精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二上学期暑假自主学习质量检测数学试卷

2024年秋学期暑假自主学习质量检测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解. 【详解】因为，分别为AB，AC的中点，所以. 设，又，所以，即解得 即点的坐标为. 故选：A. 2. 盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】记1个白球为，2个红球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球， 则可能结果有，共6个， 其中恰好摸出一个红球一个白球的有，共4个， 所以恰好摸出一个红球一个白球的概率，故C正确. 故选：C 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系和正弦的二倍角公式化简求值即可. 【详解】由，平方可得: ， 解得. 故选：C. 4. 在等差数列中，若，则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列下标和相等对应项的和相等，可得. 【详解】因为为等差数列，所以， 因为，所以，解得：.选B. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查运算求解能力. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和和等差中项，求得通项公式求解. 【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为， 由题意得： ， 解得， 又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：， 所以， 所以， 所以， 故选：B 6. 从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是互斥但不对立事件 C. 与是互斥事件 D. 与是对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义来判断各选项. 【详解】根据题意样本空间， ， ， ， ， 则，所以与是互斥事件，正确； ，，所以与是互斥且对立事件，错误； ，所以与不是互斥事件，C错误； ，所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 7. 已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，在中利用由正弦定理得得，平面，结合，求得球的半径，最后利用外接球的表面积得出答案. 【详解】在三棱锥中，平面，，，， 设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 由正弦定理得，可得， 所以， 则外接球的表面积为. 故选：D. 8. 在中，点是线段上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，三点共线，可得，求解即可. 【详解】因为，且点是线段上一点，即，，三点共线， 所以，解得. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的概念，可判断A；可得的几何意义判断BC；可求得判断D. 【详解】由，易知的虚部是3，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； ，是实数不是纯虚数，故D错误. 故选：BC. 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式计算判断，对于B，利用正弦的二倍角公式计算判断，对于C，利用两角和的余弦公式计算判断，对于D，利用正切的二倍角公式计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 11. 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 过，，三点平面截正方体所得的截面是六边形 C. 存在唯一的点，使得 D. 与平面所成的角为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D. 【详解】因为是线段上的动点，而且， 所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值， ，所以三棱锥的体积是定值，A正确； 过作分别交，的延长线于，，连接，，如图， 为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误； 在上运动，当时，，而为中点， 所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确； 由，平面，平面，则平面， 所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化， 故与平面所成的角不为定值，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积. 【详解】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：， 设圆锥的底面半径是r，高为， 则得到，解得：， 这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 13. 在中，点为线段的中点，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理得，根据中线的性质可得，利用向量数量积的运算求解即可. 【详解】由是线段的中点，得. 在中，由余弦定理得， 从而， 所以 所以，即. 故答案为： 14. ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得. 【详解】由 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，，． （1）求数列的首项和公差； （2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值． 【答案】（1）， （2）最小值为，此时或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解； （2）由（1）求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列公差为， 因为，，可得，记得， 所以数列的首项为，公差为． 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 因为，所以或时，取得最小值． 16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？ 【答案】（1），83.5kg （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． 小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 方法1：依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在，设为， 则，解得． 所以，每天应该进苹果． 方法2：依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 17. 某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派乙参赛赢得比赛的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可； （2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，由表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可. 【小问1详解】 记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 所以表示“甲赢得比赛”，， 表示“乙赢得比赛”，， 因为，所以派乙参赛赢得比赛概率更大； 【小问2详解】 记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛” 由（1）知，， 所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 所以， 所以两人至少一人赢得比赛的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，证明∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由于平面，则将问题转化为求点到平面的距离，利用可求得结果； （3）连接，为的中点，连接，，为的中点，证明为二面角的平面角，解三角形求其正切值. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点. 又因为是中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为是中点，且平面， 所以点到平面的距离为. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， . 设点到平面的距离为， 则， 即， 代入得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 连接，为的中点， 又是中点， 所以，因为平面， 所以平面，又平面， 所以，， 连接，，为的中点，则， 由已知，所以， 又平面，， 所以平面，平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，， 所以， 所以二面角正切值为. 19. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求，的值 （2）若是线段上的一点，，，且内角，求的最小值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简得，再由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换可求，再化简求其值； （2）根据平面向量基本定理可得，再两边平方可得，结合余弦定理可得，再令，结合函数单调性求最值即可. 【小问1详解】 由余弦定理，，得. 又，所以，即. 由正弦定理，得， 整理得， 所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以， 【小问2详解】 由题意，得， 所以， 所以，则， 所以，即①， 又由余弦定理得②， ①②得， 令，又，所以，所以， 所以，所以，所以. 令， 因为，令，则， 令， 当时，， 当时，（且）， 由对勾函数性质可得 当时，单调递减，故，所以，故 同理当时，，所以，故， 综上，，所以，所以， 即当，取最小值，此时， 又，所以， 所以当为等边三角形时，最小，最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析得，从而利用换元法与对勾函数的性质即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期暑假自主学习质量检测 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 3 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，若，则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 6. 从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是互斥但不对立事件 C. 与是互斥事件 D. 与是对立事件 7. 已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 在中，点是线段上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在正方体中，，分别是，中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形 C. 存在唯一的点，使得 D. 与平面所成角为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____. 13. 在中，点为线段的中点，若，，，则______. 14. ______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在等差数列中，，． （1）求数列的首项和公差； （2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值． 16. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？ 17. 某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正切值. 19. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求，值 （2）若是线段上的一点，，，且内角，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$