精品解析：安徽省重点高中联盟校（A10联盟）2025届高三第一次摸底考试数学试题

高三数学试题 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算得到，即可判断. 【详解】由可得，， 即复数在复平面内对应的点为在第四象限. 故选：D 2. 在中，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量和表示即得. 【详解】 如图所示，由题意， 故选：C. 3. 已知直线与曲线相切于点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出切点为，进而求得，得到，结合导数的几何意义，得到，进而得到答案. 【详解】由题意，直线与曲线相切于点，即切点为， 所以，解得，所以， 则，可得，即切线的斜率为，所以， 所以. 故选：B. 4. 已知椭圆（且），则“C的离心率，是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】椭圆（且）， 当C的离心率，若，有，解得，即充分性不成立； 当时，得椭圆，此时离心率为，即必要性成立. 所以“C的离心率，是”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合是函数的一个极大值点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得或， 因为是函数的一个极大值点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6. 若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得的值. 【详解】由化简得，， 即， 即， 因，解得. 故选：D. 7. 设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 令得：； 因为为偶函数，所以， 令得：，所以. 故选：A 8. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，则可设直线，直线，分别与抛物线方程联立，设，由韦达定理可得，，结合，可解得的值，从而可得的值，再利用弦长公式即可求解. 【详解】由题意得， ， ， 设直线，直线， 联立，得， 设，则， 联立，得，则， 则，则，故， 由，得，解得， 则，故. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件 “第一次抛出的点数是1”，事件“两次抛出的点数不同”，事件“两次抛出的点数之和是8”，事件 “两次抛出的点数之和7”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB的正误，根据条件概率的计算公式可求，从而可判断C的正误，根据互斥事件的概率公式可求，故可判断D的正误. 【详解】对于A，由题设有，， ，故，故相互独立，故A正确 对于A，由题设有，， 故，故不相互独立，故B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，由题设互斥，故， 故D错误， 故选：AC. 10. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 对于A，如图1，因,故A正确； 对于B，如图2建立空间直角坐标系，则, 于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 由知 与不垂直， 故直线与平面不平行，即B错误； 对于C，由上图建系，则, , 因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，， 由题意，，即，于是， 此时，故与不垂直，即C错误； 对于D，由图知平面的法向量可取为，因， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：AD. 11. 已知点在圆外，过点A作直线AM，AN与圆O相切，切点分别为M，N，若，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相切关系可得，根据不等式即可判断AD，利用不等式的乘“1”法即可判断B，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C. 【详解】由于AM，AN与圆O相切，且，故,，由,得，故，符合题意， 故，即，当且仅当等号成立，故A正确， ，当且仅当时等号成立，B错误， 令，则，C正确， 当时,， 由于，故， 由于，故，当且仅当等号成立，故D正确， 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数a的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由题意得，，解得． 故答案为：2 13. 已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解. 【详解】由题意得，， 由，则， 若在上单调递减，只需，解得 故答案为： 14. 定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为___________． 【答案】51 【解析】 【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可. 【详解】由题意得，，共有5个元素， 则2划分有个，3划分有个，4划分有个， 5划分有1个，所以共有划分的个数为51个． 故答案为；51 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在中，内角满足． （1）求； （2）若的外接圆半径为2，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得，故可求； （2）根据三角变换可得，故可求面积. 【小问1详解】 在中，，∴， ∵，∴， 则 化简得． 又，∴， 又∵，∴． 【小问2详解】 ∵，∴，∴． 即， 又，∴ 记内角的对边分别为， ∵的外接圆半径， ∴由正弦定理可得， ∴ ，∴. 16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，． （1）求AB的长； （2）若二面角的正切值为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，则有，由，求得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角的余弦值，可求出的值． 【小问1详解】 三棱柱中，平面ABC，则平面ABC， 平面ABC，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，故，故． 【小问2详解】 由平面ABC，， 以为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为，所以， 故，因为，故． 易知是平面的法向量． 因为． 设是平面的法向量、所以 即，取，得， 所以， 因为二面角的正切值为，故余弦值为， 则，解得. 17. 已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ （1）求E的离心率； （2）M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可； （2）结合图形特征，再应用面积公式计算. 【小问1详解】 由题意得，直线与双曲线两交点A，B关于原点对称， 不妨设点A在第一象限，由，得， 设，则， 所以，则， 将其代入双曲线方程，得，即， 化简得，即， 因为，所以，则，即双曲线E的离心率为． 【小问2详解】 因为点关于的平分线MN的对称点G在或的延长线上， 所以， 又ON是的中位线，所以， 因为，所以， 因为，所以双曲线E的方程为， 所以，则． 又，所以． 18. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）零点个数为1，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式； （2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题； （3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【小问1详解】 由题意得，． 【小问2详解】 由题意得，， 令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，， 所以实数m的取值范围为 【小问3详解】 令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 19. 定义：从数列中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为m的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“m项递增衍生列”； （1）已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的﹔ （2）已知数列是项数为m的等比数列，其中，若数列为1，16，81，求证：数列不是数列的“3项递增衍生列”； （3）已知首项为1等差数列的项数为14，且，数列是数列的“m项递增衍生列”，其中．若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值． 【答案】（1）为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5 （2）证明见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列. （2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”. （3）先明确数列的各项，再根据“m项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数. 【小问1详解】 由题意得，数列为1，8，3，4，5，2， 若是数列的“3项递增衍生列”，且， 则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒ 【小问2详解】 设等比数列的公比为q． 假设数列是数列的“3项递增衍生列”， 则存在，使， 所以，则， 所以． 因为，所以为有理数，但为无理数， 所以（*）式不可能成立． 综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”． 【小问3详解】 设等差数列的公差为d． 由，又，所以， 故数列为1，2，3，4，5，，14﹒ 令，因数列中各项均为正整数，故﹔ （若，则，成等差数列） 同理，且，所以， 同理，且，所以， 这与已知条件矛盾，所以， 此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列． 综上所述，m的最大值为8． 【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学试题 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与曲线相切于点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知椭圆（且），则“C的离心率，是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若1为函数的极大值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则实数值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 7. 设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则 （ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8. 已知为坐标原点，抛物线焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件 “第一次抛出的点数是1”，事件“两次抛出的点数不同”，事件“两次抛出的点数之和是8”，事件 “两次抛出的点数之和7”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. D. 10. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时， D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知点在圆外，过点A作直线AM，AN与圆O相切，切点分别为M，N，若，则（ ） A. B. C. D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数a的值为________． 13. 已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为__________． 14. 定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 中，内角满足． （1）求； （2）若外接圆半径为2，且，求的面积． 16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2正方形，，． （1）求AB的长； （2）若二面角的正切值为，求的值． 17. 已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ （1）求E的离心率； （2）M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 18. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 19. 定义：从数列中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为m的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“m项递增衍生列”； （1）已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的﹔ （2）已知数列是项数为m的等比数列，其中，若数列为1，16，81，求证：数列不是数列的“3项递增衍生列”； （3）已知首项为1的等差数列的项数为14，且，数列是数列的“m项递增衍生列”，其中．若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$