专项训练：集合与常用逻辑用语的综合大题精练（6题型）-2024-2025学年上学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

专项训练：集合与常用逻辑用语的综合题精练 题型一 元素与集合的关系 1．（21-22高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 2．（2014高三·全国·专题练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 5．（21-22高一上·北京西城·期末）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 题型二 集合间的关系 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 7．（19-20高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 8．（21-22高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 9．（21-22高一·全国·课后作业）已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 10．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 题型三 集合间的交并补运算关系 11．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N；(2)求；(3)求；(4)求． 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 13．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知集合 (1)当时，求； (2)若______，（在①，②两个条件中任选一个填入前面横线中并解答），求实数的取值范围． 14．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 15．（23-24高二上·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 题型四 充分条件与必要条件 16．（9-10高三·江西宜春·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 17．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 20．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型五 全称量词与存在量词 21．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 23．（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 24．（13-14高二下·江苏扬州·期末）已知，命题，；命题，使得. (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围； 25．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知命题p：，，命题q：，． (1)若命题p为真命题，求a的取值范围； (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围． 题型六 集合的新定义问题 26．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 27．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 28．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 29．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 30．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 31．（23-24高一上·北京·期中）对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义. (1)设，请直接写出集合； (2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值． 32．（23-24高一上·浙江杭州·期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑； (2)设有限集为全集 （i）证明：； （ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项训练：集合与常用逻辑用语的综合题精练 题型一 元素与集合的关系 1．（21-22高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 2．（2014高三·全国·专题练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】(1) (2)的值为或，当时，当时 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根； （3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； （3）由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 5．（21-22高一上·北京西城·期末）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解. （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明. 【详解】（1）， （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题. 题型二 集合间的关系 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 7．（19-20高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 8．（21-22高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 9．（21-22高一·全国·课后作业）已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． （2）解：当时，，不成立； 当时，，，成立； 当且时，，，由，得，所以． 综上，的取值集合为． 10．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 题型三 集合间的交并补运算关系 11．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知全集，，． (1)求集合M，N； (2)求； (3)求； (4)求． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）由集合中的描述，列举集合中的元素，解集合中的方程，列举集合中的元素； （2）由交集的定义计算； （3）由并集和补集的定义计算； （4）由补集和并集的定义计算. 【详解】（1），； （2）； （3）∵，全集， ∴； （4）∵，， ∴． 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用交集运算求解； （2）根据题意得，求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， . （2），， . 13．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知集合 (1)当时，求； (2)若______，（在①，②两个条件中任选一个填入前面横线中并解答），求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据集合的交集运算求解即可； （2）选①根据并集的结果转化为，分类讨论求解；选②根据交集的结果转化为，据此列出不等式组求解即可. 【详解】（1）时，， ， （2）若选①，则． 当时，． 当时，，不等式组无解． 综上：的取值范围是 （2）若选②，则． ，解得． 的取值范围是 14．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 15．（23-24高二上·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 【答案】(1)具有性质，理由见解析； (2)不存在，证明见解析. 【分析】（1）根据定义计算即可判定； （2）根据定义对进行讨论，一一计算即可证明. 【详解】（1）对于集合， 根据定义可知，且符合定义， 所以具有性质； （2）假设存在具有性质，根据定义易知中有4个元素且， ①若，则，没有4个元素，不符题意舍去； ②若，则， 而，不符题意舍去； ③若，则， 而， 故中至多包含3个元素，不符题意舍去； ④若，则， 而，不符题意舍去； ⑤若，则，没有4个元素，不符题意舍去； 综上可知：不存在具有性质的集合. 【点睛】思路点睛：第二问需要根据定义得出，从而分五种情况进行讨论，讨论时依次得出集合的可能情况结合定义验证判定即可. 题型四 充分条件与必要条件 16．（9-10高三·江西宜春·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 17．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 18．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到，求出补集，从而利用交集概念求出答案； （2）是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，， ，故或， 故或； （2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集， ，， 故，解得， 故实数的取值范围是 19．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合. （2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得， 由是假命题，则是真命题， 所以实数的取值集合. （2）由（1）知，，由集合非空，得，解得， 选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件. 选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得， 所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是. 20．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 题型五 全称量词与存在量词 21．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解； （2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可. 【详解】（1）因为命题“，方程有实根”是真命题， 所以方程有实根，则有，解得， 所以实数m的取值集合. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当即时，不等式组无解，所以，满足题意； 当即时，不等式组的解集为， 由题意是的真子集，所以，所以. 综上，满足题意的a的取值范围是或. 23．（2023·重庆酉阳·一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件； （2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得. 【详解】（1）由q真：，得或， 所以q假：； （2）p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 24．（13-14高二下·江苏扬州·期末）已知，命题，；命题，使得. (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围； 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）先求出的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i.p真q假时和ii. p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解. 【详解】（1）记，由在单调递增，所以. 要使命题，为真命题，只需，即a的最大值为1. （2）命题，使得为真命题，则，解得：或. i.p真q假时，只需，所以； ii. p假q真时，只需或，所以； 所以或. 综上所述：a的取值范围为. 25．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知命题p：，，命题q：，． (1)若命题p为真命题，求a的取值范围； (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围． 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据命题为真结合二次函数性质，列不等式，求得答案； （2）结合（1），再求出命题q为真时a的范围，根据命题p和命题q至少有一个为真命题，分类求解，可得答案. 【详解】（1）由题意命题p： ，，当时，，不合题意； 当时，命题p为真命题，则需满足，即； （2）由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为； 命题q：，为真时，则， 当命题p真而命题q假时，且，故； 当命题p假而命题q真时，且，故； 当命题p和命题q都真时，且，则， 故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为或. 题型六 集合的新定义问题 26．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值. 【详解】（1）根据定义：，， 所以，； （2）由于集合，，且， 所以也只有四个元素， 即， 所以其余的则应满足， 所以，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以， 因为， ， 因为， 所以， 中最小的元素为，最大的元素为， ， 所以， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为674， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维. 27．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由函数的新定义求解即可； （2）先求出集合，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由，可知：，， （2）由可得：， 由题意可知， 由可知； 所以，解得， 所以 28．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 29．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 30．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 31．（23-24高一上·北京·期中）对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义. (1)设，请直接写出集合； (2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值． 【答案】(1) (2)34 (3)3或4或5 【分析】（1）直接由的定义计算即可求解. （2）若，则，则只需每个组成的数组能够覆盖即可，从而，其中表示不超过的最大整数. （3）首先证明，其次结合的定义得出满足距离的三角不等式：，从而运用到本题中即可得解. 【详解】（1）若， 则由集合新定义可知. （2）设有个元素，下证. 一方面，，则， 所以，即， 而，， 这表明了满足题意，此时，故； 另一方面：若，不妨设且， 由题意可知， 而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立， 但这与有100个元素矛盾， 所以. 综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34. （3）一方面：先来证明， ， 因此只要，就有， 而，，， 所以， 所以， 即， 从而. 另一方面：如果，，， 那么，，， 从而，同理， 因此由定义可得， 即满足距离的三角不等式； 所以在本题中，，， 即， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 综上所述，所有可能取值为3或4或5. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有，从而只需每个组成的数组能够覆盖即可；而第三问的关键是要注意到表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式，从而顺利得解. 32．（23-24高一上·浙江杭州·期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）. 定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中. (1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑； (2)设有限集为全集 （i）证明：； （ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑. 【答案】(1)都是集合的拓扑 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据集合的拓扑定义判断即可； （2）（i）根据集合的拓扑定义证明充要性即可； （ii）结合（i）的结论，根据集合的拓扑定义证明. 【详解】（1）族，都是集合的拓扑. （2）（i）设，则， 故存在整数使，因此，得. 设，则存在整数使，故， 因此，得 （ii）因为，，所以，； 设为的任意子集，则， ， 因为，故； ， 因为，故. 【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质. 七、解答题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$