第二十四章 圆（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十四章 圆（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】圆上的任意一点与圆心的连线段都是半径，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 （）； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的半径定义，理解定义是解题的关键． 2．如图，在中，，则的大小是（ ） A．30° B．120° C．135° D．150° 【分析】直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，且∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=120°； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是3cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm， 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦． 4．如图，的内接四边形中，，则为（    ） A． B． C． D． 【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】连接，根据垂径定理，得；再根据勾股定理，即可求出． 【详解】连接 ∴ ∵ ∴， ∴在中， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理的运用． 6．如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在⊙O中，， ，故①正确； 为公共弧， ，故④正确； ，故②正确； ，故③正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 7．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．   C．   D．   【分析】根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 8．的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与点A到圆心O的距离大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，点A到圆心O的距离， ∴， ∴点A在外． 故选：C 9．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 【分析】本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法的意义及步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行判断作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则， ∴首先应该假设． 故选：B． 10．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 11．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以为半径的圆 B．以为半径的圆 C．以为半径的圆 D．以为半径的圆 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵于B， ∴以点P为圆心，为半径的圆与直线l相切． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和相交⇔；直线l和相切⇔；直线l和相离⇔． 12．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（    ）    A．6π B．2π C．π D．π 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵直径AB=6， ∴半径OB=3， ∵圆周角∠A=30°， ∴圆心角∠BOC=2∠A=60°， ∴的长是=π， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是． 14．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 15．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，根据题意得出，，，再由等角对等边确定，连接，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：和是的两条切线， ，，， ∵， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ． 【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论． 【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°， ∴∠AOB=2×∠ACB=72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键． 17．已知的半径为，，则点P在的 ．（填“上面”“内部”或“外部”） 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：∵点P到圆心的距离OP=8cm，小于⊙O的半径10cm， ∴点P在圆内部． 故答案为：内部． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．    【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解. 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠B＝110° ∴∠ADE=∠B＝110° 故填：110°. 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 19．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留） 【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由，得到，，然后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：如图， ， ， ， 扇形的面积． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）如图，，是的两条弦，且，求证：． 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可． 【详解】， ， ， ． 21．（6分）如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 22．（7分）如图，正六边形内接于，求的度数． 【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案. 【详解】解： 正六边形内接于， 是直径， 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键. 23．（6分）已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的的切线． 【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解； （2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解． 【详解】（1）解：半径，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． （2）解：如图所示， 连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线． 【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键． 24．（8分）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 25．（8分）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到答案； （2）根据垂径定理得到的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26．（8分）如图，已知AB是半圆的直径，点是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点，使PC =BP，连结AC． (1)求证：． (2)若AB=4，： ①求弦BP的长．②求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB=90°，故AP⊥BC，再由PC=PB即可得出结论； （2）①先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长；②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影=S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论． 【详解】（1）解：连接AP． ∵AB是半圆O的直径，∴∠APB=90°， ∴AP⊥BC． ∵PC=PB， ∴ AB=AC； （2）解：①∵∠APB=90°，AB=4，∠ABC=30°， ∴AP=AB=2， ∴BP===2； ②连接OP． ∵∠ABC=30°， ∴∠POA=60°， ∴∠POB=120°． ∵点O是AB的中点， ∴S△POB=S△PAB=×AP•PB=×2×2=， ∴S阴影=S扇形BOP﹣S△POB =﹣ =π﹣． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 27．（12分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）证明是的切线，根据，，可证明，由此即可求证； （2）如图所示（见详解），作于，在中，可求出，在中，可求出，，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：选择①②可证明③或选择①③可证明②或选择②③可证明①， 以选择①②可证明③为例证明， 证明：如图所示，连接， ， ， ， ，即，点在上， ∴与相切． 故答案为：①②，③． （2）解：如图所示，作于， 在中， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明，不规则图形的面积，掌握圆的切线的证明方法，观察图形的组成部分，几何图形的面积计算方法是解题的关键． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则的大小是（ ） A．30° B．120° C．135° D．150° 3．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm 4．如图，的内接四边形中，，则为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于点C，则OC＝（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．   C．   D．   8．的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定 9．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 10．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以为半径的圆 B．以为半径的圆 C．以为半径的圆 D．以为半径的圆 12．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（    ）    A．6π B．2π C．π D．π 14．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．如图，和是的两条切线，、是切点，连接交于点、，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ． 17．已知的半径为，，则点P在的 ．（填“上面”“内部”或“外部”） 18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．    19．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留） 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）如图，，是的两条弦，且，求证：． 21．（6分）如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 22．（7分）如图，正六边形内接于，求的度数． 23．（6分）已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的的切线． 24．（8分）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 25．（8分）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． （1）求证：． （2）若，，求的长． 26．（8分）如图，已知AB是半圆的直径，点是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点，使PC =BP，连结AC． (1)求证：． (2)若AB=4，： ①求弦BP的长．②求阴影部分的面积． 27．（12分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$