2.1直线的斜率（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.1 直线的斜率 课程标准 学习目标 （1）在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 探索确定直线位置的几何要素; （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念, 经历用代数方法刻画直线斜率的过程； （3）掌握过两点的直线斜率的计算公式。 （1）掌握直线倾斜角和斜率的概念; （2）会求直线的斜率； （3）掌握直线斜率的几何意义.（难点) 知识点01 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 【即学即练1】 如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 知识点02 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 如左图，当时，是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而； 如左图，当时，也是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为， 其中，而. (简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大) 【即学即练2】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点03 斜率公式 1 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 2 直线的斜率为. 【即学即练3】 若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（    ） A．0 B． C． D． 【题型一：直线的倾斜角】 例1．如图，已知直线的倾斜角为150°，，垂足为B．，与x轴分别相交于点C，A，平分，则的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 变式1-1．图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 变式1-2．直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 变式1-3．已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 理解直线倾斜角的概念是关键；当直线与轴平行，则倾斜角；当直线与轴平行，则倾斜角. 【题型二：直线斜率的定义】 例2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式2-3．如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A． B． C． D． 变式2-4．(多选)已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 理解直线斜率与倾斜角的关系：； 2 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 【题型三：斜率与倾斜角的变化关系】 例3．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（     ） A． B． C． D． 变式3-2．图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 变式3-3． 三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（    ） A． B． C． D．不能确定 【方法技巧与总结】 斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大。 【题型四：已知两点求斜率】 例4．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知直线l经过点和点，则 A．斜率为定值，但倾斜角不确定 B．倾斜角为定值，但斜率不确定 C．斜率与倾斜角都不确定 D．斜率为，倾斜角为 变式4-2．已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知抛物线上一点，过作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于不同的两点，，已知直线的斜率为－2，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C．1 D． 【方法技巧与总结】 1经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 2 若两直线倾斜角互补，且它们的斜率存在，则它们的斜率互为相反数. 【题型五：已知斜率求参数】 例5．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．-5 B．-7 C．-2 D．2 变式5-1．已知，，三点共线，则实数（    ） A．10 B．4 C．－4 D．－10 变式5-2．过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D． 变式5-3．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ． 【方法技巧与总结】 根据倾斜角或斜率公式等方法引入参数表示直线斜率，进而根据直线斜率的特点求出参数. 【题型六：直线与线段的相交关系求斜率范围】 例6．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 变式6-2．已知点，，直线：与线段相交，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 变式6-3．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 直线斜率与倾斜角的关系，直线越陡斜率绝对值越大。 2 求直线斜率的取值范围，注意一些临界值的求值。 【题型七：斜率公式的应用】 例7．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式7-2．已知函数.则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-4．已知曲线，则的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 1 求(其中是一直线或曲线上点的横坐标和纵坐标)的最值或取值范围的问题，可根据直线斜率公式，把它理解为点与之间的斜率，再根据直线斜率的变化求出其最值或取值范围. 一、单选题 1．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 3.已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4.已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（    ）． A．或 B．或 C． D． 5.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 6.若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 7.坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10.如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11.已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    13.若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 14.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 四、解答题 15．（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 16.光线从点射到轴上的点，经轴反射后过点，试求点的坐标及入射光线的斜率． 17.已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 18.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 19．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； (4)求由函数与的图像所围成图形的面积．（用表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 直线的斜率 课程标准 学习目标 （1）在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 探索确定直线位置的几何要素; （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念, 经历用代数方法刻画直线斜率的过程； （3）掌握过两点的直线斜率的计算公式。 （1）掌握直线倾斜角和斜率的概念; （2）会求直线的斜率； （3）掌握直线斜率的几何意义.（难点) 知识点01 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 【即学即练1】 如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果. 【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°． 故选：D 知识点02 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 如左图，当时，是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为，其中，而； 如左图，当时，也是递增的； 右图中斜率为的直线对应的倾斜角为， 其中，而. (简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大) 【即学即练2】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， . 故选：B 知识点03 斜率公式 1 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 2 直线的斜率为. 【即学即练3】 若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据两点斜率公式求解即可. 【详解】经过两点，的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为135°，∴，解得． 故选：D 【题型一：直线的倾斜角】 例1．如图，已知直线的倾斜角为150°，，垂足为B．，与x轴分别相交于点C，A，平分，则的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【分析】由题意求得，利用角分线可得结论. 【详解】因为直线的倾斜角为150°，所以，所以的倾斜角为． 故选：A. 变式1-1．图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可. 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 变式1-2．直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 【答案】B 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 变式1-3．已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据两条垂直直线与倾斜角的关系求解即可，注意讨论直线的倾斜角是否为. 【解答】1.当直线，的倾斜角分别为，或，时，； 2.当直线，的斜率都存在时，则或，因此； 综上可得：. 故选：C. 【方法技巧与总结】 理解直线倾斜角的概念是关键；当直线与轴平行，则倾斜角；当直线与轴平行，则倾斜角. 【题型二：直线斜率的定义】 例2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解. 【详解】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 因为，则， 所以； 综上所述：线的倾斜角的范围是. 故选：C． 变式2-1．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 变式2-2．设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到，结合正切函数的图象及，数形结合得到直线l的倾斜角的取值范围. 【详解】由题意得：， 因为，且，， 画出的图象如下： 所以 故选：D 变式2-3．如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题可得， 又，得，，得， . 故选：C. 变式2-4．已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，其中，作出可能的图形，由图形得出与的关系，再由两角和的正切公式求得直线的斜率． 【详解】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：   或   则或，， 当时，， 当时，， 故选：AD． 【方法技巧与总结】 1 理解直线斜率与倾斜角的关系：； 2 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 【题型三：斜率与倾斜角的变化关系】 例3．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系 【详解】由题图可知，，，，且， 所以，，， 故选：A. 变式3-1．已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】，所以， 故选：C 变式3-2．图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得， . 故选：D. 变式3-3． 三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意，可将均值问题转化为对应线段中点与原点的斜率问题，通过数形结合即可比较大小 【详解】设,， 根据题意可知表示第名同学早上的工作时间，表示第名同学早上的加工零件数； 同理，表示第名同学下午的工作时间，表示第名同学下午的加工零件数. 所以， 因此，可理解为线段中点与原点连线的斜率（如图） 因此，由图可以看出最大 故选：B 【方法技巧与总结】 斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值越大。 【题型四：已知两点求斜率】 例4．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜率公式求得，根据正切函数图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 变式4-1．已知直线l经过点和点，则 A．斜率为定值，但倾斜角不确定 B．倾斜角为定值，但斜率不确定 C．斜率与倾斜角都不确定 D．斜率为，倾斜角为 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求斜率，再根据斜率求倾斜角. 【详解】由已知，直线的斜率，所以直线的倾斜角为．选D. 【点睛】本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题. 变式4-2．已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别求出直线的倾斜角范围，即可得到答案 【详解】解：当时，，所以此时直线的倾斜角为； 当时，设直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 此时直线的倾斜角的取值范围为， 综上，直线的倾斜角的取值范围为， 故选：A 变式4-3．已知抛物线上一点，过作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于不同的两点，，已知直线的斜率为－2，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设出三点的坐标，由斜率坐标公式，利用点在抛物线上，结合题中条件，得到，同理得到，，利用倾斜角互补，得到两斜率互为相反数，化简得到，进而求得，得到结果. 【详解】设，，， 则，故， 同理，， ， 所以，， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有斜率坐标公式，点在曲线上的条件，直线倾斜角互补的等价结果，属于中档题目. 【方法技巧与总结】 1经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 2 若两直线倾斜角互补，且它们的斜率存在，则它们的斜率互为相反数. 【题型五：已知斜率求参数】 例5．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A．-5 B．-7 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据两点的坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可. 【详解】因为两点所在直线的倾斜角为， 所以 即，解得 故选： 变式5-1．已知，，三点共线，则实数（    ） A．10 B．4 C．－4 D．－10 【答案】A 【分析】 根据三点共线可得，，写出斜率相等的表达式即可求出参数的值 【详解】由题可得：， 故选：A 变式5-2．过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】当时，满足题意；当时，解不等式或，综合即得解. 【详解】当时，直线的倾斜角为，满足题意； 当时，直线的斜率为或， 所以或， 所以或. 综合得实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角和斜率的关系，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 变式5-3．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】设点分别为，，求得斜率，进而得出的取值范围，由题意可知，只需即可. 【详解】设点分别为， ，， 为使区间与最多只有一个点重合，应有，即． 故答案为： 【方法技巧与总结】 根据倾斜角或斜率公式等方法引入参数表示直线斜率，进而根据直线斜率的特点求出参数. 【题型六：直线与线段的相交关系求斜率范围】 例6．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】解：设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 变式6-1．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 变式6-2．已知点，，直线：与线段相交，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出、的斜率，从而得出的取值范围. 【详解】解：∵直线的方程可化为， ∴直线过定点，且与线段相交，如图所示； 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是： 或，又 故选：B . 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，属于中档题. 变式6-3．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 【方法技巧与总结】 1 直线斜率与倾斜角的关系，直线越陡斜率绝对值越大。 2 求直线斜率的取值范围，注意一些临界值的求值。 【题型七：斜率公式的应用】 例7．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 变式7-1．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 变式7-2．已知函数.则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，结合图形，利用两点表示直线斜率公式即可求解. 【详解】将函数图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，如图，    由图可知，函数在上单调递增， 点分别与原点的连线的斜率随着x的增大而减小， 即， 所以. 故选：C 变式7-3．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 变式7-4．已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点 与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点 与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 1 求(其中是一直线或曲线上点的横坐标和纵坐标)的最值或取值范围的问题，可根据直线斜率公式，把它理解为点与之间的斜率，再根据直线斜率的变化求出其最值或取值范围. 一、单选题 1．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 2.如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 3.已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率求出，再利用余弦的二倍角公式、弦化切可得答案. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 4.已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（    ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，根据过两点直线的斜率公式即可求出答案. 【详解】设或，∴或， 即或，解得或， ∴点的坐标为或. 故选：B. 5.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】观察图象判定斜率大小即可. 【详解】 若果树前n年的总产量与n在图中对应点 则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率， 由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大. 即前9年的年平均产量最高. 故选：C. 6.若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【解析】由题意可得，故有，由此求得实数的值. 【详解】过两点，的直线的倾斜角为， 则有， 即， 即且， 解得， 故选：D. 【点睛】易错点睛：该题考查的是根据过两点的直线的倾斜角求参数的取值问题，在解题时应注意： （1）利用两点斜率坐标公式，得到参数满足的等量关系式； （2）在求解的过程中，分母不等于零常被忽略，导致错误. 7.坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函数求出的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围. 【详解】因为点，是相异两点， ，且， 设直线的倾斜角为，则 当，倾斜角的范围为． 当，倾斜角的范围为． 故选：B 【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题. 8.点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 10.如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 11.已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BD 【分析】将、两点代入直线的方程，可知点、不可能同时在直线上，又，可判断出点的轨迹即为线段，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断. 【详解】将点代入直线得，再将点代入直线得，故点、不可能同时在直线上， 又，且， 点的轨迹为线段，即直线与线段恒有交点， 又直线， 直线恒过定点，作出示意图： 此时，， 故直线的斜率的取值范围为：，且直线的斜率存在， 故直线的倾斜角的取值范围为：， 故选：BD. 三、填空题 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    【答案】 【分析】根据内角和定理得出直线的倾斜角. 【详解】直线的倾斜角为． 故答案为：. 13.若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解. 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 14.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 【答案】 【分析】将函数的值域转化为求直线斜率取值范围，数形结合即可求解. 【详解】如图所示：设单位圆O上的一点为， 点，，， 则表示直线PA的斜率，因为， 故当P与B重合时，PA的斜率为， 当P与C重合时，PA的斜率最大值为， 所以的值域为.    故答案为：. 四、解答题 15．（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 【答案】（1）1或2；（2）. 【分析】（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. （2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率. 【详解】（1）由，即，解得或， 经检验均符合题意，故m的值是1或2； （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为. 由已知，，则直线的斜率为. 16.光线从点射到轴上的点，经轴反射后过点，试求点的坐标及入射光线的斜率． 【答案】坐标为, 斜率为 【分析】由题得点关于轴的对称点为，得出的斜率，求得的斜率，再利用斜率公式，求得的坐标． 【详解】方法一:设，则由题意得. ∵，，∴. 解得，即点的坐标为， ∴入射光线的斜率. 方法二:如图，点关于轴的对称点为，   ， 由题意得,三点共线. 从而入射光线的斜率为. 设，则入射光线的斜率. 解得，即点的坐标为. 故点的坐标为, 入射光线的斜率为. 17.已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 18.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 19．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； (4)求由函数与的图像所围成图形的面积．（用表示） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可； （3）要证明，，只需要证明，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可. （4）设为上折线与轴及直线所围成图形的面积，求出，再由求解即可. 【详解】（1）， ； （2） ， 因为， 所以； （3）由于的图像是连接各点的折线 要证明，，只需要证明 事实上，当时， 下面证明 对任何 ， 所以，综上， （4）设为上折线与轴及直线所围成图形的面积 则 直线与的图像所围成图形的面积为 【点睛】关键点睛：在证明，时，关键在于将其转化为证明，结合题设定义进行证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$