高一上学期第一次月考13大压轴考法60题（第1～2章：集合与逻辑+等式与不等式）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学上册压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

高一上学期第一次月考13大压轴考法60题专练（第1~2章） 一．集合的表示法（共3小题） 1．（2023秋•徐汇区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　　（请用列举法表示）． 2．（2021秋•黄浦区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　　（请用列举法表示） 3．（2021秋•黄浦区校级月考）对正整数，记，2，3，，，． （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14． 二．元素与集合关系的判断（共17小题） 4．（2023秋•杨浦区校级月考）若，则下列结论中正确结论的个数为　　 ①； ②； ③若，，则； ④若，且，则； ⑤存在且，满足． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2021秋•浦东新区校级月考）以某些整数为元素的集合具有以下性质： （1）中元素有正数，也有负数； （2）中元素有奇数，也有偶数； （3）； （4）若、，则． 则下列选项哪个是正确的　　 A．集合中一定有0但没有2 B．集合中一定有0可能有2 C．集合中可能有0可能有2 D．集合中既没有0又没有2 6．（2022秋•青浦区校级月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合，，，1，2，的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为　 　． 7．（2023秋•浦东新区校级月考）集合，中所有元素之和为3，则实数　　． 8．（2021秋•奉贤区校级月考）设数集，，，，而，，，的两两之和构成集合，8，9，11，12，，则集合　　． 9．（2022秋•金山区校级月考）对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，，则中所有元素的和为 　　． 10．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　　． 11．（2022秋•虹口区校级月考）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　　． 12．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，直接写出集合、（无需写计算过程）； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中的元素个数，求的最大值． 13．（2023秋•青浦区校级月考）已知为正整数，集合，，，，，，，2，，具有性质：“对于集合中的任意元素，，，，，且，其中，2，，”． （1）当时，写出满足条件的集合； （2）当时，求的所有可能的取值． 14．（2023秋•普陀区校级月考）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 15．（2022春•普陀区校级月考）已知集合． （1）若中只有1个元素，求实数的取值范围； （2）若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 16．（2022春•普陀区校级月考）（1）求关于的方程的解集：，． （2）已知集合，，，若，求实数的值． 17．（2022秋•闵行区校级月考）已知集合，集合，2，，集合，1，，且集合满足，． （1）求实数的值； （2）对集合，，，，其中，2，，，定义由中的元素构成两个相合：，，，，，，其中是有序实数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质． ①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； ②试判断和的大小关系，并证明你的结论． 18．（2021秋•黄浦区校级月考）已知为一个数集，集合，． （1）设，3，，求集合的元素个数； （2）设，证明：若，则； （3）设，，，且，，若，求的最小值． 19．（2022秋•浦东新区校级月考）已知是满足下列条件的集合：，；②若、，则；③若且，则． （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“若，则”是真命题； （3）证明：若，则． 20．（2020秋•徐汇区校级月考）设且，有限集合，，，，其中，若对任意、，都有，则称集合为“含差集合”． （1）分别判断集合，2，和集合，2，是否是“含差集合”，并说明理由； （2）已知集合，，，，，集合，，，若集合是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明． 三．集合的包含关系判断及应用（共3小题） 21．（2023秋•杨浦区校级月考）集合，，且，则实数可取值组成的集合为 　　． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合有整数解，非空集合满足条件： （1）， （2）若，则，则所有这样的集合的个数为　　． 23．（2023秋•宝山区校级月考）已知命题：函数且满足（a），命题：集合，，且． （1）分别求命题、为真命题时的实数的取值范围； （2）设、皆为真命题时的取值范围为集合，已知，，若在全集中的补集于，求的取值范围． 四．子集与真子集（共8小题） 24．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，2，3，4，5，6，7，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为　　 A．508 B．512 C．1020 D．1024 25．（2023秋•杨浦区校级月考）已知集合，，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 　　． 26．（2023秋•浦东新区校级月考）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 　　． 27．（2023秋•静安区校级月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数的取值范围是 　　． 28．（2022秋•浦东新区校级月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为 　　． 29．（2021秋•浦东新区校级月考）设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．那么使能分成两个不相交的稀疏集的并集时，的最大值是 　　． 30．（2022秋•普陀区校级月考）设集合，2，，则的真子集的个数为　　． 31．（2023秋•浦东新区校级月考）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 五．交集及其运算（共5小题） 32．（2022春•普陀区校级月考）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　　． 33．（2021秋•宝山区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （Ⅰ）若集合，，直接写出集合，； （Ⅱ）若集合，，，，，且，求证：； （Ⅲ）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 34．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 35．（2020秋•青浦区校级月考）设集合， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，，求实数的取值范围． 36．（2021秋•黄浦区校级月考）已知集合，，若，求实数的取值范围． 六．交、并、补集的混合运算（共2小题） 37．（2023秋•普陀区月考）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足： （1），；；（2）；（3）． 计算　　． 38．（2020秋•浦东新区校级月考）已知有限集合，，，，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合．对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，，如此经过次变换后得到的新集合记作． （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设，，，是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合． 七．充分条件与必要条件（共4小题） 39．（2020秋•浦东新区校级月考）定义且，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 40．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 41．（2021秋•徐汇区校级月考）已知集合，，． （1）由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 42．（2021秋•黄浦区校级月考）设集合，，． （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 八．不等关系与不等式（共1小题） 43．（2023秋•徐汇区校级月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 九．基本不等式及其应用（共3小题） 44．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，若实数，且，则的最小值是 　　． 45．（2020秋•浦东新区校级月考）上海某玩具厂生产套吉祥物“福娃”所需成本费用为元，且，而每套售出的价格为元，其中， （1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？ （2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求，的值．（利润销售收入成本） 46．（2023秋•宝山区校级月考）阅读：已知、，，求的最小值．解法如下：，当且仅当，即，时取到等号，则的最小值为．应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，，，求的最小值； （2）已知，求函数的最小值； （3）已知正数、、，，，，求证：． 一十．一元二次不等式及其应用（共8小题） 47．（2021秋•青浦区校级月考）已知关于的不等式，下列结论正确的是　　 A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以为的形式 C．不等式的解集恰好为，那么 D．不等式的解集恰好为，那么 48．（2021秋•徐汇区校级月考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　　． 49．（2022秋•普陀区校级月考）设，，若存在唯一的使得关于的不等式有解，则的取值范围是 　　． 50．（2020秋•浦东新区校级月考）已知关于的不等式的解集为、且为有限集，则集合元素个数最少时，　　（用列举法表示）． 51．（2020秋•徐汇区校级月考）关于的方程的解为不大于2的实数，则的取值范围为　　． 52．（2022秋•浦东新区校级月考）已知关于的不等式，其中； （1）试求不等式的解集； （2）对于不等式的解集，记（其中为整数集），若集合为有限集，求实数的取值范围，使得集合中元素个数最少，并用列举法表示集合． 53．（2023秋•浦东新区校级月考）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 54．（2023秋•浦东新区校级月考）（1）求解关于的不等式：； （2）设集合，若集合中有3个元素，求的取值范围， 一十一．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共2小题） 55．（2021秋•黄浦区校级月考）已知关于的方程的两个根为、，且在区间，内恰好有两个正整数，则实数的取值范围是 　　． 56．（2022秋•浦东新区校级月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　　． 一十二．根据实际问题选择函数类型（共1小题） 57．（2021秋•奉贤区校级月考）若某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售额金额的（即每销售100元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提到元．但提价后每年的销量会减少万件．求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元． 一十三．绝对值不等式的解法（共3小题） 58．（2023秋•宝山区校级月考）已知，设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 59．（2023秋•浦东新区校级月考）解下列不等式组和方程，并将解集表达成区间或集合的形式． （1）； （2）． 60．（2021秋•普陀区校级月考）已知函数的表达式为． （1）若，的解集为，求实数的值； （2）若，在，上的最大值为3，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期第一次月考13大压轴考法60题专练（第1~2章） 一．集合的表示法（共3小题） 1．（2023秋•徐汇区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　　（请用列举法表示）． 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果，具体过程详见解析． 【解答】解：根据题意，，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或② 解方程①得，， 解方程②得，若，即或时，方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：，． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，以及分类讨论在解题中的使用，属于中档题． 2．（2021秋•黄浦区校级月考）用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，，则实数的所有可能取值构成集合，则　，，　（请用列举法表示） 【分析】由于等价于或，或，又由，，且，可得集合要么是单元素集合，要么是三元素集合． （1）集合是单元素集合，则，（舍去）．方程①有两相等实根，②无实数根， （2）集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即可得出． 【解答】解：由于等价于或①，或②， 又由，，且， 集合要么是单元素集合，要么是三元素集合， （1）集合是单元素集合，则，（舍去）． 则方程①有两相等实根，②无实数根， ； （2）集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根， 即， 解得， 综上所述或， 即，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、方程的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2021秋•黄浦区校级月考）对正整数，记，2，3，，，． （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； （3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14． 【分析】（1）由题意可得，2，，由，，可得，，，2，，，3，，； （2）对于集合，有．当时，根据中有3个数与，2，，中的数重复，由此求得集合中元素的个数． （3）先用反证法证明证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证满足要求，从而求得的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得，2，， 由，， 可得，，，2，，，3，，； （2）对于集合，有． 当时，，2，，7，，2，，，7个数， 当时，，2，，7，对应有7个数， 当时，，2，，7，对应有7个数， 当时，，，1，，2，，3，中有3个数，2， 与时中的数重复， 当时，，2，，7，对应有7个数， 当时，，2，，7，对应有7个数， 当时，，2，，7，对应有7个数， 由此求得集合中元素的个数为． （3）证明：先证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当时， 可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设和为两个不相交的稀疏集，使． 不妨设，则由于，，即．同理可得，，．又推出， 但，这与为稀疏集相矛盾． 再证满足要求．当时，，，可以分成2个稀疏集的并集． 事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则和都是稀疏集，且． 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，，，，， 可以分为下列3个稀疏集的并： ，，，，，，． 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，， 可以分为下列3个稀疏集的并： ，． 最后，集合，，且，4，9 中的数的分母都是无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且． 综上可得，的最大值为14． 【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 二．元素与集合关系的判断（共17小题） 4．（2023秋•杨浦区校级月考）若，则下列结论中正确结论的个数为　　 ①； ②； ③若，，则； ④若，且，则； ⑤存在且，满足． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断． 【解答】解：若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，，不妨设， 则，，，所以，③正确； 对于④，若，且，不正确，例如，，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确． ①②③⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查了元素与集合的关系，子集的定义，举反例说明命题错误的方法，是中档题． 5．（2021秋•浦东新区校级月考）以某些整数为元素的集合具有以下性质： （1）中元素有正数，也有负数； （2）中元素有奇数，也有偶数； （3）； （4）若、，则． 则下列选项哪个是正确的　　 A．集合中一定有0但没有2 B．集合中一定有0可能有2 C．集合中可能有0可能有2 D．集合中既没有0又没有2 【分析】由（4）得，则是正整数），由（1）可设，，且，，可得利用反证法可得若，则中没有负奇数，若中负数为偶数，得出矛盾即可求解． 【解答】解：由（4）得，则是正整数）， 由（1）可设，，且，，则、，而， 假设，则，由上面及（4）得0，2，4，6，8，均在中，故是正整数）， 不妨令中负数为奇数为正整数），由（4）得，矛盾， 故若，则中没有负奇数， 若中负数为偶数，设为为正整数），则由（4）及，得，，，均在中， 即为非负整数），则中正奇数为，由（4）得，矛盾，综上，，． 故选：． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了反证法的应用，属于中档题． 6．（2022秋•青浦区校级月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合，，，1，2，的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为　7　． 【分析】先找出具有伙伴关系的元素：1，1；2，；3，共三组，它们中任一组、二组、三组均可组成非空伙伴关系集合，利用列举法列出即可． 【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1，1；，2；，3共三组， 它们中任一组，二组或三组均可组成非空伙伴关系集合， 即，，，，，，2，，，3，，，，，，2，，3，共7个， 故答案为：7． 【点评】本题考查集合的子集问题、排列组合等知识以及对新概念问题的理解，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力． 7．（2023秋•浦东新区校级月考）集合，中所有元素之和为3，则实数　　． 【分析】按方程解的个数及方程的解是否有1分类讨论，从而求． 【解答】解：当△时， 方程有两个相同的根， 则，， 故， 解得； 当△时， 方程有两个不相同的根，， 若1是方程的根， 则方程的另一个根为4， 则，，不成立； 若1不是方程的根， 则，，， 则， 故， 故（舍去）； 综上所述，； 故答案为：． 【点评】本题考查了分类讨论的思想方法的应用，考查了集合中元素的特征的应用，属于中档题． 8．（2021秋•奉贤区校级月考）设数集，，，，而，，，的两两之和构成集合，8，9，11，12，，则集合　，4，7，或，3，6，　． 【分析】由题意可得，，，两两的和互不相同，进而分两种情况：或进行求解即可． 【解答】解：设，由于集合中有个元素，即知，，，两两的和互不相同，因，且，只有两种情况： （1），，，，，，，8，9，11，12，， 由，，得，， 进而得，，，，，，4，7，． （2），则，，，，，，8，9，11，12，， 于是，，得，， 进而得，，，，，，3，6，． 故答案为：，4，7，或，3，6，． 【点评】考查列举法表示集合，元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，是中档题． 9．（2022秋•金山区校级月考）对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，，则中所有元素的和为 　11　． 【分析】由取整函数的定义，函数的取值分，，，，等5类进行讨论求解． 【解答】解：由题意知， ①当时， ，，， ②当时， ，，， ③当时， ，，， ④当时， ，，， ⑤当时， ，，， 故中所有元素的和为， 故答案为：11． 【点评】本题以取整函数为载体考查了分类讨论的思想方法应用，难题在于确定分类的标准，属于中档题． 10．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　，，，4，，，2，3，　． 【分析】，设的元素乘积为，的元素和为，①若集合中只有一个元素，，，故不可能成立；②若集合中有两个元素，求出集合中的元素中，较小的元素不小于4，不大于6，③若集合中有4个元素，集合中一定有元素1，2，分类讨论，能求出结果． 【解答】解：集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和， 中元素和为：， 设集合中元素乘积为，集合中元素和为， ①若集合中只有一个元素，，，故不可能成立； ②若集合中有两个元素，， 集合中的元素中，较小的元素不小于4，不大于6， 若集合中的元素有4，设另一个元素为，则，在集合内无解； 若集合中的元素5，设另一个元素为，则，在集合内无解； 若集合中的元素有6，设另一个元素为，则，解得， 集合，； ③若集合中有三个元素， ，集合中的元素中，最小的元素不大于2， 若集合中较小的元素是1，4，设最大的元素为，则，解得， 若集合中较小的元素是1，5， 设最大的元素为，则，在集合内无解； 若集合中较小的元素是1，6， 设最大的元素为，则，在集合内无解； 若集合中较小的元素是2，3， 设最大的元素为，则，在集合内无解． 集合，4，， ③若集合中有4个元素， ，集合中一定有元素1， ，集合中一定有元素1，2， 若集合中较小的元素是1，2，3， 设最大的元素为，则，解得； 若集合中较小的元素是1，2，4，设最大的元素为，则，在集合内无解， 故集合，2，3，； 集合中不可能有5个及以上元素． 综上所述，满足条件的集合有，，，4，，，2，3，． 故答案为：，，，4，，，2，3，． 【点评】本题考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 11．（2022秋•虹口区校级月考）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　1或　． 【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解． 【解答】解：当时，当，时，则，， 当，时，则，， 即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即， ，解得． 当时，当，时，则，． 当，，则，， 即当时，，当时，，即， 即当时，，当时，，即， ，解得． 当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 12．（2023秋•徐汇区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （1）若集合，，直接写出集合、（无需写计算过程）； （2）若集合，，，，，且，求证：； （3）若集合，，，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合，即可； （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，，，，，求出对应的集合，，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可． 【解答】解：（1）集合，，，，，，，， 集合，4，，集合，． （2）证明：集合，，，，，且， 中也只包含4个元素，即，，，， 剩下的元素满足， ； （3）集合，，，记为集合中元素的个数， 设集合 ，，，满足题意，其中， 则， ，，， ，由容斥原理，， 最小的元素为0，最大的元素为， ， ，解得， 实际上当，676，，时满足题意． 证明如下： 设，，，，，，， 则，，，，，，1，2，，， 依题意，有，即， 的最小值为675， 当时，集合中元素最多，即，676，，时满足题意， 综上，的最大值为1349． 【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 13．（2023秋•青浦区校级月考）已知为正整数，集合，，，，，，，2，，具有性质：“对于集合中的任意元素，，，，，且，其中，2，，”． （1）当时，写出满足条件的集合； （2）当时，求的所有可能的取值． 【分析】（1）时，写出集合中的元素为、、、、； （2）时，首先证明，且，再推导出为最大值，为最小值，进而通过“移位”的方法，可得的所有可能的取值． 【解答】解：（1）时，由题设，在，，，中，有3个，3个． 集合中的元素为，1，1，，，，，1，，1，，，，1，，，1，，，，1，1，，，，，1，，1， ，1，1，，，，，1，，1，，，，1，，，1，，，，1，1，，，，，1，，1，． （2）时，首先证明，且． 在中，令，得，从而有； 在中，令，得． 又，故，从而有， 考虑，，1，，，，即，时， 此时为最大值， 现交换与，使得，，此时， 现将逐项前移，直至，在前移过程中，显然不变， 这一过程称为1次“移位”； 将与交换后再将与交换，使得，，，，此时，再将，依次前移，这个过程中不变． 依此类推，每次“移位”， 的值依次递减2，经过有限次移位，，，，一定可以调整为1，交替出现．注意到为奇数，所以为最小值， 所以的所有可能取值，1，3，5，7，9． 【点评】此题考查了集合中的元素组成，是一类探究性问题． 14．（2023秋•普陀区校级月考）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标． （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”． （3）依题意可得，从而得到，即可得解． 【解答】解：（1）因为， 根据题设中的定义可得点的一个“上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和， 即“上位点” ，“下位点” （答案不唯一）； （2）点是点的“下位点”． 证明：点是点的“上位点”， ， 又，，，均大于0， ， ， ，即， 所以点是点的“下位点”． （3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”； 即； 所以对任意的，都有， ， 所以当时，对任意的，存在， 使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”． 【点评】本题考查集合新定义，理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键． 15．（2022春•普陀区校级月考）已知集合． （1）若中只有1个元素，求实数的取值范围； （2）若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合． 【分析】（1）按方程是一次方程，二次方程讨论求实数的取值范围为，； （2）由根与系数的关系知△，且，，从而得到方程，即可求得或，再代入求集合即可． 【解答】解：（1）当时，，解得，符合题意， 当时，△，解得，符合题意， 故实数的取值范围为，； （2）关于的方程存在两个不相等实根， △， 且，， 则， 即， 故或， 当时，，， 当时，． 【点评】本题考查了方程的解法及集合的应用，考查了分类讨论的思想及方程思想的应用，属于中档题． 16．（2022春•普陀区校级月考）（1）求关于的方程的解集：，． （2）已知集合，，，若，求实数的值． 【分析】（1）化简得，分类讨论得当时，方程的解集为，当时，方程无解，当时，化简可得，故方程的解集为； （2）分类讨论即可． 【解答】解：（1）， ， 当时，方程的解集为， 当时，方程无解， 当时，化简可得， 故方程的解集为； （2）若，则， 此时，，不成立， 若，则或， 当时不成立， 若，则，，不成立， 若，则或， 当时不成立， 若，则，，成立； 综上所述，． 【点评】本题考查了方程的解与集合的化简运算，考查了集合中元素特征的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题． 17．（2022秋•闵行区校级月考）已知集合，集合，2，，集合，1，，且集合满足，． （1）求实数的值； （2）对集合，，，，其中，2，，，定义由中的元素构成两个相合：，，，，，，其中是有序实数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质． ①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； ②试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【分析】（1）由，，可得，从而可求得的值，验证即可得结论； （2）①由（1）求得，，检验性质，即可得到结论； ②分别证得和，从而可得． 【解答】解：（1）已知集合，2，，集合，1，， 由，，可得， 即是方程的一个根， 即，即，解得或． 当时，方程为，解得或，此时，（不合题意，舍去）； 当时，方程为，解得或，此时，符合题意． 综上，． （2）①由（1）可知，1，2，，，1，2，， 易得集合不满足性质，集合满足性质， 则，，， ，，． ②与的大小关系为． 证明如下：对于，根据定义知，，且，从而， 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立， 故与也是的不同元素， 可见中元素的个数不多于中元素的个数，即． 对于，根据定义知，，且，从而， 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立，故与也是的不同元素， 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即． 综上，． 【点评】本题考查实数值、集合的求法，考查并集、交集、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 18．（2021秋•黄浦区校级月考）已知为一个数集，集合，． （1）设，3，，求集合的元素个数； （2）设，证明：若，则； （3）设，，，且，，若，求的最小值． 【分析】（1）分别求出、，、，、，、，、，、，、、时，的值，由此能求出集合． （2）由，，求出，从而推导出，由此能证明． （3）求出，设，推导出，设，得，利用判别式法，能求出的最小值． 【解答】解：（1）解：为一个数集，集合，． ，3，， 当时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当时，， 当时，， ，12，28，36，52，76，84，，8个． （2）证明：，， ， ． ． （3）解：， 设，，， 设，整理得， 判别式法，△，得， 即． 的最小值为． 【点评】本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（2022秋•浦东新区校级月考）已知是满足下列条件的集合：，；②若、，则；③若且，则． （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：“若，则”是真命题； （3）证明：若，则． 【分析】（1）由①②容易得到，所以由③得到：； （2），能得到，由已知条件知，所以只要证明任意的正整数即可得到任意的整数，可考虑用数学归纳法来证：1，，假设，则，所以根据数学归纳法对任意正整数，所以便得到是的充分条件； （3）先构造出，所以可证明：若，，则，．先证明，设，，则得到，，，所以，所以，所以得到，由前面知，，，所以，，所以便可得到，，从而． 【解答】解：（1）正确；证明如下： 由①，，由②知； ， 由③知； （2）证明：由②知，若，则，故只需证明任意正整数即可； 由（1）知，，假设正整数，则； 由数学归纳法知：任意正整数； 即，是的充分条件； （3）先证：若，则 由②知，若，且，，则； 由③知，， 所以所以，所以，所以得到， 再证：若，，则 ，； ， ， 由前面知：，，，， ．． 【点评】考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，本题属于难题． 20．（2020秋•徐汇区校级月考）设且，有限集合，，，，其中，若对任意、，都有，则称集合为“含差集合”． （1）分别判断集合，2，和集合，2，是否是“含差集合”，并说明理由； （2）已知集合，，，，，集合，，，若集合是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明． 【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可； （2）根据“含差集合”的定义，可求出集合，再与集合比较即可． 【解答】解：（1）由，2，，可知或2或4，因为0，2，， 所以集合，2，是“含差集合”， 由，2，，可知或1或2， 因为， 所以，2，不是“含差集合”． （2）因为，，，，是含差集合， 所以，且对任意、，都有， 因为最小， 所以， 因为， 所以或（舍， 所以， 又且，， 可得，， ，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为，，此种情况不成立， 当时，， 所以， 又且，，，， 可得，，， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，因为，此种情况不成立， 当时，， 当时，， 所以，，，或， 所以，，，，或，，，，此种情况，不成立， 所以，，，，， 而，，，，，，， 所以． 【点评】本题考查了“含差集合”，集合间的关系，属于难题． 三．集合的包含关系判断及应用（共3小题） 21．（2023秋•杨浦区校级月考）集合，，且，则实数可取值组成的集合为 　，0，　． 【分析】根据题意解出集合，结合，考虑和两种情况，分别进行计算即可得到答案． 【解答】解：因为，， 所以由可得：， 1．当时，，满足条件； 2．当时，，， 所以或，即或． 综上所述：，0，． 故答案为：，0，． 【点评】本题考查集合间的基本运算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 22．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合有整数解，非空集合满足条件： （1）， （2）若，则，则所有这样的集合的个数为　31　． 【分析】根据集合有整数解，利用韦达定理，可求出集合，进而根据已知中集合满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于，或同不属于，进而得到满足条件的集合的个数． 【解答】解：（1）的整数解只能是36的约数 当方程的解为，36时，； 当方程的解为，18时，； 当方程的解为，12时，； 当方程的解为，9时，； 当方程的解为，6时，； 当方程的解为1，时，； 当方程的解为2，时，； 当方程的解为3，时，； 当方程的解为4，时，； 故集合，，，，0，5，9，16， 由非空集合满足条件：（1），（2）若，则， 可得这样的集合共有个 故答案为：31 【点评】本题考查的知识是集合包含关系及时应用，其中分析出中不确定元素的组（个数是解答的关键． 23．（2023秋•宝山区校级月考）已知命题：函数且满足（a），命题：集合，，且． （1）分别求命题、为真命题时的实数的取值范围； （2）设、皆为真命题时的取值范围为集合，已知，，若在全集中的补集于，求的取值范围． 【分析】（1）直接利用绝对值不等式的解法的应用和一元二次不等式的解法的应用求出结果； （2）利用真值表和不等式的解法及集合间的关系的应用求出结果． 【解答】解：（1）函数且满足（a）， 故，整理得． 故命题为真命题时，； 命题：集合，，且． 当时，△，即； 当时，，整理得； 故当为真命题时，； （2）、皆为真命题时， 则，整理得． 已知，， 故，故， 由于， 所以，解得， 故，． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的解法，一元二次方程的解法，真值表，命题真假的判定，集合间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 四．子集与真子集（共8小题） 24．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，2，3，4，5，6，7，，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，3，，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为　　 A．508 B．512 C．1020 D．1024 【分析】根据集合，求出它的非空子集的个数，在所有子集中，求出各个元素出现的次数，即可解答． 【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，它的非空子集共有255个， 其中1，2，3，4，5，6，7，8都出现了次 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查集合与集合之间的关系，计数原理，有理数指数幂的运算，统计知识，难度大． 25．（2023秋•杨浦区校级月考）已知集合，，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 　320　． 【分析】判断各子集中，每个元素出现的次数，可计算子集中元素和的总和． 【解答】解：集合，，3，4，5，，的所有非空子集数为个， 其中，单元素集合中只有含有元素2，2出现了1次， 双元素集合含有2的有，，，，，，，，2出现了4次， 三元素集合含有2的有，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，2出现了6次 四元素集合含有2的有，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，2出现了4次 五元素集合含有2的有，3，4，5，，2出现了1次， 故2出现了次， 同理，其它元素也都出现了16次， 所以各子集元素和的总和为． 故答案为：320． 【点评】本题主要考查集合子集的求解，属于中档题． 26．（2023秋•浦东新区校级月考）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 　　． 【分析】根据题意得出集合只有一个元素，得出方程只有一个实数根，然后讨论根的情况即可求出的值． 【解答】解：有且仅有2个子集， 只有一个元素， 方程只有一个实数根，或有两个实数根时，其中一个根为1或， △，解得，或，，或，， 时，，满足题意；时，满足题意；时，满足题意， 的取值集合为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程有二重根时判别式的取值情况，子集的定义及求法，考查了计算能力，是中档题． 27．（2023秋•静安区校级月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数的取值范围是 　，，　． 【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值． 【解答】解：集合，，， ，， 若时，则， 即有， 即两个集合构成“全食”； 若，可得，， 由，可得，解得，此时两个集合构成“全食”； 若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得，解得，此时两个集合构成“偏食”． 综上可得，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于中档题． 28．（2022秋•浦东新区校级月考）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为 　，，　． 【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值． 【解答】解：集合，， ，， 若，则， 即有； 若，可得，， 不满足； 若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集， 可得或，解得或． 综上可得，或或2； 故答案为：，，． 【点评】本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题． 29．（2021秋•浦东新区校级月考）设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．那么使能分成两个不相交的稀疏集的并集时，的最大值是 　14　． 【分析】先用反证法证明证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证满足要求，从而求得的最大值． 【解答】解：先证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当时， 可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设和为两个不相交的稀疏集，使． 不妨设，则由于，，即．同理可得，，．又推出， 但，这与为稀疏集相矛盾． 再证满足要求．当时，，，可以分成2个稀疏集的并集． 事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则和都是稀疏集，且． 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合， 可以分为下列3个稀疏集的并： ，． 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合， 可以分为下列3个稀疏集的并： ，． 最后，集合，，且，4，9 中的数的分母都是无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且． 综上可得，的最大值为14． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 30．（2022秋•普陀区校级月考）设集合，2，，则的真子集的个数为　7　． 【分析】根据集合元素个数和真子集的关系即可判断． 【解答】解：集合含有3个元素， 其真子集的个数为个． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查集合关系的判断，含有个元素子集个数为个，真子集的公式为，比较基础． 31．（2023秋•浦东新区校级月考）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，，，，，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明． 【解答】解：（1），3，，，10，； （2）设，，，，，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，，，，，，，，，，，此时中元素个数大于等于7个， 所以生成集中元素个数的最小值为7； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，， 不妨设，则集合的生成集，，，，，； 则必有，，其4个正实数的乘积； 也有，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，． 【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题． 五．交集及其运算（共5小题） 32．（2022春•普陀区校级月考）已知集合和，使得，2，3，4，5，6，7，8，9，，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合　，，，4，，，2，3，　． 【分析】由，设的元素乘积为，的元素和为，从而可知集合最多有4个元素；以集合中元素的个数为标准分类讨论，再结合的元素乘积等于的元素和讨论元素的值即可． 【解答】解：， 设的元素乘积为，的元素和为， ①若集合中只有一个元素， ，，故不可能成立； ②若集合中有两个元素， ， 集合中的元素中，较小的元素不小于4，不大于6， 若集合中的元素有4， 设另一个元素为，则， 在集合内无解， 若集合中的元素有5， 设另一个元素为，则， 在集合内无解， 若集合中的元素有6， 设另一个元素为，则， 则， 故集合，； ③若集合中有三个元素， ， 集合中的元素中，最小的元素不大于2， 若集合中较小的元素是1，4， 设最大的元素为，则， ， 若集合中较小的元素是1，5， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 若集合中较小的元素是1，6， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 若集合中较小的元素是2，3， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 故，4，； ③若集合中有4个元素， ， 集合中一定有元素1， ， 集合中一定有元素1，2， 若集合中较小的元素是1，2，3， 设最大的元素为，则， ， 若集合中较小的元素是1，2，4， 设最大的元素为，则， 在集合内无解， 故，2，3，； 集合中不可能有5个及以上元素； 综上所述，满足条件的集合有 ，，，4，，，2，3，． 【点评】本题考查了集合的性质的应用及分类讨论的思想应用，属于难题． 33．（2021秋•宝山区校级月考）已知集合为非空数集，定义：，，，，，． （Ⅰ）若集合，，直接写出集合，； （Ⅱ）若集合，，，，，且，求证：； （Ⅲ）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【分析】（Ⅰ）根据题目定义，直接计算集合及； （Ⅱ）根据两集合相等即可找到，，，的关系； （Ⅲ）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由集合，，计算集合，4，，，； （Ⅱ）由于集合，，，，，且， 所以中也只包含四个元素，即，，，， 剩下的，所以； （Ⅲ）设，， 满足题意，其中， 则， ，，， ，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ， ， 实际上当，675，676，，时满足题意， 证明如下： 设，，，，，， 则，，，，，，1，2，，， 依题意有，即， 故的最小值为674，于是当时，中元素最多， 即，675，676，，时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347． 【点评】本题考查的知识点是新定义，正确理解集合的定义是解答的关键，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题． 34．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）当时，化简集合，集合，再根据集合的并集运算可得解； （2）即，抓住集合是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解． 【解答】解：（1）若，由，解得，则， 又，即等价于，解得， 则， ． （2）由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又， ，解得， 综上，实数的取值范围是，． 【点评】本题考查集合的基本运算，属中档题． 35．（2020秋•青浦区校级月考）设集合， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题目中条件：“”，知2是方程的一个根，由此可得实数的值； （2）由题目中条件：“，”，知，由此可得实数的取值范围； （3）由题目中条件：“，”，知，由此可得实数的取值范围． 【解答】解：（1），，代入中方程 得，所以或（2分） 当时，，，满足条件； 当时，，也满足条件 综上得的值为或；（4分） （2），（5分） ①当△，即时，满足条件 ②当△即时，，满足要求（6分） ③当△，即时，，才能满足要求，不可能 故的取值范围是．（9分） （3）， ， （10分） ①当△，即时，，满足条件 ②当△即时，，不适合条件 ③当△，即时，此时只需且 将2代入的方程得或 将1代入的方程得（12分） 综上，的取值范围是或或（14分） 【点评】本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化． 36．（2021秋•黄浦区校级月考）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【分析】分当时、当时 两种情况，分别根据，求得的范围，再取并集，即得所求． 【解答】解：集合，，或， 当时，，满足． 当时，，，由可得 ，且，求得． 综上可得，． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，两个集合的交集运算，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 六．交、并、补集的混合运算（共2小题） 37．（2023秋•普陀区月考）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足： （1），；；（2）；（3）． 计算　或　． 【分析】根据题意得出，计算、和，从而求出． 【解答】解：因为，，， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以； 同理，，所以； 由（1），；；（2）；（3）； 所以； 所以，，； 所以或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题． 38．（2020秋•浦东新区校级月考）已知有限集合，，，，若集合中任意元素都满足，则称该集合为收敛集合．对于收敛集合，定义变换有如下操作：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为，令，若集合还是收敛集合，则可继续实施变换，得到的新集合记作，，如此经过次变换后得到的新集合记作． （1）设，请写出的所有可能的结果； （2）设，，，是收敛集合，试判断集合最多可进行几次变换，最少可进行几次变换，并说明理由； （3）设，对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时，求所有的满足条件的集合． 【分析】（1）由题意可知，，0，，分，为，0，，为，和，为0，三种情况，结合集合新定义，可得的所有可能结果． （2）由收敛集合的定义推出仍是收敛集合，分，两种情况，进行变换，可得结果． （3）先根据运算：，满足交换律和结合律，再取和，和，和，和，0和进行运算，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可知，，0，， 若取，为，0，则，所以，， 若取，为，，则，所以，， 若取，为0，，则，所以，， 综上，的所有可能结果有，，，． （2）对任意的收敛集合，，，，，， 其中两个元素，，都有，， 则 ， 即，所以仍是收敛集合， 若，则的元素个数比少2个， 若，则的元素个数比少1个， 所以对于含有10个元素的集合， 若每进行一次变换，得到新收敛数列比前一个减少1个元素， 则至多可进行9次变换，此时只含有一个元素，无法进行变换； 若每进行一次变换，得到新收敛数列比前一个减少2个元素， 则至少可进行5次变换，此时只含有一个元素，无法进行变换； 所以最多进行9次变换，最少进行5次变换． （3）由于，，，，，，，， 对于集合反复变换，当最终所得集合只有一个元素时， 对于满足，的实数，定义运算：， 因为，且， 所以，该运算满足交换律， 因为， 且， 所以，该运算满足结合律， 所以，运算满足交换律和结合律， 由于， 先取，进行运算，得到，，，，，，， 再取，进行运算，得到，，，，， 再取，进行运算，得到，，，， 再取，进行运算，得到，， 再取0，进行运算，得到， 所以， 综上，最终所得集合只有一个元素时，所有满足条件的集合． 【点评】本题考查集合新定义，解题中要认真审题，理解定义，属于难题． 七．充分条件与必要条件（共4小题） 39．（2020秋•浦东新区校级月考）定义且，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】作出示意图，由于，可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可． 【解答】解：如图由于，可知两个阴影部分均为， 于是ⅠⅣⅤ，ⅢⅣⅤ，ⅠⅡⅢⅤ， （1）若，则Ⅴ， 所以ⅠⅣ， 而ⅠⅡⅣ， 所以成立， （2）反之，若， 则由于ⅠⅡⅣ，ⅠⅣⅤ， 所以ⅠⅣⅤⅠⅡⅣ， 所以Ⅴ， 所以， 故是的充要条件， 故选：． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 40．（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合，，． （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 【分析】（1）将，9，10分别代入关系式，若满足关系式，则属于，若不满足关系式，则不属于，即可得答案， （2）根据已知中集合的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案． （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解答】解：（1），，，， 假设，，，则，且， ， 或， 显然均无整数解， ， ，，， （2）集合，，则恒有， ， 即一切奇数都属于， 又， ”的充分非必要条件是“”， （3）集合，、，成立， ①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 41．（2021秋•徐汇区校级月考）已知集合，，． （1）由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； （2）已知集合，，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）写出所有满足集合的偶数． 【分析】（1）直接利用关系式的变换判断元素和集合的关系； （2）利用关系式的恒等变换，进一步求出充分性和必要性； （3）利用关系式的变换求出满足条件的集合． 【解答】解：（1）由于，所以， 假设，，， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； 证明：（2）集合，，则恒有，所以，即一切奇数都属于； 又，所以的充分非必要条件是， 解：（3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． 【点评】本题考查的知识要点：元素和集合的关系的判断，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 42．（2021秋•黄浦区校级月考）设集合，，． （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 【分析】（1）可从中任意取出两个数为，，，这样便可得出，从而便可得出属于的两个整数之积属于． （2）先设，，，而，可以看出取，时，便可得到，这便可得出所有奇数都属于； （3）成立，当，同奇或同偶时，，均为偶数；当，一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合的偶数． 【解答】解：（1）证明：从里面随便选2个数：和； 作乘积， ； ，，，； ，； ； 即属于的两个整数之积属于． （2），，； 而，故， ，故， ，无整数，解，故， （3）集合，、， 成立，①当，同奇或同偶时，，均为偶数， 为4的倍数， ②当，一奇，一偶时，，均为奇数， 为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 反之当，即，． 故“偶数属于”的一个充要条件为这个偶数为，． 【点评】考查描述法表示集合，平方差公式的运用，知道表示偶数，表示奇数，其中，判断一个数是否为的元素，只需判断这个数能否写成两个整数平方差的形式．是难题． 八．不等关系与不等式（共1小题） 43．（2023秋•徐汇区校级月考）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】直接利用作差法和不等式的性质判断、、、的结论． 【解答】解：对于和，当，时，由于不能为分母，故和错误； 对于：由于，所以，故成立，故正确； 对于：由于，，时，，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，作差法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 九．基本不等式及其应用（共3小题） 44．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，若实数，且，则的最小值是 　　． 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可． 【解答】解：易知，且，，故是奇函数， 因为在上单调递增， 若， 则，化简得， 则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题． 45．（2020秋•浦东新区校级月考）上海某玩具厂生产套吉祥物“福娃”所需成本费用为元，且，而每套售出的价格为元，其中， （1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？ （2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求，的值．（利润销售收入成本） 【分析】（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值； （2）根据利润销售收入成本，求出利润函数， 再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，即可求，的值 【解答】解：（1）由题意，每套“福娃”所需成本费用为， 当，即时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元．（6分） （2）利润为（9分）． 由题意，（12分） 解得，．（14分）． 【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键． 46．（2023秋•宝山区校级月考）阅读：已知、，，求的最小值．解法如下：，当且仅当，即，时取到等号，则的最小值为．应用上述解法，求解下列问题： （1）已知，，，，求的最小值； （2）已知，求函数的最小值； （3）已知正数、、，，，，求证：． 【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 【解答】解（1）， ， 当且仅当时取等号．即的最小值为9． （2）， 而，， 当且仅当，即时取到等号，则， 函数的最小值为18． （3）， ． 当且仅当时取到等号，则． 【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 一十．一元二次不等式及其应用（共8小题） 47．（2021秋•青浦区校级月考）已知关于的不等式，下列结论正确的是　　 A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以为的形式 C．不等式的解集恰好为，那么 D．不等式的解集恰好为，那么 【分析】利用一元二次不等式的解法求解不等式，即可判断选项，在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，由图象分析，即可判断选项，由题意得到，且当，时，函数的值都是，求出的值，分析和两种情况是否符合题意，即可判断选项，． 【解答】解：由，可得， 因为，则△， 所以不等式的解集为空集， 故选项错误； 在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，如图所示， 设直线与函数图象交于点，在的左侧）， 直线与函数图象交于点，在的左侧）， 由图可知，当时，不等式的解集可以写成的形式， 故选项错误； 令，由不等式的解集恰好为， 则，即，且当，时，函数的值都是， 由，解得或， 当时，由，解得或，不满足，不符合题意， 故选项错误； 当时，由，解得或（舍， 此时， 故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程以及二次函数之间关系的应用，不等式与函数图象关系的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与识图能力，属于中档题． 48．（2021秋•徐汇区校级月考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　，，　． 【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围． 【解答】解：不等式可化为， ①当时，原不等式等价于，其解集为，，不满足题意； ②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； ③当时，原不等式等价于，其解集为，， 其解集中恰有2个整数，，解得：； ④当时，原不等式等价于，其解集为，，，不满足题意； ⑤当时，原不等式等价于，其解集为，， 其解集中恰有2个整数，，解得：， 综合以上，可得：，，， 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题，属于有一定难度的题． 49．（2022秋•普陀区校级月考）设，，若存在唯一的使得关于的不等式有解，则的取值范围是 　　． 【分析】根据题意可得，分别解不等式以及，可得，再结合，，且唯一，可建立关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：由，可得，则的解为， 的解为， 又关于的不等式有解，则， 所以， 又，，且唯一，则， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查不等式的解法及其运用，考查运算求解能力，属于中档题． 50．（2020秋•浦东新区校级月考）已知关于的不等式的解集为、且为有限集，则集合元素个数最少时，　，，，0，1，2，．　（用列举法表示）． 【分析】分类讨论：（1）当时，知，与是有限集相矛盾；（2）当时，先求出方程的两根，由为有限集，可确定，再结合基本不等式，即可得解． 【解答】解：（1）当时，有，，即， 此时不是有限集，不符合题意； （2）当时，设方程的两根为，，不妨取，， 为有限集， ， 此时，当且仅当，即时，等号成立， ， 又集合中元素个数最少， 只能取，此时，，，0，1，2，． 故答案为：，，，0，1，2，． 【点评】本题考查一元二次不等式的解集问题，基本不等式，交集的运算，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 51．（2020秋•徐汇区校级月考）关于的方程的解为不大于2的实数，则的取值范围为　　． 【分析】把原方程化为未知项移到左边，常数项移动右边，然后当和时，分别代入即可得到方程不成立；当不等于0且不等于1时，求出方程的解，让方程的解小于等于2，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围，综上，得到符合题意的的取值范围． 【解答】解：由得： ， 若，不成立；，解得为，不成立， 若且时，则，即， 可化为：，解得：或， 综上，得到的取值范围为：． 故答案为： 【点评】此题考查分类讨论的数学思想，考查了一元一次方程的解法，是一道综合题．学生做题时应注意考虑且． 52．（2022秋•浦东新区校级月考）已知关于的不等式，其中； （1）试求不等式的解集； （2）对于不等式的解集，记（其中为整数集），若集合为有限集，求实数的取值范围，使得集合中元素个数最少，并用列举法表示集合． 【分析】（1）对分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出． （2）根据（其中为整数集），集合为有限集，即可得出． 【解答】解：（1）①当，； ②当，； ③当或，，或； ④当，，或； ⑤或9时， （2）（其中为整数集），集合为有限集， 只有，且，解得， 可得：，3，4，． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 53．（2023秋•浦东新区校级月考）已知关于的不等式的解集为． （1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果． （2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围． （3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【解答】解：（1）当时，不等式为，即，解得， 所以的取值范围是． （2）当时，解得，或， ①当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为； ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； ③当时，解得， 所以的取值范围是，，； 综上所述，实数的取值范围是，． （3）根据题意，得出解集，，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的值为5． 【点评】本题考查了解含有字母系数的不等式应用问题，也考查了转化思想，是中档题． 54．（2023秋•浦东新区校级月考）（1）求解关于的不等式：； （2）设集合，若集合中有3个元素，求的取值范围， 【分析】（1）先求出判别式△，再通过比较与1的大小进行分类讨论求解； （2）由题意知，，再根据中有3个元素，确定的范围，解之即可． 【解答】解：（1）△， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）集合中有3个元素， ，， ， 解得． 【点评】本题考查含参一元二次不等式的解法，交集的含义，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 一十一．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共2小题） 55．（2021秋•黄浦区校级月考）已知关于的方程的两个根为、，且在区间，内恰好有两个正整数，则实数的取值范围是 　　． 【分析】设，利用二次函数的性质以及根的分布，列出不等式组，求解即可． 【解答】解：设，对称轴为， 由已知得，解得， 的对称轴方程为，， 关于的方程的两个根为、， 且在区间，内恰好有两个正整数， ，解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，主要考查了二次函数的性质以及二次函数根的分布的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 56．（2022秋•浦东新区校级月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　3　． 【分析】设直角三角形的两直角边分别为，，由题意可得，，，由勾股定理可得斜边代入可求 【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为， 由题意可得，， 则由勾股定理可得斜边 故答案为：3 【点评】本题目主要考查了一元二次方程的根与系数的关系在解题中的应用，解题中的关键是变形的应用． 一十二．根据实际问题选择函数类型（共1小题） 57．（2021秋•奉贤区校级月考）若某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售额金额的（即每销售100元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提到元．但提价后每年的销量会减少万件．求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元． 【分析】由已知中该衬衫每件价格要提高到才能保证公司利润，由于提价每年将少销售万件，由此可以计算出年销售额，再由代销费为销售金额的，代入可得代理商收取的年代理费关于的函数解析式，再根据代理商每年收取的代理费不小于16万元，构造一个关于的不等式，解不等式可得的取值范围． 【解答】解：根据题意，代理商每年可销售万件衬衫，每件衬衫的价格为元，因此年销售额为万元， 所以代理商收取的年代理费为，其中，（写为也可以） 依题意，得， 注意到，解得， 因此所求的取值范围是，． 【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，不等式的应用，属于中档题目． 一十三．绝对值不等式的解法（共3小题） 58．（2023秋•宝山区校级月考）已知，设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）当时，可得出，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可． 【解答】解：（1）当时，， 当时，，解得，此时，， 当时，，此时，不等式无解， 当时，，解得，此时，， 综上所述，当时，不等式的解集为或． （2）因为，当且仅当时等号成立， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 因为恒成立，则，可得或，解得或． 所以，实数的取值范围是或． 【点评】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 59．（2023秋•浦东新区校级月考）解下列不等式组和方程，并将解集表达成区间或集合的形式． （1）； （2）． 【分析】（1）结合绝对值不等式、分式不等式的解法求得正确答案． （2）利用零点分段法求得方程的解． 【解答】解：（1）因为， 所以或， 解得或， 又， 得， 所以不等式组的解集为，； （2）， 当时，，恒成立． 当时，． 当时，，无解． 当时，，恒成立． 综上所述，方程的解集为． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，分式不等式的解法，属中档题． 60．（2021秋•普陀区校级月考）已知函数的表达式为． （1）若，的解集为，求实数的值； （2）若，在，上的最大值为3，求实数的值． 【分析】（1）当时不等式河化为，根据其解集为，列方程求实数的值； （2）研究函数在，上的单调性，求其在，上的最大值，列方程求实数的值即可． 【解答】解：（1）当时，不等式可化为． ． 当时，不等式的解集为，不满足要求， 当时，不等式的解集为，，由已知，， 满足条件的不存在， 当时，不等式的解集为，，由已知，， 所以， 综上可得实数的值为． （2）当时，， 当，即时，函数在，上单调递增， 函数在，上的最大值为（2）， ，， 当，即时，函数在，上单调递减， 函数在，上的最大值为， ．，与矛盾，舍去． 当，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增， 又，（2）， 当时函数在，最大值为， ， ，与矛盾，舍去， 当时函数在，上的最大值为． ，，与矛盾，舍去． 所以实数的值为． 【点评】本题考查函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$