精品解析：山西省吕梁市部分学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出年小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法及交集的定义即可求解. 【详解】因为，且，故. 故选：C 2. 样本数据的中位数和极差分别为（ ） A. 30，24 B. 26，30 C. 24，30 D. 26，24 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和极差的概念可求得结果. 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，，共有9个数据， 第1个数为20，第5个数为26，第9个数为50，故样本数据的中位数为26，极差为. 故选：B 3. 已知复数在复平面内所对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的几何意义求出复数，及其共轭复数，然后计算即可. 【详解】复数在复平面内所对应的点为， 所以，故. 故选：D 4. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合对称性解得，对比选项检验即可. 【详解】由题意可得：，解得， 根据各选项，代入检验知：当取1时，，即只有选项C符合题意. 故选：C. 5. 已知抛物线的焦点为为上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入抛物线的方程中解得，由抛物线定义可求. 【详解】将代入，解得，由抛物线的定义可知. 故选：B 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，可得，并代入求定义域检验即可. 【详解】由题意可得： ， 若是奇函数，则， 即恒成立，则，解得， 若，则， 显然，且，即， 可知的定义域为，关于原点对称， 此时为定义在上的奇函数，即符合题意. 故选：A. 7. 已知递增等比数列的公比为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：设，整理可得，设，利用导数可得的单调性，结合的单调性，分和两种情况，结合零点分析求解即可；方法2：整理可得，根据单调性可得的取值范围为.进而可得，构建，利用导数判断其单调性和值域. 【详解】由题意可知：， 方法1：设， 因为，可得， 设，则， 令，解得或；令，解得； 可知在，单内调递增，在内单调递减， 且， 又因为，则有： 当时，在区间存在零点， 因为，则，解得； 当时，应有大于1的零点，因为， 且当时，， 故对于任意均存在大于1的零点， 综上所述：，即的取值范围是； 方法2：因，可得. 因为等比数列递增，则有： 当时，则，此时等比数列递增，即符合题意； 当时，则，则； 综上所述：的取值范围为. 又因为， 设，则， 当时，则，可知在单调递减， 且，可得； 当时，则，可知在单调递增， 可得； 所以的取值范围是. 故选：B. 8. 已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法1：设分别为的中点，根据条件得出为等边三角形，利用球心在线段上，及，转化为关于的方程，解方程可得，从而求出球的表面积； 方法2：由已知条件得出为等边三角形，利用球心在线段上，易知在直线上的射影为正的重心，结合，求出，再结合勾股定理即可求出，从而求出球的表面积. 【详解】方法1：如图，设分别为的中点，连接， 则是边长为的等边三角形， 则球心必在线段上，其中， 设球的半径为，在中，, 又,, 所以在中，, 因为，所以. 解得， 故球的表面积为. 方法2：如图，设分别为的中点， 连接，则球心必在线段上，且. 设在直线上的射影为，则为正的重心，且底面. 所以， 所以，， 故球的表面积为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则的（ ） A. 焦点在轴上 B. 焦距为3 C. 离心率为 D. 渐近线为 【答案】AC 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，然后求出离心率，渐近线方程，焦距，逐项判断即可. 【详解】因为双曲线， 所以的标准方程为， 故焦点在轴上，， 故焦距为，离心率为，渐近线为， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC 10. 小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24min，样本标准差为2.已知若随机变量，则.假设小明乘公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天有28min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车 D. 若某天有25min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，代入对应数值判断A、B；计算比较与的大小关系即可判断C；计算比较与的大小关系即可判断D； 【详解】根据题意知，故A错误，B正确； 若有28min可用，分别设随机变量的平均数和方差为， 则 ，故， 小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确； 若有25min可用，则， 因为，故， 小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知的三边长分别为为内一点，且满足.设，则 A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设，然后根据向量的运算及余弦定理、三角形面积公式计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，不妨设， 由余弦定理可知，故， ， 设， 则， 又因为， 故，所以，故B正确； 对于C，由余弦定理可知，， 同理， 故 ，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本題共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式中的系数为80，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用通项公式，即可求解. 【详解】通项公式， 令，则， 因为的系数为，故. 故答案为： 13. 已知函数在区间有零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数的零点可以转化为与函数放入图象有交点即可，因此只需确定再区间的范围即可. 【详解】令，当时，， 当且仅当时取等， 且， 所以若在区间有零点，只需与函数有交点即可, 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设，且，记为中最大的数，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据不等式的知识求解即可. 【详解】 因为，故， 所以 ， 所以的最小值为6， 当，且时成立. 故答案为：6 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间是；单调递减区间是，极大值；极小值4. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，求函数的单调区间，再求函数的极值. 【小问1详解】 根据题意有， 故切线的斜率. 又，故切点坐标为. 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，； 当时，；当时，. 所以的单调递增区间是；单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 16. 如图，直三棱柱的高为，分别为的中点，为上一点，且. （1）证明：∥平面： （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） 如图，延长交于点，连接交于点，连接. 因为为的中点，且∥，故为的中点. 过作∥，交于点， 因为为的中点，故， 因为，故. 又因为，故， 故∥， 因为平面平面， 所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）做辅助线，可得∥，结合线面平行的判定定理分析分析证明； （2）建系标点，求平面平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立坐标系， 则， 故，且记. 设平面的法向量为，则， 不妨取，则. 所以， 设直线与平面所成角为，则， 可得，， 所以直线与平面所成角的正切值为. 17. 某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为. （1）求的分布列与期望； （2）已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 （2）20 【解析】 【分析】（1）列出分布列，根据期望定义进行计算，或者利用二项分布期望公式进行计算； （2）由题意可知，依题意列出不等式，可得的范围，即得的最小值. 【小问1详解】 根据题意有， 其中， ， ， . 的分布列为： 0 1 2 3 方法1：所以 方法2：因为，故 【小问2详解】 根据题意有. 由（1）可知， 故应满足. 解得. 故的最小值为20. 18. 已知椭圆过点，且的右焦点为. （1）求的方程： （2）设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点. （i）证明：到直线和的距离相等； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标. 【答案】（1） （2）（i）证明：显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有： ，其中. 设，则， 若到直线和的距离相等，则直线平分， 易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0. 设的斜率分别为，则： ， ， 代入， 有，故命题得证. （ii）或. 【解析】 【分析】（1）代入条件，转化为关于和的方程组，即可求解； （2）（ⅰ）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，由题意转化为证明和的斜率和为0； （ⅱ）由面积公式，结合条件，再结合几何关系，确定，即可确定点的位置，即可求解. 【小问1详解】 根据题意有， 且由椭圆的几何性质可知， 所以. 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知直线平分，即. 因为的面积等于的面积， 故，即，故. 故在线段的垂直平分线上. 易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有， 故的坐标为或. 【点睛】关键点点睛：本题第二问中第一小问的关键是由几何关系转化为证明，第二小问的关键是转化几何关系为. 19. “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中. （1）若的半径为1，求的外切正边形的面积； （2）证明：； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2）证明: 方法1：设的半径为的内接正边形每一条边所对的圆心角为，则由几何关系可知，且. 故， 且，得. 所以，即. 方法2：设的半径为，则， 所以 ，即. （3）证明： 方法1：在（2）的条件下由几何关系可知，故， 又，故. 由（2）可知，且， 故， 故. 由（2）可知， 又，故. 因为，且由得， 故综上，. 方法2：由（2）可知， 又，故. 故 设，则单调递减， 故当时，，此时. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正切结合定义得出面积； （2）应用二倍角余弦公式结合新定义化简即可证明； （3）应用二倍角正弦公式，再运用导数得出函数单调性得出不等关系，最后结合新定义化简即可证明； 【小问1详解】 根据题设可知，故外切多边形每一条边所对的圆心角为. 当的半径时，有 . 所以圆的外切正边形的面积为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：应用二倍角正弦公式，再运用导数得出函数单调性得出不等关系，最后结合新定义化简即可证明； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出年小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的中位数和极差分别为（ ） A. 30，24 B. 26，30 C. 24，30 D. 26，24 3. 已知复数在复平面内所对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为为上一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 7. 已知递增等比数列的公比为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则的（ ） A. 焦点在轴上 B. 焦距为3 C. 离心率为 D. 渐近线为 10. 小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24min，样本标准差为2.已知若随机变量，则.假设小明乘公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天有28min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车 D. 若某天有25min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车 11. 已知的三边长分别为为内一点，且满足.设，则 A. B. C. D. 三､填空题：本題共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式中的系数为80，则__________. 13. 已知函数在区间有零点，则的取值范围是__________. 14. 设，且，记为中最大的数，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 16. 如图，直三棱柱的高为，分别为的中点，为上一点，且. （1）证明：∥平面： （2）求直线与平面所成角的正切值. 17. 某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为. （1）求的分布列与期望； （2）已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值. 18. 已知椭圆过点，且的右焦点为. （1）求的方程： （2）设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点. （i）证明：到直线和的距离相等； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标. 19. “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中. （1）若的半径为1，求的外切正边形的面积； （2）证明：； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $