精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一上学期入学摸底考试数学试题

哈三中2022级摸底考试数学卷 考试时间：90分钟试卷满分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下元素的全体能构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 接近于1的所有正整数 C. 未来世界的高科技产品 D. 地球上的小河流 2. 设全集U＝R，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 7. 下列命题中，假命题的个数是（ ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ） （1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则. A. （1）（3） B. （1）（2） C. （1）（2）（3） D. （1）（2）（3）（4） 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 的充要条件是 C. D. ，是的充分不必要条件 11. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 12. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设，则“”是“”的_________条件． 14. 设集合，则用列举法表示集合A为______. 15. 设全集，集合，若，则实数_________． 16. 对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么. 其中正确结论的序号是_________． 四、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且的元素个数为2，求实数的值； （3）若，求实数的值． 18. 已知或． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数a的取值范围． 19. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 20. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2022级摸底考试数学卷 考试时间：90分钟试卷满分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下元素的全体能构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 接近于1的所有正整数 C. 未来世界的高科技产品 D. 地球上的小河流 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的知识可选出答案. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足； 故选：A 2. 设全集U＝R，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，由交集的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以或， 所以. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个条件之间的推出关系可得正确的选项. 【详解】当时，， 故“”可以推出“”， 当时，，此时推不出， 故“”推不出“”， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再依据已知条件和即可得解. 【详解】解得或，故， 又，， 所以. 故选：A. 5. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合U，进而得到集合B，再利用补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 6. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解. 【详解】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为， 所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个. 故选：D. 7. 下列命题中，假命题的个数是（ ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合全称量词命题、存在量词命题的真假判断逐一判断各个命题即得. 【详解】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 8. 非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ） （1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则. A. （1）（3） B. （1）（2） C. （1）（2）（3） D. （1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】 【分析】假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】由①可知. 对于（1），若，对任意的，，则， 所以，，这与矛盾，（1）正确； 对于（2），若且，则，，， 依此类推可得知，，，，，，（2）正确； 对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则， 所以，，（3）正确； 对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件得出，再得出集合D,最后结合元素和集合的关系判断各个选项. 【详解】因为,所以， 因为，所以， 所以且, 所以,, 所以. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 的充要条件是 C. D. ，是的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定形式并判断其真假即可判断A；由充分、必要条件的定义即可判断B，D；根据全称量词命题的真假的判断方法判断C. 【详解】对于A，命题“”的否定是：，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义，故B错误； 对于C,,故C错误. 对于D，当时，有成立，而，但不成立， 即由不能得到，所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD 11. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由命题“，”是真命题，求出参数的取值范围，然后判断其充分不必要条件即可 【详解】因为命题“，”是真命题， 所以使得，故， 所以的一个充分不必要条件是或， 故选：CD 12. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设，则“”是“”的_________条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分不必要条件判断即可. 【详解】因为可以得出,是充分条件， 因为当时不能得出,是不必要条件. 故答案为：充分不必要. 14. 设集合，则用列举法表示集合A为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合A中的元素即可. 【详解】要使，则可取，又，则可取， 故答案为：. 15. 设全集，集合，若，则实数_________． 【答案】－3 【解析】 【分析】由题意确定，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 16. 对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么. 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由集合M中元素性质结合即可判断；对于②，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于③，依据，得存在使得，再计算得解· 【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确； 对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除， 若，则存在使得， 因为和同奇或同偶， 若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故②正确； 对于③：因为，， 所以存在使得， 所以， 因为所以，故③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】思路点睛：对于，，探究，要抓住集合M中元素的性质得存在使得，接着计算，并继续根据集合M中元素的性质对计算结果进行变形处理，从而发现满足集合M中元素的性质，进而得. 四、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且的元素个数为2，求实数的值； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由元素属于集合，结合互异性，即可求解； （2）由题意确定，进而可求解； （3）由元素属于集合，结合互异性，即可求解 【小问1详解】 由于，故只能， 解得．此时，，，成立． 【小问2详解】 因为的元素个数为2，由题意知． ，故，解得．此时，成立． 【小问3详解】 第一种情况：，解得， 当时，，不成立． 当时，，成立． 第二种情况：，解得，同理不成立（同第一种情况）． 综上所述，． 18. 已知或． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由交集的定义得出关于的不等式组，解出的取值范围即可； （2）利用必要条件的定义，结合子集的定义得出关于的不等式组，解出即可. 【小问1详解】 或，， ，解得：， 的取值范围是； 【小问2详解】 因为是的必要条件， 所以， 或， 的取值范围是或. 19. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由，可得，将中元素代入中可得的范围； （2）由，可得，对分类讨论可得的取值范围. 【小问1详解】 ， ∵，∴． ∴，且 即，∴ 【小问2详解】 ∵，∴ 若，即，则． 若为单元素集，即，则． 当时，，满足． 当时，，不满足． 若，则由韦达定理知，无解， 综上的取值范围为． 20. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 【答案】（1）不具有性质P． （2）①不妨设， 由集合A具有性质P，得， 所以， 即有． ②10． 【解析】 【分析】（1）由集合具有性质的定义判断即可； （2）不妨设，由集合A具有性质P，得，然后证明即可；对任意正整数，，与①类似可得，所以，又集合符合性质P，所以求解即可. 【小问1详解】 因为 所以集合不具有性质P． 【小问2详解】 ①略 ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $