专题05 二次函数单元过关（基础版）-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 二次函数单元过关（基础版） 考试范围：第二十二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A．(-3，0) B．(0，-3) C． D． 5．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．已知点，，（）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： x … 0 2 3 … y … 3 0 m 3 … 以下结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．这个函数的对称轴是 C．当时，随增大而增大 D．当时，的取值范围是 9．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则.其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF＝1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（请用“＜”连接） 12．抛物线的对称轴方程为 ． 13．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 m … 那么上表中m的值为 ． 14．抛物线开口向 ，有最 点，顶点坐标是 ． 15．把抛物线向左平移3个单位长度，就得到抛物线 ，抛物线是由抛物线向 平移 个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向 平移 个单位长度得到． 16．如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为______________． 18．某幢建筑物，从5米高的窗口用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点离墙距离．（结果保留根号） 19．用描点法画出的图像 （1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … … （2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是 ； ②抛物线与轴交点坐标是 ； ③当x满足 时，y＜0； ④它的对称轴是 ； ⑤当 时，随的增大而减小 20．抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是 ； （3）函数值y的最小值是 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且=4，求点P的坐标． 21．定义：将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”． 应用：现将抛物线向右平移个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，若为“平衡点”，求抛物线的表达式． 22．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … (1)该二次函数与y轴交点是____，对称轴是___． (2)求出该二次函数的表达式． 23．某商店经销《超级飞侠》 “乐迪”玩具，“乐迪”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“乐迪”玩具的单价 m（元/个）与销售数量 n（个）之间的函数关系如图所示． （1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策； （2）写出该店当一次销售 n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式；     （3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少元？ 24．如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式． (2)求C，D两点坐标及△BCD的面积． (3)若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 25．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 请你通过计算补全表格； （2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象； （3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为 cm； （4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是 cm．（结果保留1位小数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数单元过关（基础版） 考试范围：第二十二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若 是抛物线 上的两个点，则抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是； 故选A． 2．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可. 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标是解题的关键. 3．下列函数中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选B． 4．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A．(-3，0) B．(0，-3) C． D． 【答案】B 【分析】把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当x=0时，y=-3， 则抛物线y=x2-3与y轴交点的坐标为（0，-3）， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键． 5．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键,根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于，， ∴不等式为：或， 故选：． 6．已知点，，（）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点A（−1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（1，m），C（2，m−n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故C选项正确． 【详解】解：∵A（−1，m），B（1，m）， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于y＝x，y＝−的图象关于原点对称，因此选项A、B错误； ∵n＞0， ∴m−n＜m； 由B（1，m），C（2，m−n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴C选项正确 故选：C． 【点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 7．下列函数中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数：形如y=ax2+bx+c （a≠0）的函数是二次函数，可得答案． 【详解】A、是一次函数，故A错误； B、是反比例函数，故B错误； C、不是二次函数，故C错误； D、是二次函数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c （a≠0）的函数是二次函数，注意二次项的系数不能为零． 8．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： x … 0 2 3 … y … 3 0 m 3 … 以下结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．这个函数的对称轴是 C．当时，随增大而增大 D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】将表格内点坐标代入中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解． 【详解】解：将代入得： ， 解得， ， A、， ∴抛物线开口向上，原说法错误，故本选项不符合题意； B、图象对称轴为直线，原说法错误，故本选项不符合题意； C．∵图象对称轴为直线，开口向上， ∴当时y随x的增大而增大， 当时，随增大而增大说法错误，故本选项不符合题意； D、∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为， ∴当时，的取值范围是，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解． 9．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，则.其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=1可判断②； 根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点的位置可判断a、b、c的符号，进而可判断①； 根据抛物线的顶点结合最值可判断③； 抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧可判断④； 把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式，进一步即可判断⑤. 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1， ∴b=﹣2a＞0，且2a+b=0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c， ∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧 ∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误； ∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣， ∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 10．如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF＝1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知易得AC=2，∠ACD=45°，分0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3三种情况结合等腰直角三角形的性质即可得到相应的函数解析式，由此即可判断 【详解】解：①当0≤x≤1时，如图1， 设平移后的正方形交直线a于点G、H， 则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x， 则y＝S△HGCEC•GH•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线； ②当1＜x≤2时，如图2， 设平移后的正方形交b于点M、N交a于点GH， 则△A′GH、△MNC′均为等腰直角三角形， 则y＝S正方形ABCD﹣（S△A′GH+S△MNC′） ＝（）2 [（2﹣x）（2﹣x）×2﹣2×（x﹣1）（x﹣1）] ＝﹣2x2+6x﹣3； 该函数为开口向下的抛物线； ③当2＜x≤3时，同理可得：y＝（3﹣x）×2（3﹣x）x2﹣6x+9， 该函数为开口向上的抛物线； 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及到正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，结合图形正确分类是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（请用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，将x值代入求出对应的y值是解题的关键． 【详解】解： ，，为二次函数的图象上的三点， ， ， ， ， 故答案为：． 12．抛物线的对称轴方程为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求抛物线的对称轴，根据对称轴公式进行计算即可． 【详解】解：抛物线的对称轴方程为； 故答案为：． 13．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 m … 那么上表中m的值为 ． 【答案】0 【分析】由表中数据可得抛物线的对称轴为：，根据抛物线对称轴的性质可得与的函数值相同，即可得出结果． 【详解】解：由表中数据可得：与的函数值均为， ∴抛物线的对称轴为：， ∴与的函数值相同，均为， ∴， 故答案为：0． 【点睛】题目主要考查抛物线的对称性质，理解题意，从表中得出对称轴是解题关键． 14．抛物线开口向 ，有最 点，顶点坐标是 ． 【答案】 下 高 【分析】先化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一填写即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向下，有最高点，顶点坐标是， 故答案为：下，高，． 【点睛】本题考查二次函数图像的特征和性质，解题的关键是了解二次函数的性质，难度不大． 15．把抛物线向左平移3个单位长度，就得到抛物线 ，抛物线是由抛物线向 平移 个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向 平移 个单位长度得到． 【答案】 右 3 左 3 【分析】根据二次函数的平移方法即可求解． 【详解】抛物线向左平移3个单位长度，就得到抛物线，抛物线是由抛物线向右平移3个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向左平移3个单位长度得到． 故答案为：；右；3；左；3． 【点睛】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知平移的方法． 16．如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据图象得到的解集为或，然后不等式两边同时除以a，不等号方向改变即可求解． 【详解】解：由题意可知：和是方程的两根， 由图象可知：的解集为或，且二次函数的开口向下， ∴的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系的运用，数形结合思想，解答时分析函数的图象是关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为______________． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）由待定系数法解二次函数的解析式； （2）根据图象性质，当ax2+bx+c=-3即y=-3，由此得到其中一个解x=0，再根据抛物线的对称性，解得另一个解即可； 【详解】解：（1）把点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c得， 解得 抛物线解析式为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为：直线， 方程ax2+bx+c=-3的解即y=-3时x的值，由图象可知，抛物线与y轴的交点为（0，-3） 根据抛物线的对称性可得，抛物线与直线y=-3的另一个交点为（2，-3） 故得到方程ax2+bx+c=-3的解为， 故答案为：，； 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18．某幢建筑物，从5米高的窗口用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点离墙距离．（结果保留根号） 【答案】 米． 【分析】由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为，可设该抛物线的解析式为： ，把点代入，可求出抛物线解析式，把代入，即可求解． 【详解】解：由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为 ， ∴可设该抛物线的解析式为： ， 把点代入，得： 解得： ， ∴该抛物线的解析式为： ， ∴当 时，有 解得： ， （不合题意，舍去） ∴水流落地点离墙距离（米）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意设抛物线的顶点式，并利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 19．用描点法画出的图像 （1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … … （2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是 ； ②抛物线与轴交点坐标是 ； ③当x满足 时，y＜0； ④它的对称轴是 ； ⑤当 时，随的增大而减小 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1 ④直线x=-1；⑤x<-1 【分析】（1）把对应的x值代入求出对应的y值填表即可； （2）根据表中的数值描点、连线即可； （3）根据画的图象回答问题即可． 【详解】解：（1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … 0 -3 -4 -3 0 … （2）描点、连线，函数图像如图所示： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是（0，-3）； ②抛物线与轴交点坐标是（-3，0），（1，0）； ③当-3<x<1 时，y＜0； ④它的对称轴是直线x=-1； ⑤当x<-1时，随的增大而减小． 故答案为：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1 ④直线x=-1；⑤x<-1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法和二次函数图象的性质，解题关键是正确画出函数图象，利用数形结合思想准确解题． 20．抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A ，B ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是 ； （3）函数值y的最小值是 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且=4，求点P的坐标． 【答案】（1）(-2,0)，(2,0)；（2）x＜-2，或x＞2；（3）-4；（4）P的坐标为（,2），（-,2），，． 【分析】（1）由图像可得A，点B与点A关于y轴对称，故可得B； （2）函数值y>0，图像在x轴上方，由图像可得x的取值范围； （3）函数值y的最小值即是图像最低点的纵坐标，由图像可得； （4）由图像可求得抛物线的解析式，设点P的纵坐标为b，由=4可求b，代入解析式可求点P的横坐标，从而点P的坐标即可求解． 【详解】解：（1）由图像可得A（-2,0）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（2,0）； 故答案为：(-2,0)，(2,0)； （2）∵函数值y>0， ∴图像在x轴上方， ∴x＜-2，或x＞2； 故答案为：x＜-2，或x＞2； （3）函数值y的最小值即是图像最低点的纵坐标， 由图像可得函数值y的最小值是-4； 故答案为：-4； （4） 由图像可得，抛物线的顶点为（-4,0）， 设抛物线的解析式为， 则， ∵A（-2,0）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵=4，设点P的纵坐标为b， ∴， 即=2， ∴b=2，或b=-2， 当b=2时，，解得x=±， 此时点P的坐标为（,2），（-,2）， 当b=-2时，，解得x=±， 此时点P的坐标为（,-2），（-,-2）， 由上可知，点P的坐标为（,2），（-,2），，． 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图像和性质，利用好数形结合的思想． 21．定义：将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”． 应用：现将抛物线向右平移个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，若为“平衡点”，求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移和二次函数图象上点的坐标特征；根据平移方式可得出抛物线的解析式．再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意，将抛物线向右平移个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，则的解析式为 ∵为“平衡点” ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ∴ 解得：（舍）或， ∴抛物线的表达式． 22．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … (1)该二次函数与y轴交点是____，对称轴是___． (2)求出该二次函数的表达式． 【答案】(1)，直线 (2) 【分析】（1）根据表格数据可知时，即可求得对称轴，根据时，即可得该二次函数与y轴交点． （2）根据表格数据及对称轴，求出函数与x轴的交点，再由待定系数求解析式即可求解． 【详解】（1）根据时，即可得该二次函数与y轴交点为， 根据表格可知时， 对称轴为直线， 故答案为：，直线； （2） 时，，对称轴为， 时，， 设，将点代入得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求二次函数的对称轴，与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．某商店经销《超级飞侠》 “乐迪”玩具，“乐迪”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“乐迪”玩具的单价 m（元/个）与销售数量 n（个）之间的函数关系如图所示． （1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策； （2）写出该店当一次销售 n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式；     （3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少元？ 【答案】（1）一次性销售10到30个时，每多销售1个，玩具的单价下降1元；（2）W=20n；（3）当每个玩具不得低于85元时，n的位置范围为10<n≤25，函数图象都在最对称轴左侧，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大，所以为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元 【分析】（1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组求出解析式；然后根据解析式解释线段AB所表示的实际优惠销售政策即可． （2）分类讨论：当10<n<30时；当n≥30时，根据题意分别写出w与n的函数关系式即可． （3）先将W=-n2+50n化成顶点式，根据二次函数的性质讨论增减性，可得出答案． 【详解】（1）解：设m=kx+b， 把A（10，100）和B（30，80）代入上式，得 解之： ∴线段AB的函数的解析式为m=−n+110（10≤n≤30）； 由解析式可知线段AB所表示的实际优惠销售政策：一次性销售10到30个时，每多销售1个，玩具的单价下降1元． （2）解：当10<n<30时，W=（m−60）n=（−n+110−60）n=−n2+50n， 当n≤30时，W=（80−60）n=20n． （3）解： W=−n2+50n=−（n−25）2+625， ①当10<n≤25时，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大； ②当25<n≤30时，W随n的增大而减小，即卖的越多，利润越小； ∴卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多． ∴当n=25时，m=−n+110=85， ∴当每个玩具不得低于85元时，n的位置范围为10<n≤25，函数图象都在最对称轴左侧，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大，所以为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元． 【点睛】此题考查的是二次函数和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． 24．如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式． (2)求C，D两点坐标及△BCD的面积． (3)若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)C(-1，0)；D(3，0)；6 (3)或 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）由（1）知抛物线的表达式为， 令，则，解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴下方的抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED并延长交CG于点F，连接AF．设A、E两点间的距离为xcm，E、F两点间的距离为ycm．小亮根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x变化而变化的规律进行了探究．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）列表：如表的已知数据是根据A、E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 请你通过计算补全表格； （2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出剩余的点（x，y），并画出函数y关于x的图象； （3）根据函数图象，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为 cm； （4）解决问题：当EF﹣AE＝2时，BE的长度大约是 cm．（结果保留1位小数） 【答案】（1）4.24；（2）见解析；（3）4.5；（4）3.3（答案不唯一） 【分析】（1）证明△CE′F′为等腰直角三角形，则y＝E′F′＝CE′，即可求解； （2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可； （3）观察函数图象即可求解； （4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2，观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）当x＝3时，点E、F的位置为E′和F′， 此时AE′＝AB，故CE′⊥AB， 则∠E′CB＝90°﹣45°＝45°，即Rt△BCE′为等腰直角三角形， ∵点D是BC的中点，则DE′⊥BC， 则∠DE′B＝45°，故∠CE′D＝45°， ∵AB∥DG，故∠GCE′＝90°， ∴△CE′F′为等腰直角三角形， 则y＝E′F′＝CE′＝AC＝6×sin45°＝3≈4.24， 故答案为：4.24； （2）根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下： （3）从图象看，当E、F两点间的距离y最小时，A、E两点间的距离约为x＝4.5（cm）， 故答案为：4.5； （4）在（2）的图象的基础上，画出函数y＝x+2， 从图象看，两个函数的交点的横坐标为x≈2.7（cm）， 则BE＝AB﹣x＝6﹣2.7＝3.3（cm）（答案不唯一）， 故答案为：3.3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，函数图象的实际应用；解题的关键是读懂题意，熟练运用好数形结合的思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$