精品解析：上海市上海中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

上海中学2023学年高一第二学期期中考试 数学试题 一．填空题（每题3分） 1. 的角属于第______象限. 【答案】一 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 2 已知，则___________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 3 ，则__. 【答案】## 【解析】 【分析】弦化切求解. 【详解】. 故答案为： 4. 函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 5. 函数的最小正周期为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由函数周期性与诱导公式求解， 【详解】由诱导公式可知，， 当时，与不恒相等，故的最小正周期为， 故答案为： 6. 已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角关系可得，再结合两家和差公式运算求解. 【详解】因为是第一象限角，是第四象限角，， 则， 所以. 故答案为：. 7. 函数的单调增区间为___________． 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 8. 已知角a满足，则的值为___________ 【答案】1或 【解析】 【分析】利用倍角公式可得，分和两种情况，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 若，符合题意，此时； 若，则，； 综上所述：或. 故答案为：1或. 9. 函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合正弦型函数的有界性建立不等式求出最值即得. 【详解】函数的定义域为R，， 则，即， 解得，于是， 所以函数的最大值与最小值之和为. 故答案为： 10. 函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 11. 如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 12. 定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得 【详解】由可得， 即，即 要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得， 故答案为： 二、选择题（每题4分） 13. 已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（ ） A. 的值和的值均唯一确定 B. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 C. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 D. 的值和的值均可能不唯一 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及余弦的和差角公式即可化简求解. 【详解】由于， ， 所以的值，则关于和的值唯一. 故选：A. 14. 已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在常数a，使得函数为奇函数 B. 存在常数a，使得函数为偶函数 C. 存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D. 无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】由于， 且，故, 由于定义域不关于原点对称，因此无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数， 故选：D 15. 已知满足，，则下列选项中正确的为（ ） A. 的三个内角一定都是 B. 的三个内角至少有一个是 C. 的三个内角可能均不是 D. 以上说法均错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 16. 设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 三．解答题（共48分，8+8+10+10+12） 17. 已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 18. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． （1）分别求和的值． （2）对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【小问1详解】 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为，则， 若函数上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 19. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， . 20. 三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： （1）已知非负实数x，y，满足．证明：． （2）设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角换元，即可利用三角函数的有界性求解， （2）利用正切的和差角公式，换元为即可根据三角恒等变换，结合二次函数以及三角函数的性质求解. 【小问1详解】 由，设，， 则其中为锐角，且， 故当时，取最大值， 故 【小问2详解】 由可得， 设，且， 则，满足 则 ， 由于， 当且仅当且时取到等号，故最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由可换元为，且，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 21. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； （3）对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】（1） （2），或. （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【小问1详解】 过作，垂足为， 由题意可得：，，故， 所以矩形的面积，. 【小问2详解】 此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. 【小问3详解】 由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海中学2023学年高一第二学期期中考试 数学试题 一．填空题（每题3分） 1. 的角属于第______象限. 2. 已知，则___________． 3. ，则__. 4. 函数的值域为___________． 5. 函数的最小正周期为_________. 6. 已知第一象限角，是第四象限角，且满足，则__________ 7. 函数的单调增区间为___________． 8. 已知角a满足，则的值为___________ 9. 函数的最大值与最小值之和为___________． 10. 函数的定义域为___________ 11. 如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则___________． 12. 定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为______． 二、选择题（每题4分） 13. 已知值，则关于和的值，下列说法中正确的是（ ） A. 的值和的值均唯一确定 B. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 C. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 D. 的值和的值均可能不唯一 14. 已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在常数a，使得函数为奇函数 B. 存在常数a，使得函数为偶函数 C. 存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D. 无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 15. 已知满足，，则下列选项中正确的为（ ） A. 的三个内角一定都是 B. 的三个内角至少有一个是 C. 的三个内角可能均不是 D. 以上说法均错误 16. 设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 三．解答题（共48分，8+8+10+10+12） 17. 已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 18. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． （1）分别求和值． （2）对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a取值范围． 19. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． （1）求的值； （2）求的值． 20. 三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： （1）已知非负实数x，y，满足．证明：． （2）设a，b，c为正实数，且．求最大值． 21. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； （3）对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$