第二章直线和圆的方程单元测试A卷-2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）（全国通用）

第二章 直线和圆的方程单元测试A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．2或1 D．或1 4．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线".已知平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 6．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 7．直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l：，圆C：，点，则（    ） A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离 C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切 10．已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 13．过三点的圆的标准方程是 . 14．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线与直线. (1)当时，求的值． (2)当时，求与之间的距离． 16．已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 17．的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线方程； (2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度． 18．已知圆与圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 19．定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1. （1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程； （2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程； （3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程单元测试A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线化为斜截式，得到斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意可知化为，，，. 故选：C. 2．已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．2或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，即可求解. 【详解】由直线，显然， 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 因为直线在x轴和y轴上的截距相等，可得， 即，解得或. 故选：C. 4．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线".已知平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程. 【详解】因为，不存在，所以为直角，即是直角三角形， 则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点， ， 则“欧拉线”的方程为，即. 故选：B 5．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 6．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 7．直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线所过定点，结合图形分析，由直线l与CP垂直时弦最短可解. 【详解】由得， 则令，解得，故直线过定点， 由，则圆心，半径， 当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率， 故直线为，则． 故选：D 8．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算. 【详解】 设，由点，，动点M满足， 得， 则， 所以轨迹C围成的图形为圆，其半径平方， 所以圆的面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l：，圆C：，点，则（    ） A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离 C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切 【答案】ABD 【分析】根据点与圆的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项. 【详解】圆，圆心，半径. 对于A，若在圆上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故A正确； 对于B，若在圆内，则，圆心到直线的距离为： ，则直线与圆相离，故B正确； 对于C，若在圆外，则，圆心到直线的距离为：，直线与圆相交，故C错误； 对于D，若在直线上，则，圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故D正确. 故选：ABD. 10．已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 11．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 13．过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 14．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】数形结合，利用，即可解题. 【详解】    由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,， 则， 所以直线的方程为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线与直线. (1)当时，求的值． (2)当时，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线垂直可得出关于实数的方程，解之即可； （2）由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得与之间的距离． 【详解】（1）解：由，则，解得. （2）解：由可得，解得， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 因此，与之间的距离为. 16．已知点，直线，直线. (1)求点A关于直线的对称点B的坐标； (2)求直线关于直线的对称直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标， （2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程 【详解】（1）设点，则由题意可得， 解得， 所以点B的坐标为， （2）由，得，所以两直线交于点， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则 ，解得，即， 所以， 所以直线为，即， 所以直线关于直线的对称直线方程为 17．的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线方程； (2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度． 【答案】(1) (2)；中线的长度为5. 【分析】（1）先求的斜率，进而可得边上的高的斜率，结合斜截式即可求解； （2）先求出边上的中点的坐标，再利用两点式求出边上的中线所在直线方程；再利用两点间的距离公式求得边上的中线的长度的值． 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为， ，则， 由斜截式知边上的高所在直线方程为：， 即边上的高所在直线方程为：. （2）的三个顶点，，， 故边上的中点，边上的中线所在直线方程为， 即. 边上的中线的长度. 18．已知圆与圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆与圆圆心距与两半径关系证明； （2）两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程； （3）设出经过两圆交点的圆系方程，圆心坐标代入所在直线即可求解. 【详解】（1）圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆心距，，所以圆与圆相交. （2）两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为. （3）设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为 19．定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1. （1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程； （2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程； （3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2） 或；（3）存在或. 【分析】（1）先运用直线的点斜式方程，建构直线方程，再运用点到直线的距离公式待定斜率； （2）由已知可设圆心为，借助题设建构方程求出即可； （3）可先设点的坐标为，再依据题设建构关于的方程组，最后通过解方程组可使本题获解. 【详解】（1）因为圆的半径为1， 所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于， 设过点的直线方程为：即， 则由题意有，解得， 所以所求直线的方程为：. （2）由题设，由已知可设圆心为， 则所求圆的方程为：或， 又直线关于圆的圆心距单位， 所以圆心到直线的距离为， 即有或3， 所以所求圆的方程为或. （3）假设存在点，设过的两条直线为： 和， 又的圆心半径为1， 的圆心半径为2， 由题意可得， 化简可得或， 即有或， 解得或， 所以存在这样的点和 满足条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$