第二章 有理数的运算（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第2章 有理数的运算（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四个数中，其倒数是的是（   ） A． B．5 C． D． 2．党的“二十大”报告指出：我们坚持精准扶贫、尽锐出战，打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献．9600000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（    ） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 A．9月10日21时 B．9月12日4时 C．9月11日4时 D．9月11日2时 4．-3，+5，-7的和比它们的绝对值的和小(   ) A．2 B．20 C．7 D．15 5．下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．图中，能说明“”与“”相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 7．的值是（      ） A．3 B． C． D．1 8．对于有理数x，y，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 9．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②；③|a|＜1﹣bc；④a﹣c+bc＜0．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（    ） A．3 B．﹣2 C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．计算： . 12．用四舍五入法，精确到，对取近似值的结果是 ． 13．如图，是一个简单的数值运算程序当输入的值为时，则输出的数值为 ．      14．若，，且，则 ． 15．绝对值不大于的所有整数的和为 ，所有整数之积 ． 16．观察下面一列数： 2 4 6 8 10 12 14 16 …… 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17题12分，第18~23题每小题8分，第24题12分，第25题14分。 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）用简便方法计算： (1) (2)． 19．（8分）某自行车厂计划一周生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出人，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 20．（8分）光年是天文学中使用的距离单位，主要用于度量太阳系外天体的距离，1光年≈9.46×1012 km，人类所观测的宇宙深度已达到150亿光年．纳米是表示微小距离的单位，1 nm(纳米)相当于1 mm的一百万分之一，即1 m＝109 nm.纳米材料学作为一门新兴学科正成为跨世纪的科技热点之一．请回答下列问题(用科学记数法表示)： (1)你知道1千米是多少纳米吗？ (2)你知道1光年约是多少纳米吗？ (3)目前人类所观测到的宇宙深度至少多少米？ 21．（8分）已知有理数，，且，求的值． 22．（8分）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 23．（8分）[运算能力]阅读下面的材料： 因为，，，，， 所以． 请你用上面的方法计算：． 24．（12分）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 25．（14分）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四个数中，其倒数是的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2．党的“二十大”报告指出：我们坚持精准扶贫、尽锐出战，打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献．9600000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 3．下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）如果现在是北京时间9月11日15时，那么现在的纽约时间是（    ） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 A．9月10日21时 B．9月12日4时 C．9月11日4时 D．9月11日2时 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的运算方法进行求解是解决本题的关键．根据题意列式计算得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 即纽约时间为9月11日2时． 故选：D． 4．-3，+5，-7的和比它们的绝对值的和小(   ) A．2 B．20 C．7 D．15 【答案】B 【详解】解：=20， 故选：B． 5．下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：， ∴；故选项A不符合题意； ， ∴与不相等，故选项B不符合题意； ， ∴与不相等，故选项C不符合题意； ， ∴与相等，故选项D符合题意； 故选D． 6．图中，能说明“”与“”相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据图形，可以分别写出四幅图所列的算式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图可知， 图①求得是线段的长； 图②求得是大长方形的面积：； 图③求得是总的球的个数：； 图④求得是总的钱数：（元）； 由上可得，能说明“”与“”相等的是②③， 故选：B． 7．的值是（      ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了小数和整数的乘方，关键知道负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．先对指数相同的两个数进行相乘求出结果，再算乘方来进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 8．对于有理数x，y，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键．先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【详解】解：∵， ∴x，y异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故选：B． 9．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②；③|a|＜1﹣bc；④a﹣c+bc＜0．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据数轴上各数的位置得出，再根有理数的运算求解． 【详解】解：由数轴上a、b、c的位置关系可知： ， ①∵，，， ∴ ，故①正确； ②∵， ∴，， ∴，故②错误； ③∵，， ∴，故③错误； ④∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，一共2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；判定结果的正负是解决的关键． 10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（    ） A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C 【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】∵a1＝3， ∴a2＝＝﹣2， a3＝， a4＝， a5＝， ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵2019÷4＝504…3， ∴a2019＝a3＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．计算： . 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键. 【详解】解：， 故答案为：. 12．用四舍五入法，精确到，对取近似值的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：精确到，对取近似值的结果是：； 故答案为：． 13．如图，是一个简单的数值运算程序当输入的值为时，则输出的数值为 ．      【答案】 【分析】根据有理数的混合运算的运算方法，用乘，求出积是多少；然后用所得的积减去，求出输出的数值是多少即可． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 14．若，，且，则 ． 【答案】1或5 【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值的意义，注意分类讨论是解本题的关键，防止漏解．根据绝对值的意义以及，可得，的值，再根据有理数减法，可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：1或5． 15．绝对值不大于的所有整数的和为 ，所有整数之积 ． 【答案】 0， 0 【分析】根据绝对值不大于2007的所有整数，可得整数，根据互为相反数的和为0，可得和的结果，根据0乘任何数都得0，可得积的结果． 【详解】解：绝对值不大于2007的所有整数的和为： -2007+（-2006）+（-2005）+…+2005+2006+2007=0， 整数之积-2007×（-2006）×（-2005）×…×0×2005×2006×2007=0， 故答案为0，0． 【点睛】题考查了有理数的乘法，先根据绝对值确定数，注意互为相反数的和为0，0乘任何数都得0． 16．观察下面一列数： 2 4 6 8 10 12 14 16 …… 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ． 【答案】90 【分析】先从排列中总结规律，再利用规律代入求解． 【详解】解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号； 如第四行最末的数字是，第9行最后的数字是， ∴第10行从左边数第9个数是． 故答案为：90． 【点睛】主要考查了数字规律探索，学生的综合数学素质，要求能从所给数据中找到规律并总结规律，会利用所找到的规律进行解题． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17题12分，第18~23题每小题8分，第24题12分，第25题14分。 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）根据有理数的加减法即可求解； （2）根据有理数的加减法即可求解； （3）根据有理数的乘除法法则计算即可求解； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减可即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 18．（8分）用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）某自行车厂计划一周生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出人，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制度，每辆车元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)辆 (2)元 【分析】此题考查了正数与负数的应用，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据表格及题意求出七天的生产情况，即可求出产量最多的一天比产量最少的一天多生产的； （2）求出七天共生产的辆数，然后根据工资总额的计算方法即可得到结果． 【详解】（1）解：辆． 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆． （2）解：辆， 所以这一周实际共生产自行车辆． 故该厂工人这一周的工资总额为元． 20．（8分）光年是天文学中使用的距离单位，主要用于度量太阳系外天体的距离，1光年≈9.46×1012 km，人类所观测的宇宙深度已达到150亿光年．纳米是表示微小距离的单位，1 nm(纳米)相当于1 mm的一百万分之一，即1 m＝109 nm.纳米材料学作为一门新兴学科正成为跨世纪的科技热点之一．请回答下列问题(用科学记数法表示)： (1)你知道1千米是多少纳米吗？ (2)你知道1光年约是多少纳米吗？ (3)目前人类所观测到的宇宙深度至少多少米？ 【答案】（1）1012纳米；（2）9.46×1024纳米；（3）1.419×1026(米) 【分析】（1）用1000乘以1m表示的纳米数计算即可得解； （2）用1光年的千米数乘以1km表示的纳米数计算即可得解； （3）用150亿乘以1光年表示的米数计算即可得解． 【详解】解：（1）1000×109=1012； （2）9.46×1012×1012=9.46×1024； （3）（150×108）×（9.46×1012×1000）=1.419×1026． 【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 21．（8分）已知有理数，，且，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查绝对值及有理数的乘法，根据绝对值的性质及已知条件求得a，b的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：，， ， 或6， ， ， 则或， 当时，； 当时，； 综上，的值为． 22．（8分）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 23．（8分）[运算能力]阅读下面的材料： 因为，，，，， 所以． 请你用上面的方法计算：． 【答案】 【分析】根据所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚所给的等式的形式并灵活运用． 24．（12分）课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 25．（14分）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$