角为， 则，，，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面AMC的一个法向量， 所以， 由，解得. 所以满足题意的点M存在，此时. 11．在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）在三棱锥中，取CD中点为Q， 过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H，      因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，， 可知，，且EQ，平面MEQ，， 则平面MEQ，且平面MEQ，可得， 可知，，，CD，平面CDE， 则平面CDE，可知即为所求线面角， 在等腰梯形ABCD中，已知，，， 可求出，，， 可得， 且，则， 所以直线ME与平面CDE所成角为. （2）以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 可得，， 设平面MEQ的法向量为，则， 取，则，可得， 且平面CDE的法向量为， 可得， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 12．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. （2）连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$