精品解析：2024年贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县斗里中学中考二模数学试题

2024年从江县斗里中学中考二模 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 2. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其体育场及田径比赛场地——杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数据216000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 在某次数学测试中，10名学生的测试成绩（单位：分）统计如图所示，则这10名学生的测试成绩的众数是（ ）． A. 87.5 B. 90 C. 95 D. 92.5 6. 如图，，平分，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中不正确的是（　　） A. 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B. 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C. 任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件 D. 一只盒子中有白球3个，红球6个（每个球除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率大于白球的概率 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知的周长为13，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 2 D. 12. 小亮从家出发步行到公交站台后,等公交车去学校,如图, 折线表示这个过程中行程 s （千米）与所花时间 t （分）之间的关系,下 列说法错误的是（ ） A. 他家到公交车站台需行 1 千米 B. 他等公交车的时间为 4 分钟 C. 公交车的速度是 500 米/分 D. 他步行与乘公交车行驶的平均速度300米/分钟 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：______． 14. 甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为________． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 16. 如图，在边长为8的正方形中，点、分别是边、的中点，连接，，点、分别是、的中点，连接，则______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知，，化简：． 18. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，劳动课成为中小学的一门独立课程．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段劳动时长不少于3小时，某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动． 确定调查对象： 从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查． 收集整理数据： 按照标准，学生每周劳动时长分为A，B，C，D四个等级，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成下面不完整的统计图表． 抽取的学生每周劳动时长统计表 等级确定 A B C D 时长/小时 人数 a 60 32 b 抽取的学生每周劳动时长的扇形统计图 分析数据，解答问题： （1）本次调查中：1500名学生中每名学生每周的劳动时长是___________（填“总体”或“个体”）；统计表中的___________，___________． （2）请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数． （3）为更好践行劳动教育要求，结合上述数据分析，请你提出一条合理化的建议． 19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边，的延长线交于点M，N，与边交于点E，垂足为O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 春节期间，某超市计划购进A，B两类预制菜礼盒，已知用2000元购进A类预制菜礼盒的盒数与用1600元购进B类预制菜礼盒的盒数相同，B类预制菜礼盒的单价比A类预制菜礼盒的单价少20元． （1）求A，B两类预制菜礼盒的单价各是多少元； （2）超市计划购进A，B两类预制菜礼盒共50盒，且购买的总费用不超过4600元，求最多可以购进多少盒A类预制菜礼盒？ 21. 如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象分别交于点A（﹣1，2），点B（﹣4，n），与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 22. “世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．北盘江特大桥是世界第一高桥，位于贵州省六盘水市境内．某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对大桥东岸主桥墩的高度进行了测量．如图是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米．该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80来到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内． （1）求的长； （2）求主桥墩的高度（结果精确到1m）． （参考数据：，，，，，，） 23. 如图，是的外接圆，是的直径，分别过，两点作的切线，交点为点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由； （3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距离始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围． 25. 综合与实践 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G． 请写出线段与线段的数量关系______． （2）迁移思考 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． （3）拓展探索 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年从江县斗里中学中考二模 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解:∵， ∴的倒数是． 故选择A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键． 2. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其体育场及田径比赛场地——杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数据216000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于1的数表示成，其中，n等于原数整数位数减1． 【详解】解：根据科学记数法定义，； 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 3. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下看一一判断即可． 【详解】解：A．俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意； B．俯视图是三角形，故本选项符合题意； C．俯视图是矩形，故本选项不合题意； D．俯视图是圆，故本选项不合题意． 故选：B． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； 故选：D 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 在某次数学测试中，10名学生的测试成绩（单位：分）统计如图所示，则这10名学生的测试成绩的众数是（ ）． A. 87.5 B. 90 C. 95 D. 92.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义可以得解． 【详解】由图可知，80分有1人，85分有2人，90分有5人，95分有2人， 根据众数的定义，90分是这10名学生成绩的众数． 故选：B． 【点睛】本题综合考查众数的求解和折线统计图的分析，正确分析折线统计图并根据众数的定义进行求解是解题关键． 6. 如图，，平分，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平角得出，再由平行线的性质及角平分线得出，再由两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】题目主要考查平分线的性质及角平分线的计算，结合图形找出各角之间的关系是解题关键． 7. 下列说法中不正确的是（　　） A. 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B. 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C. 任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件 D. 一只盒子中有白球3个，红球6个（每个球除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率大于白球的概率 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别利用随机事件的定义以及确定事件定义和概率公式分析求出即可． 【详解】A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意； B.把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意； C.任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是随机事件，故此选项错误，符合题意； D.摸到红球的概率是＝，摸到白球的概率是＝，则取得的是红球的概率大于白球的概率正确，不合题意, 故选：C． 【点睛】本题主要考查了事件和概率的相关知识，熟练掌握相关概念是解决本题的关键. 8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知的周长为13，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据尺规作图得到，是的垂直平分线，进而得到，然后根据的周长为13求解即可． 【详解】由题意得，， 是的垂直平分线 ∴ ∵的周长为13， ∴ ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10. 已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案． 【详解】解：函数中， 抛物线开口方向向下，对称轴直线为， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，，取到最大值， ，即， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键． 11. 如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 【详解】解：过点作于． 在中，，， ， ∵ ， ． ，于， ， ． 故选：C． 12. 小亮从家出发步行到公交站台后,等公交车去学校,如图, 折线表示这个过程中行程 s （千米）与所花时间 t （分）之间的关系,下 列说法错误的是（ ） A. 他家到公交车站台需行 1 千米 B. 他等公交车的时间为 4 分钟 C. 公交车的速度是 500 米/分 D. 他步行与乘公交车行驶的平均速度300米/分钟 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象可对A、B直接作出判断，依据函数图象确定出乘公交车的时间和路程可求得公交车的速度，故此可对C作出判断，依据函数图象确定出步行和乘公交车的总时间，然后依据速度=路程÷时间可求得他步行与乘公交车行驶的平均速度． 【详解】解：由函数图象可知他家到公交车站台需行1千米，他等公交车的时间=14-10=4分钟，故A、B正确； 公交车的速度=（5-1）×1000÷（22-14）=4000÷8=500米/分，故C正确； 他步行与乘公交车行驶的平均速度=5×1000÷（22-4）=米/分，故D错误． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，能够从函数图象中获取有效信息是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据题意画树状图分析，即可求得． 【详解】由题意，画树状图如下． 由树状图，可知共有8种等可能的结果，其中三人选择的测试项目相同的结果有2种 ∴三人选择的测试项目相同的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，列出树状图是关键． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， 即且 ， ∴且． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 16. 如图，在边长为8的正方形中，点、分别是边、的中点，连接，，点、分别是、的中点，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，分别是，的中点， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知，，化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，求特殊角三角形函数值，化简二次根式，负整数指数幂： （1）先计算求特殊角三角形函数值，化简二次根式，负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：∵，， ∴． 18. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，劳动课成为中小学的一门独立课程．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段劳动时长不少于3小时，某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动． 确定调查对象： 从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查． 收集整理数据： 按照标准，学生每周劳动时长分为A，B，C，D四个等级，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成下面不完整的统计图表． 抽取的学生每周劳动时长统计表 等级确定 A B C D 时长/小时 人数 a 60 32 b 抽取的学生每周劳动时长的扇形统计图 分析数据，解答问题： （1）本次调查中：1500名学生中每名学生每周的劳动时长是___________（填“总体”或“个体”）；统计表中的___________，___________． （2）请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数． （3）为更好践行劳动教育要求，结合上述数据分析，请你提出一条合理化的建议． 【答案】（1）个体，28，80； （2）600人 （3）建议学校加强劳动教育，多开展一些劳动课 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表，扇形统计图，利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据个体与总体的概念回答即可；先根据圆心角度数计算出D等级所占比例，则可计算出A等级所占比例；再参照B等级所占比例与人数可求得a与b的值． （2）总人数乘以D等级人数所占比例即可． （3）根据有不少同学平均每周家务劳动时长少于3小时，建议多参加家务劳动（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：1500名学生中每名学生每周的劳动时长是个体． 先计算D等级所占的百分比： ∴A等级所占的百分比是： ∴（人），（人）． 故答案为：个体；28；80． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数有600人； 【小问3详解】 解：每周劳动时长不符合要求的占，说明学生平时劳动的时间非常少，建议学校加强劳动教育，多开展一些劳动课． 19. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边，的延长线交于点M，N，与边交于点E，垂足为O． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，求出，，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）根据矩形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设，则， ∵的垂直平分线是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用等知识点，能熟记矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 20. 春节期间，某超市计划购进A，B两类预制菜礼盒，已知用2000元购进A类预制菜礼盒的盒数与用1600元购进B类预制菜礼盒的盒数相同，B类预制菜礼盒的单价比A类预制菜礼盒的单价少20元． （1）求A，B两类预制菜礼盒的单价各是多少元； （2）超市计划购进A，B两类预制菜礼盒共50盒，且购买的总费用不超过4600元，求最多可以购进多少盒A类预制菜礼盒？ 【答案】（1）A类预制菜礼盒的进价是100元，B类预制菜礼盒的进价是80元 （2）最多可以购进30盒A类预制菜礼盒 【解析】 【分析】（1）设A类预制菜礼盒的单价是x元，则B类预制菜礼盒的进价是元，根据用2000元购进A类预制菜礼盒的盒数与用1600元购进B类预制菜礼盒的盒数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A类预制菜礼盒a盒，则购进B类预制菜礼盒盒，根据购买的总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设A类预制菜礼盒的单价是x元，则B类预制菜礼盒的进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A类预制菜礼盒的进价是100元，B类预制菜礼盒的进价是80元； 【小问2详解】 设购进A类预制菜礼盒a盒，则购进B类预制菜礼盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：最多可以购进30盒A类预制菜礼盒． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象分别交于点A（﹣1，2），点B（﹣4，n），与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y=x+；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据点A求出k值，再根据反比例函数解析式求出n值，利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）利用三角形的面积差求解．S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=5． 【详解】解：（1）将点A（﹣1，2）代入中，2=； ∴m=﹣2． ∴反比例函数解析式为y=﹣． 将B（﹣4，n）代入y=﹣中，n=﹣； ∴n=． ∴B点坐标为（﹣4，）． 将A（﹣1，2）、B（﹣4，）的坐标分别代入y=kx+b中， 得，解得． ∴一次函数的解析式为y=x+； （2）当y=0时，x+=0，x=﹣5； ∴C点坐标（﹣5，0），∴OC=5． S△AOC=•OC•|yA|=×5×2=5． S△BOC=•OC•|yB|=×5×． S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=5． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 22. “世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．北盘江特大桥是世界第一高桥，位于贵州省六盘水市境内．某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对大桥东岸主桥墩的高度进行了测量．如图是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米．该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80来到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内． （1）求的长； （2）求主桥墩的高度（结果精确到1m）． （参考数据：，，，，，，） 【答案】（1）的长为40米； （2）桥墩的高度为269米． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出的长，根据三角函数求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米），（米）， ∴的长为40米； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，分别过，两点作的切线，交点为点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵都是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和切线的性质求得，根据等角的余角相等得到，再根据切线长定理以及等腰三角形的性质即可证明结论成立； （2）先证明，利用正切函数求得，在中，利用正切函数求得，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵都是的切线， ∴是弦的垂直平分线， ∴，， 由（1）得，则， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 24. 为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（）与到高楼的水平距离x（）之间的函数关系式为：． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由； （3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距离始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围． 【答案】（1） （2）不能， 理由如下， 依题意，抛物线向左平移2个单位得到 令，解得：， ∴水流不能到达点处， （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为， 待定系数法求解析式即可求解； （2）依题意，抛物线向左平移2个单位得到，令，即可求解． （3）分别求得经过点，时，求得与轴的交点坐标，进而即可求解． 【小问1详解】 解：依题意顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得： ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，设水流到达墙面高度为， 设抛物线解析式为 当时，时， 解得：，则抛物线解析式为， 当时，， 当，时， 解得：，则抛物线解析式为， 当时，， 当时，时，，解得： ∴抛物线解析式为 当时，， 当，时，，解得： ∴抛物线解析式为 当时，， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 综合与实践 综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G． 请写出线段与线段的数量关系______． （2）迁移思考 如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断． （3）拓展探索 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由矩形的性质得到，由折叠的性质可得，证明，即可证明，得到； （2）如图所示，连接，由平行四边形的性质得到，由折叠的性质可得，证明，得到，再证明，即可证明； （3）由矩形的性质得到，，，则，由折叠的性质可得，由（1）得，可推出，即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为： （2）略 （3）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，全等三角形的性质与判定等等，熟知折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $