精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

数学试卷 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（ ） A. 19 B. 23 C. 21 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43， 所以这组数据的中位数是． 故选：C． 2. 已知，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知为两条不同直线，为两个不同平面，且，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直线，平面的位置关系逐项判断可得每个选项的正确性. 【详解】对于A，可能相交，如图所示正方体中，若为直线， 为平面，为平面，若为，则，故A错误； 对于B：由，，可得或， 当，又，所以， 当，则在内存在，又，则，又，所以，故B正确； 对于C：，，则可得，又，所以或，故C错误； 对于D：，，可得，又，可得或与相交，故D错误. 故选：B. 4. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. e C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，可得对定义域内的每一个数均成立，可求. 【详解】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以，所以， 可得， 可得对均成立， 所以. 故选：A. 5. 已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用复数的运算法则化简即可求得. 【详解】由复数，则，， 故复数在复平面内的点的坐标为. 故选：B 6. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程分别求得，进而可判断结果. 【详解】由，可得，可得， 解得或， 所以或或， 由，可得，解得或， 所以或或， 所以. 故选：B. 7. 如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到. 【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为， 则，， 所以，即． 故选：A． 8. 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】 设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得， 所以的周长的最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，则，逐项计算可判断每个选项的正确性. 【详解】设且，则， ， 所以，所以，故A正确； ，故B正确； 当时，满足，但不能得出，故C错误； 因为， 所以，则或，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知样本数据（，）的方差为，平均数，则（ ） A. 数据，，，，的方差为 B. 数据，，，，的平均数大于0 C. 数据的方差大于 D. 数据的平均数大于 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方差、平均数的定义和性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：数据，，，，的方差为，A正确； 对B：数据，，，，的平均数为， 当时，，故B错误； 对C：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误； 对D：因为，数据的平均数， 因为，故数据的平均数大于，故D正确. 故选：AD. 11. 如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（ ） A. 圆锥的体积为 B. 当为中点时，线段在底面的投影长为 C. 存在，使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可判断A；设M在底面上的投影为H，利用余弦定理求得投影的长，判断B；根据线面垂直的性质定理可判断C；结合，可求得的长，即可判断D. 【详解】对于A，设圆锥的底面半径为R，高为h，由题意知， 圆锥的母线长为，故， 故圆锥体积为，A错误； 对于B，当为中点时，设M在底面上的投影为H，则H为的中点， 则为线段在底面的投影， ，而，在中， ， 即，即线段在底面的投影长为，B正确； 对于C，作于T，作于，连接， 设圆锥底面直径为，由于， 即，则， ，则为正三角形，故T为的中点， 则，故，即为的四等分点， 由于平面底面，平面底面，底面， ，故平面，平面，故， 又，平面，故平面， 平面，故， 故当M与重合时，，C正确； 对于D，由C的分析知，，而， 故，D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则_______. 【答案】200 【解析】 【分析】根据分层抽样得到老、中年旅客的人数，相加后得到答案. 【详解】青年旅客抽到60人，则老、中年旅客的人数分别为和， 故. 故答案为：200 13. 在中，是边上的高，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案. 【详解】设， 则， 由得， 解得，故，所以. 故答案为：. 14. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】设,因，则得,借助于基本不等式可得,验证等号成立的条件，即得. 【详解】设,则 因，则得，又因，则有. 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2. 故答案为: 2. 【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件即得. 四、解答题：本题：大题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 15. 某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径（单位：）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为.已知样本中钢球直径在内的个数是20. （1）求样本容量； （2）若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数. 【答案】（1）50； （2）160. 【解析】 【分析】（1）用频数除以频率即可求解； （2）首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解. 【小问1详解】 因为样本中钢球直径在内的个数是20，其频率为0.40， 所以样本容量为. 【小问2详解】 样本中这批产品的不合格产品件数为， 由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为. 16. 设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若三点共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可； （2）根据求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 由于复数是纯虚数，则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，，则点，，点 所以，　　　　 因三点共线，所以，所以， 所以 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 18. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得，进而可得结果； （2）根据题意利用余弦定理解得，再结合面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 则， 若，则，且，所以； 若，则，即， 且，所以， 但，由正弦定理可得，不合题意； 综上所述：. 【小问2详解】 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 则，所以的面积. 19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解； ②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①. 设，又，所以， 则 所以 ， 因为，则， 所以，则 故； ②设， 则， 所以，由得， 即，整理得， 所以， 所以. 所以. 令， ， ，令， 则， 因为， 则，即， 所以在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（ ） A. 19 B. 23 C. 21 D. 18 2. 已知，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知为两条不同直线，为两个不同平面，且，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. e C. D. 5. 已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 10. 已知样本数据（，）的方差为，平均数，则（ ） A. 数据，，，，的方差为 B. 数据，，，，的平均数大于0 C. 数据的方差大于 D. 数据的平均数大于 11. 如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（ ） A. 圆锥的体积为 B. 当为中点时，线段在底面的投影长为 C. 存在，使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则_______. 13. 在中，是边上的高，若，则______． 14. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 四、解答题：本题：大题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤： 15. 某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径（单位：）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为.已知样本中钢球直径在内的个数是20. （1）求样本容量； （2）若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数. 16. 设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若三点共线，求实数的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上一点，且，求的面积． 19. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $