专题03 垂径定理的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题03 垂径定理的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用垂径定理求线段长问题 1 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 5 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 8 类型四、利用垂径定理解实际应用问题 10 压轴能力测评（12题） 16 解题知识必备 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 压轴题型讲练 类型一、利用垂径定理求线段长问题 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ． 【变式训练1】（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，在中，弦，，，则的半径长为 ． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径弦于点E，若，，求的长． 【变式训练3】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 例题：（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 【变式训练2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 例题：（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式训练1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 类型四、利用垂径定理解实际应用问题 例题：（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【变式训练2】（23-24九年级上·广西百色·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【变式训练3】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 二、填空题 4．（2024·山东菏泽·三模）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 5．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为 ． （2）当点P在上运动时（保持不变），则 ． 三、解答题 7．（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． (1)求的长； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 9．（23-24九年级下·北京·开学考试）玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 10．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点D到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：） 11．（2023九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 垂径定理的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用垂径定理求线段长问题 1 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 5 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 8 类型四、利用垂径定理解实际应用问题 10 压轴能力测评（12题） 16 解题知识必备 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 压轴题型讲练 类型一、利用垂径定理求线段长问题 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：设直线与轴交于点，过点作，则， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，在中，弦，，，则的半径长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解本题的关键．根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， 的半径长为：10． 故答案为：10． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径弦于点E，若，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，设，可得，代入数据即可求得的值，从而得到的长． 【详解】如图，连接，设， 则，． ∵直径弦于点E， ， ， ， ，（舍去）， ， ． 【变式训练3】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 类型二、利用垂径定理求平行弦问题 例题：（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质： （1）作于点E，交于点F，连接运用证明，可得出结论； （2）设的半径为，在中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， 又， ∴， 在中，， 即：， 解得，， ∴. 【变式训练1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图2所示， ，， ，， ， ，， ； 综上所述：和之间的距离为或． 【变式训练2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 类型三、利用垂径定理求同心圆问题 例题：（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【变式训练1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 类型四、利用垂径定理解实际应用问题 例题：（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 【变式训练2】（23-24九年级上·广西百色·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 【变式训练3】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案． 【详解】解：作于M，于N，连接，， 由垂径定理得 勾股定理得：， 弦互相垂直， ， 于M，于N， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论． 【详解】解：， （寸）． 设圆的半径为寸，则寸， 寸， ， ， 解得：． 圆柱形木材的直径是（寸）． 故选：C 二、填空题 4．（2024·山东菏泽·三模）如图，是的半径，弦于点，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．根据垂径定理和勾股定理列方程即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或（舍去）， 的长是， 故答案为：3． 5．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为 ． （2）当点P在上运动时（保持不变），则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，完全平方公式等知识点，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题． （1）作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． （2）由，得到，因此，得到，即可解决问题． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． （2）由（1）知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 【答案】该圆材的直径为20寸 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径． 【详解】解：设该圆材的半径为寸． 如图所示，过点作 于点，交于点，连接， 则寸， 设寸，尺寸， 所以 寸． 在中， 即 解得， 则，即该圆材的直径为寸． 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． (1)求的长； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）如图：作，垂足为E，由垂径定理可得，，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到的值，即可解答． 【详解】（1）解：如图：作，垂足为， 由垂径定理知，点是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； （2）解：如图：连接， 在中，，， ． 在中， ，， ,即小圆的半径为． 9．（23-24九年级下·北京·开学考试）玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 【答案】该玉环中孔半径的长 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理得出，设，则，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：半径于点，， ， 设，则， ， ， 解得：， 该玉环中孔半径的长． 10．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点D到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：） 【答案】(1)拱门最高点D到地面的距离为 (2)搬运该桌子时能够通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）连接．由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，即可求解； （2）如图2，连接，由垂径定理可得，用勾股定理解求出，比较与抬起后桌子的高度即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点D到地面的距离为． （2）解：如图2， 为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接， 则，，， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， ∴． ∵， ∴搬运该桌子时能够通过拱门． 11．（2023九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 【答案】 5 12 10 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （2）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （3）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （4）根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接、，设的半径为 是的中点， ， ， 即 解得： 故的半径为． （2）如图，连接， 的半径为 弦直径 则由垂径定理有， 即 ． （3）如图，连接，设的半径为 是的直径，弦， 则由垂径定理有， 解得： 则 故的直径为． （4）， 由勾股定理可得 则在中，由勾股定理可得 解得：． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合题，题目较为简单，合理运用垂径定理和勾股定理是本题解题的关键． （1）根据垂径定理可知，然后根据菱形的判定定理解答即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，得出，然后根据圆心角与弧的关系解答即可； （3）根据垂径定理和勾股定理，依次求出的长，最后可以求出到弦的距离. 【详解】（1）证明: ∵是的直径, ， ， 又∵是中点, ∴四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形为菱形； （2）证明: 连接，如图: ， ， ∵是 的角平分线， ， ， ∴， ， ， 又∵为直径， ， ∴是的中点， （3）， ， ， ， 又， ， ∴到的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$