第三章 勾股定理章节检测卷（基础）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第三章 勾股定理章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 2．在下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6 3．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（　　） A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm 4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6 5．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（　　） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 6．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 7．△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，x＝　 　． 10．如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为　 　． 11．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 　 　． 12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高 　 　尺． 13．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 　 　m处． 14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　 　步路．（假设2步为1米） 15．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 　 　m． 16．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5m，AC＝2m，则BC的长为　 　m． 17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米． 18．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　 　． 三．解答题（共9小题，满分64分） 19．（6分）如图，已知在△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积． 20．（6分）八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE， 他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 21．（8分）如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了4米吗？ 22．（8分）如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24． （1）试说明∠B为直角； （2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　 　． 23．（6分）某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 24．（6分）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？ 25．（8分）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． 26．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 27．（8分）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点． （1）求证：MN⊥CD； （2）若AB＝50，CD＝48，求MN的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状． 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°． 2．在下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6 【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意． D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 3．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（　　） A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长． 【解答】解：如图，由题意得：AC＝10×5＝50（cm）， BC＝20×6＝120（cm）， 故（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三角形，不符合题意； B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意； C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 5．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（　　） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【解答】解：由题意得，AB为旗杆的高，AC＝AB+1，BC＝5米，求AB的长． 已知AB⊥BC，根据勾股定理得，解得，AB＝12米． 所以旗杆的高度为12米． 故选：B． 【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理解答． 6．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：D． 【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 7．△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD． 【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 则BD＝5， 在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 则CD＝9， 故BC＝BD+DC＝9+5＝14； （2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25， 则BD＝5， 在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81， 则CD＝9， 故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 【分析】根据Rt△ABC中，∠C＝90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高， ∵△DAB的面积为10，DA＝5， ∴DA•BC＝10， ∴BC＝4， ∴． 故选：B． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，x＝　15　． 【分析】根据勾股定理，可以得到82+x2＝172，然后求解即可． 【解答】解：由图可得，图中的三角形为直角三角形， 则82+x2＝172， 解得x＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．如图，在△ABC中AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为　21　． 【分析】在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的长，由CD+BD求出BC的长即可． 【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝10，AD＝8， 根据勾股定理得：， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD＝8， 根据勾股定理得：， 则BC＝6+15＝21， 故答案为：21 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 11．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为 　64　． 【分析】根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解． 【解答】解：由图形可知，字母A所代表的正方形的面积＝289﹣225＝64， 故答案为：64． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高 　4.55　尺． 【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺， 设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 即折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键． 13．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 　8　m处． 【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可． 【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得： 62+x2＝（16﹣6）2， 解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　8　步路．（假设2步为1米） 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m， ∴（m）， 则（8+6﹣10）×2＝8， ∴他们仅仅少走了8步， 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理知识是解题的关键． 15．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 　2　m． 【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答． 【解答】解：如图所示：由题意可得，AC＝6m，AB＝10m， 则（m）， A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m， 故（m）， 则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 16．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5m，AC＝2m，则BC的长为　1.5　m． 【分析】直接利用勾股定理进而得出BC的长． 【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中， （m）． 故答案为：1.5． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　米． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：（米） 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 18．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　36　． 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴， 在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故答案为：36． 【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中． 三．解答题（共9小题，满分64分） 19．（6分）如图，已知在△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积． 【分析】根据勾股定理求出BD＝15，根据勾股定理逆定理推出△BCD是直角三角形，∠C＝90°，根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：∵AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°， ∴， ∵BC＝9，CD＝12， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°， ∴△BCD的面积CD•BC12×9＝54． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟记勾股定理逆定理是解题的关键． 20．（6分）八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE， 他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度． 【解答】解：在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝±20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米， 答：风筝的高度CE为21.6米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 21．（8分）如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了4米吗？ 【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AB的长即可； （2）首先求出BD的长，利用勾股定理可求出BE的长，进而得到CE＝BE﹣CB的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2， 即AB2+72＝252， 所以AB＝24（m）， 即这架云梯的顶端A距地面有24m高； （2）梯子的底端在水平方向滑动的不是4米，梯子的底端在水平方向滑动了8m． 理由：∵云梯的顶端A下滑了4m至点D， ∴BD＝AB﹣AD＝24﹣4＝20（m）， 在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2+BE2＝DE2， 即202+BE2＝252 所以BE＝15（m） CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m）， 即梯子的底端在水平方向滑动了8m． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 22．（8分）如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24． （1）试说明∠B为直角； （2）记△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　66　． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC25，进而推出AB2+BC2＝AC2，据此即可得解； （2）根据题意推出S2﹣S1＝S△ABC﹣S△ACD，根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥CE， ∴∠D＝90°， ∵AD＝7，DC＝24， ∴AC2＝AD2+DC2＝625＝252， ∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角； （2）∵S1+S△ACE＝S△ACD，S2+S△ACE＝S△ABC， ∴S1＝S△ACD﹣S△ACE，S2＝S△ABC﹣S△ACE， ∴S2﹣S1＝（S△ABC﹣S△ACE）﹣（S△ACD﹣S△ACE）＝S△ABC﹣S△ACD， ∵S△ABCBC•AB15×20＝150，S△ACDAD•CD7×24＝84， ∴S2﹣S1＝150﹣84＝66， 故答案为：66． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键． 23．（6分）某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 【分析】连接AC，先证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC求出四边形ABCD的面积即可解决问题． 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52， 在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122， ∵52+122＝132， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴∠DAC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DACAB•BCAC•AD3×45×12＝36cm2， ∵36×30＝1080（元）， ∴这块地全部种草的费用是1080元 【点评】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明△ADC是直角三角形，属于中考常考题型． 24．（6分）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？ 【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间． 【解答】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响． 则有CA＝DA＝130m， 在Rt△ABC中，m）， ∴CD＝2CB＝100（m）， 则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）． 答：该学校受影响的时间为20s， 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间＝路程÷速度． 25．（8分）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． 【分析】Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度； 【解答】解：由题意，得：AD＝60km， Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002． ∴BD＝80． ∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）． ∴（km）． 75÷25＝3（h）． 答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． 26．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立． 【解答】证明：由已知可得， Rt△BAE≌Rt△EDC， ∴∠ABE＝∠DEC， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴△BEC是直角三角形， ∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形． 27．（8分）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点． （1）求证：MN⊥CD； （2）若AB＝50，CD＝48，求MN的长． 【分析】（1）连接MC，MD，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到MC＝MD，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论； （2）依据MN⊥CD，利用勾股定理即可求得Rt△MND中，MN的长． 【解答】解：（1）如图所示，连接MC，MD， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中点． ∴Rt△ABC中，CMAB， Rt△ABD中，DMAB， ∴MC＝MD， 又∵N是CD的中点， ∴MN⊥CD． （2）∵AB＝50， ∴MD50＝25， ∵CD＝48， ∴ND48＝24， 又∵MN⊥CD， ∴Rt△MND中，． 【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$