精品解析：上海市上海中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（B卷）

2024~2025学年上海市上海中学高一下学期期中测试卷（B卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3．请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 1小时内秒针转过了______．（用弧度制表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可. 【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了. 故答案为： 2. 已知，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，所以 ， 故答案为：. 3. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相. 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 4. 函数的图象的对称中心的坐标是___________. 【答案】， 【解析】 【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解. 【详解】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 5. 已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可； 【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，.求得，则的取值范围为. 故答案为：. 6. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 7. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以 考点:本题主要考查三角函数的性质. 8. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案. 【详解】不妨设，画出的图象如下图所示， ，所以. 令，解得， 所以，所以. 故答案为： 9. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可. 【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，， 解得，， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度） 即，关于直线，对称，， 由于，故， 而，关于直线，对称， 故点横坐标为， 将点横坐标代入，得． 故答案为：. 10. 定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可. 【详解】由已知可得， 即， 因为，所以， 则， 因，当且仅当时等号成立， 此时，故. 故答案为：. 11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作图，通过图象可知，等腰直角三角形的斜边的长度为三角函数的一个周期，利用等腰直角三角形的性质求出边长，再由三角函数的周期公式求得的值. 【详解】 如图所示（根据对称性，其它情况与此本质相同）， 在函数与的交点中，， 令，又，所以， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，则. 故答案为：. 12. 设集合有______个真子集． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值. 【详解】因 ，故其最大值为1. 故选：A. 14. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解 【详解】因为的定义域为，且 ， 所以为奇函数， 故BD错误； 当时，令，易得， 解得， 故易知的图象在轴右侧的第一个交点为， 又，故C错误，A正确； 故选：A 15. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 16. 已知函数，给出下列结论： ①是周期函数； ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确序号为（ ） A. ① B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用和角公式化简求得，即得； （2）由余弦定理，结合基本不等式和条件可得，再由正弦定理求得外接圆半径的最小值即可. 【小问1详解】 由整理得：， 由正弦定理，可得 即， 因为，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则． 故外接圆面积的最小值为． 18. 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 【小问1详解】 因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. 【小问2详解】 对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 19. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，． （1）求索道的长； （2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min） 【解析】 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 从而． 由正弦定理，得（）． （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处， 所以由余弦定理得， 由于，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理， 得（）． 乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 20. 已知函数 （1）求函数的最小正周期 （2）当时，求函数的最大值和最小值 （3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ， 则最小正周期为. 【小问2详解】 ； 则函数的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 ， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 21. 已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. （1）分别判断和是否为“”函数； （2）若函数是“”函数，求的取值范围； （3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】（1）不是，是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【小问1详解】 对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. 【小问2详解】 若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. 小问3详解】 由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年上海市上海中学高一下学期期中测试卷（B卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3．请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 1小时内秒针转过了______．（用弧度制表示） 2 已知，则___________ 3. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______． 4. 函数的图象的对称中心的坐标是___________. 5. 已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____. 6. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 7. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________． 8. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______. 9. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 10. 定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________． 11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________． 12. 设集合有______个真子集． 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 函数的最大值为（ ） A 1 B. C. 2 D. 3 14. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 15. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知函数，给出下列结论： ①是周期函数； ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（ ） A. ① B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 18. 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t取值范围. 19. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，． （1）求索道的长； （2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 20 已知函数 （1）求函数的最小正周期 （2）当时，求函数的最大值和最小值 （3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 21. 已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. （1）分别判断和是否为“”函数； （2）若函数是“”函数，求取值范围； （3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$