精品解析：重庆市长寿中学校2022-2023学年九年级下学期4月期中数学试题

长寿中学联校制教育集团2022-2023学年度下期半期考试 初三年级数学试题 全卷共三个大题，26个小题，满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卷规定的位置上． 3．参考公式：二次函数的图象的顶点坐标是． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. -5的相反数是（ ） A. -5 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】-5的相反数是5， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对相反数知识点的掌握． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的定义及识别，根据轴对称图形“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”，中心对称图形“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心”，由此即可求解，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 3. 如下图，线段两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第三象限内将线段缩小为原来的后，得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，在第三象限内将线段缩小为原来的，点的坐标为， 则点的坐标为，，即， 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 4. 某游乐场中的一个过山车一分钟内，行驶过程中距水平地面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是(　　) A. 当时，米； B. 当时，高度(米)随时间t(秒)的增大而减小； C. 当时，高度(米)随时间t(秒)的增大而增大； D. 在这分钟内，有个时间点，过山车高度是米． 【答案】D 【解析】 【分析】根据某一分钟内过山车高度h(米)与时间t(秒)之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【详解】A． 结合图象，当时，米，故该选项正确，不符合题意； B． 结合图象，当时，高度(米)随时间t(秒)的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； C．当时，高度(米)随时间t(秒)的增大而增大，故该选项正确，不符合题意； D．在这分钟内，有个时间点，过山车高度是米，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 5. 如图，于A，，若，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂直，平行线的综合，根据垂直的性质得到，由两直线平行内错角相等得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选D． 6. 如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△…按此规律，则第9个图形中△的个数为（　　） A. 108 B. 128 C. 144 D. 162 【答案】D 【解析】 【分析】由前三个图，可探索出第n个图形中△个数为，将序数代入求解． 【详解】解：第①个图形一共有（个）△， 第②个图形一共有：（个）△， 第③个图形一共有（个）△， … 第9个图形一共有：（个）△， 故选：D． 【点睛】本题考查图形规律探索，观察前3个图形，总结出△个数与序数的关系是解题的关键． 7. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．根据二次根式的混合运算，可原式，再估算出，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的值应在3和4之间， 故选：B 8. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，由此列方程即可． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 则， 故选A． 9. 如图，中，，，，是的外接圆，D为圆上一点，连接且，过点C作的切线与的延长线交于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质．连接，根据切线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，，再由，可得，然后根据，可得到，从而得到，进而得到，然后根据 直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：D 10. 已知正整数a，b，c，d，e，f满足，且，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有21组解； ④若，则该六元方程有28组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解得含义．把，，，，，分别代入方程的左边和右边，可判断①；设最小的数为n，分别计算方程的左边和右边，可判断②；原方程变形为，由正整数a，b，c，d，e，f满足，可得，据此可判断③；根据③的结论可得，据此可判断④． 【详解】解：当，，，，，时， 左边， 右边， ∴左边右边， ∴，，，，，是该六元方程的一组解，故①正确； 设最小的数为n， 左边， 右边， ∴左边右边， ∴连续的六个正整数一定是该六元方程的解，故②正确； ∵正整数a，b，c，d，e，f满足， ∴根据②可得4组连续整数123456，234567，345678，456789是方程的解， ∵， ∴ ∴， ∵正整数a，b，c，d，e，f满足， ∴， ∴， ∴， 即a，b和c，d和e，f分别是三对连续正整数， ∴若， 当时，此时或或或，4组； 当时，此时或或，3组； 当时，此时或，2组； 当时，此时，1组； 即，有组； 同理若，有6组；若，有3组；若，有1组； ∴共有组， 即若，则该六元方程有20组解，故③不正确； ∵， 由③得：， ∴ ∴， ∵a，c，e均为正整数，且， ∴若， 当时，， 当时，， ……， 当时，，有12组， ……， 共有组， 即若，则该六元方程有30组解，故④不正确． 故选：B 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】 ． 故答案为：3． 12. 据统计，2022年研究生招生考试报名人数约有4570000人，创下历史新高．其中4570000这个数用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：4570000这个数用科学记数法表示为． 故答案为： 13. 已知点在反比例函数的图象上，该反比例函数的图象上另一点A的横坐标为6，则A点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，先将代入求出k的值，再将点A的横坐标代入解析式即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， ， 当时，， A点的坐标是， 故答案为：． 14. 2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，零陵区某校九年级社会实践活动小组于当天分别到“敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区”中的两个地点开展志愿者服务，则该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，根据概率的计算公式解答即可． 【详解】解：将敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的有2种， ∴该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图法求事件的概率，正确画出树状图，熟记概率的计算公式是解题的关键． 15. 已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 16. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的整数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解；先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组有且只有五个整数解，确定a的值，即可． 【详解】 去分母得： 解得： ∵分式方程的解为整数， ∴为整数且 ∴为整数且 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有五个整数解， ∴，解得： 综上所述：符合条件的整数的值为： 符合条件的整数a的和为： 故答案为：． 17. 已知正方形的边长为，，和相交于点，连接，点是线段的中点，连接，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，可得，直角，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一边可得，在中，根据勾股定理可得，连接，作，可证是等腰三角形，可得，根据相似三角形的判定和性质可得，所以有，在中，运用勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点是的中点， ∴，即 ∵， ∴， ∴， 如图所示，连接，作于点， 在中，， ∴，即是等腰三角形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 18. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，则称这个四位数m为“平等数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“平等数”，；，，不是“平等数”．求出的值为__________：已知M，N均为“平等数”，其中，其中（，，，x、y、b都是整数），如果恰好是11的倍数，则__________． 【答案】 ①. 24 ②. 5588 【解析】 【分析】此题是新定义题，主要考查了阅读理解、列代数式、求代数式的值、数的整除，熟练掌握整式的加减运算法则、整除的问题与分类讨论的思想方法是解答此题的关键．根据“平等数”的定义可求出；根据“平等数”的定义，可得，，，再由，，，x、y、b都是整数，可得b取0，2，4，6，8，然后计算出，再代入，即可即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是“平等数”， ∴； ∵，，且M，N均为“平等数”， ∴，， ∴， ∵，，，x、y、b都是整数， ∴b取0，2，4，6，8， ∴ 当时，，，不能被11整除，不符合题意； 当时，，，不能被11整除，不符合题意； 当时，，，不能被11整除，不符合题意； 当时，，，不能被11整除，不符合题意； 当时，，，能被11整除，符合题意； ∴． 故答案为：24；5588 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和分式混合运算； （1）先用完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，再进行加减运算，结果化为最简分式或整式，即可求解； 掌握整式的混合运算法则和分式混合运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，已知． （1）在线段右侧作射线，使得． （2）如图，点F是上一点，，连接，与交于点H，证明． 请完成下面的填空 证明：在与中， ， （① ） ② ， ③ 在与中，， ， ， ． 【答案】（1）见解析 （2）；；；； 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用尺规作图，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，可证明，可得，即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 21. 某小学体育老师为了了解所任教的甲、乙两班学生的跳绳水平，对两个班的学生进行了跳绳测试，现从两个班分别随机抽取了20名学生的测试结果进行整理，描述和分析（跳绳个数用x表示，共分为五组：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为： 甲班 159 162 173 155 168 176 164 168 163 168 164 171 166 173 175 168 177 170 171 176 乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：173，171，172，174，172，172，172，甲乙两班抽取的学生成绩数据统计表如下： 班级 甲班 乙班 平均数 168 172 中位数 168 b 众数 c 172 方差 41.2 27.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b、c的值： __________；__________；__________． （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班的学生哪个班跳绳水平较高？请说明理由（一条理由即可）． （3）若甲、乙两班总人数为100人，且都参加了此次测试，估计此次测试成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1）40，172.5 168 （2）乙班的成绩较好，理由见解析 （3）30人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）求出乙班D组的占比，进而求出E组的占比，求出a的值，根据中位数的意义，将乙班的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从甲班成绩中找出出现次数最多的数即为众数； （2）依据表格中平均数、中位数、众数、方差等比较做出判断即可； （3）抽查甲班20人中优秀的有4人，乙班20人中优秀有8人，即可求出优秀人数． 【小问1详解】 解：乙班D组所占的百分比为， ∴， ∴， 乙班A，B，C组的人数之和为， 中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数， 由D组中的数据是：173，171，172，174，172，172，172 ∴处在第10、11位的两个数的平均数为， ∴， 甲班出现次数最多的是168， 因此众数是168，即． 故答案为：40，172.5 168； 【小问2详解】 解：乙班的成绩较好，理由： 乙班的平均数、中位数、众数都比甲班的大，方差比甲班小． 【小问3详解】 解：（人）， 答：此次检测成绩优秀的学生人数大约是30人． 22. 某物流公司计划购买A，B两种型号的机器人分拣快递．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣40件快递，A型机器人分拣900件快递所用时间与B型机器人分拣500件快递所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少件快递． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共40台，要求每小时分拣快递不得少于3000件，则至少购进A型号机器人多少台？ 【答案】（1）A型机器人每小时分拣90件，B型机器人每小时分拣50件； （2）至少购进25台A型机器人． 【解析】 【分析】（1）设B型机器人每小时分拣件，则A型机器人每小时分拣件，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时分拣件，则A型机器人每小时分拣件， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即A型机器人每小时分拣件． 答：A型机器人每小时分拣90件，B型机器人每小时分拣50件； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进25台A型机器人． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． 23. 2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为， （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】在Rt中，，即可得出； 由（1）得，则)，在中，，解得，根据运动员的身高为可得出答案． 【小问1详解】 在中，， 解得， ∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为． 【小问2详解】 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴运动员的身高为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 24. 如图1，在正方形中，，点是边上的中点，动点从点出发，以个单位每秒的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒，的面积为． （1）写出与之间的关系式，注明自变量的取值范围，并在图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． （2）写出函数图象的性质：____________（写出一条即可）． （3）当的面积等于的时候，时间______． 【答案】（1）y与x之间的关系式为：； 描点、连线即可画出函数图象； （2）当时，随的增大而增大，当时，取最大值 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积计算，一次函数的图象与性质，掌握三角形的面积公式、灵活应用分情况讨论是解题的关键． （1）分三种情况讨论：①当点在边上时，此时，②当点在边上时，此时，③当点在边上时，此时，分别求出的面积，再画出分段函数的图象即可； （2）结合（1）的图象即可解决问题； （3）结合（1）中的三段函数，代入的值求即可． 【小问1详解】 在正方形中，， 点是边上的中点， ， ①当点在边上时，此时，如图， 根据题意可得：，边上的高是， ； ②当点在边上时，此时，如图1-1， 根据题意可得：，，，， ， ， ； ③当点在边上时，此时，如图1-2， 根据题意可得：，边上的高是， ， ， 综上所述，y与x之间的关系式为：， 如下图所示，取，，，； 【小问2详解】 函数图象的性质：当时，随的增大而增大，当时，取最大值， 故答案为：当时，随的增大而增大，当时，取最大值； 【小问3详解】 当的面积等于时， ①，解得：； ②，解得：； ③，解得：（不符合题意，舍去）， 当的面积等于时，或． 故答案为：或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． （3）将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 【答案】（1），， （2）最大值为，此时P点的坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）中，分别令，，解方程求得点A、B、C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，设点P的横坐标为p，则，，进而表示出与p的关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出新抛物线顶点，对称轴为直线，设，，进而分3种情况讨论，①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的性质，中点坐标公式列出方程组，解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：令， 解得，， 点A在点B的左侧， ，． 当时，， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设点P的横坐标为p，则，， ，， ， ， 当时，取最大值，最大值为， ， 此时P点的坐标为． 【小问3详解】 解：， 把抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 新抛物线解析式为， 新抛物线顶点，对称轴为直线， 设，，又， 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或（H与Q重合，舍去） ； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线与坐标轴交点问题，二次函数的性质，二次函数的平移，菱形的性质，熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 26. 已知是等腰三角形，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到，连接． （1）如图1，若，恰好平分，证明：． （2）如图2，，，当时，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，若，，点Q是平面内的一个动点，连接，P点是D点关于的对称点，H点是线段上的一个动点，当的长度取最大值时，直接写出的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及角平分线的性质即可证明结论； （2）过点D作交于点N，，证明是等腰直角三角形，再证明和即可； （3）根据对称性可得点P在以B为圆心，1为半径的圆上，所以当点E、B、P三点共线且点P在点B下方时，的长度取最大值，再证明点A关于的对称点落在直线上，然后利用三角形的三边关系可得，当点H，P，共线时，有最大值，此时点H与B重合，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点D作交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵P点是D点关于的对称点， ∴， ∴点P在以B为圆心，1为半径的圆上， ∴当点E、B、P三点共线且点P在点B下方时，的长度取最大值， 此时， ∵， ∴平分， ∴点A关于的对称点A落在直线上， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵H点是线段上的一个动点， ∴， ∴， ∵或， ∴， ∴当点H，P，共线时，有最大值，此时点H与B重合， ∴的最大值为 【点睛】本题是一道压轴题，较难，解答本题应用了全等三角形的判定及性质、等腰三角形和等腰直角三角形 的性质，轴对称的性质以及最值问题，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿中学联校制教育集团2022-2023学年度下期半期考试 初三年级数学试题 全卷共三个大题，26个小题，满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑． 2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卷规定的位置上． 3．参考公式：二次函数的图象的顶点坐标是． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. -5的相反数是（ ） A. -5 B. 5 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如下图，线段两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第三象限内将线段缩小为原来的后，得到线段，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某游乐场中的一个过山车一分钟内，行驶过程中距水平地面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是(　　) A. 当时，米； B. 当时，高度(米)随时间t(秒)的增大而减小； C. 当时，高度(米)随时间t(秒)的增大而增大； D. 在这分钟内，有个时间点，过山车高度是米． 5. 如图，于A，，若，等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△…按此规律，则第9个图形中△的个数为（　　） A. 108 B. 128 C. 144 D. 162 7. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，是的外接圆，D为圆上一点，连接且，过点C作的切线与的延长线交于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 已知正整数a，b，c，d，e，f满足，且，关于这个六元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有21组解； ④若，则该六元方程有28组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 据统计，2022年研究生招生考试报名人数约有4570000人，创下历史新高．其中4570000这个数用科学记数法表示为__________． 13. 已知点在反比例函数的图象上，该反比例函数的图象上另一点A的横坐标为6，则A点的坐标是__________． 14. 2023年3月5日是第60个学雷锋纪念日，零陵区某校九年级社会实践活动小组于当天分别到“敬老院、零陵古城、烈士陵园、麻元社区”中的两个地点开展志愿者服务，则该社会实践活动小组恰好选择去“敬老院、烈士陵园”两地开展志愿者服务的概率为__________． 15. 已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径的圆交于点E，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的整数的和为__________． 17. 已知正方形的边长为，，和相交于点，连接，点是线段的中点，连接，若，则__________． 18. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，则称这个四位数m为“平等数”，记为m的各个数位上的数字之和．例如：，，是“平等数”，；，，不是“平等数”．求出的值为__________：已知M，N均为“平等数”，其中，其中（，，，x、y、b都是整数），如果恰好是11的倍数，则__________． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1）； （2）． 20. 如图，已知． （1）在线段右侧作射线，使得． （2）如图，点F是上一点，，连接，与交于点H，证明． 请完成下面的填空 证明：在与中， ， （① ） ② ， ③ 在与中，， ， ， ． 21. 某小学体育老师为了了解所任教的甲、乙两班学生的跳绳水平，对两个班的学生进行了跳绳测试，现从两个班分别随机抽取了20名学生的测试结果进行整理，描述和分析（跳绳个数用x表示，共分为五组：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为： 甲班 159 162 173 155 168 176 164 168 163 168 164 171 166 173 175 168 177 170 171 176 乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：173，171，172，174，172，172，172，甲乙两班抽取的学生成绩数据统计表如下： 班级 甲班 乙班 平均数 168 172 中位数 168 b 众数 c 172 方差 41.2 27.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a、b、c的值： __________；__________；__________． （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班的学生哪个班跳绳水平较高？请说明理由（一条理由即可）． （3）若甲、乙两班总人数为100人，且都参加了此次测试，估计此次测试成绩优秀的学生人数是多少？ 22. 某物流公司计划购买A，B两种型号的机器人分拣快递．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣40件快递，A型机器人分拣900件快递所用时间与B型机器人分拣500件快递所用时间相等． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少件快递． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共40台，要求每小时分拣快递不得少于3000件，则至少购进A型号机器人多少台？ 23. 2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为， （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（运动员身高由三条线段构成；参考数据：，，） 24. 如图1，在正方形中，，点是边上的中点，动点从点出发，以个单位每秒的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒，的面积为． （1）写出与之间的关系式，注明自变量的取值范围，并在图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． （2）写出函数图象的性质：____________（写出一条即可）． （3）当的面积等于的时候，时间______． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． （3）将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 26. 已知是等腰三角形，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到，连接． （1）如图1，若，恰好平分，证明：． （2）如图2，，，当时，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，若，，点Q是平面内的一个动点，连接，P点是D点关于的对称点，H点是线段上的一个动点，当的长度取最大值时，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $