专题02 一次函数（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题02一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、用表格表示变量间的关系 【解惑】灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 【融会贯通】 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 2．某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的关系式为 3．看电影逐渐成为人们喜欢的一种休闲娱乐方式，某影院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … (1)按照表格所示的规律，当排数为7时，此时座位数为______． (2)写出座位数y与排数x之间的关系式：______； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有100个座位吗？说说你的理由． 类型二、用关系式表示变量间的关系 【解惑】汽车离开汽车站后，以的速度匀速前进了，则汽车离开汽车站所走的路程与时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ． 3．如图，小明利用装了部分水的量筒和一些体积相同的小球进行了如下实验，请根据图中提供的信息，解答下列问题（单位：）： (1)若放入1个小球，量筒中水面升高______，若放入6个小球，量筒中水面的高度为______； (2)用小球的个数表示量筒中水面的高度______； (3)在图1的量筒中放入几个小球时，水面刚好到达量筒口？ 类型三、用图像表示变量间的关系 【解惑】如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（    ） A．乙前4秒行驶的路程为48米 B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 D．两车到第3秒时行驶的路程相等 【融会贯通】 1．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 3．如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 类型四、正比例函数的图像与性质 【解惑】函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．关于正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．图象是经过第一、第二象限的一条直线 C．图象向上平移1个单位长度后得到直线 D．点在其图象上 2．正比例函数的图象上两点，，当时，有，则的取值范围是 ． 3．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 类型五、根据一次函数的定义求参 【解惑】若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【融会贯通】 1．关于的函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．若函数是关于的一次函数，则满足 ； 若该函数是关于的正比例函数，则，满足 ； 若，，则函数关系式是 ． 3．已知一次函数． (1)m为何值时，该函数图象经过原点； (2)若函数y随x增大而增大，且图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围； (3)当时，时，直接写出x的取值范围． 类型六、列一次函数解析式并求值 【解惑】若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【融会贯通】 1．已知两个一次函数的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如下表： 0 2 12 3 9 则的值是（    ） A． B． C． D．5 2．为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（） 水费（元） 3 5 7.5 4 9 27 根据题意可知： ；设某户该月用水量为，应交水费为（元），写出与之间的关系式 ． 3．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 类型七、已知象限求参 【解惑】已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 3．已知一次函数． (1)求该一次函数的图象与x轴交于时的k值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ (3)当k为何值时，该一次函数的图象经过一、三、四象限？ 类型八、利用图像法解一元一次方程 【解惑】根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 【融会贯通】 1．画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，求x的取值范围． 2．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_____； ②当时，_____； ③当时，_____； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； (3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； (4)进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【一览众山小】 1．已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数图像大致是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数，，，则其大致图象正确的是(   ) A． B． C． D． 3．点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ． 5．若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为 ． 6．一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系是 ． 7．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值； (3)若x的取值范围是，求y的取值范围． 8．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为（千米），客车出发的时间为（小时），它们之间的关系如图所示． 信息读取： （1）货车出发1小时走的路程为_________千米； （2）客车到达终点所用的时间为_________小时． 解决问题： （1）客车离开起点多少小时后，客车追上货车？ （2）客车到达终点时，两车相距多少千米？ （3）若将两车距离不超过40千米叫作“比较靠近”则两车“比较靠近”的时间持续多久？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、用表格表示变量间的关系 【解惑】灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 【答案】D 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费，故本选项叙述正确，不符合题意； B、所缴电费随用电量的增加而增加，故本选项叙述正确，不符合题意； C、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 【融会贯通】 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可． 【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意； C．物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意； D．根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原选项错误，因此该选项符合题意； 故选：D． 2．某水果店卖出的苹果数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表： 苹果数量x（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价y（元） 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 … 上表反映了两个变量之间的关系，则与的关系式为 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，苹果数量每增加0.5千克，那么售价就增加2.5元， ∴， 故答案为：． 3．看电影逐渐成为人们喜欢的一种休闲娱乐方式，某影院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … (1)按照表格所示的规律，当排数为7时，此时座位数为______． (2)写出座位数y与排数x之间的关系式：______； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有100个座位吗？说说你的理由． 【答案】(1)68 (2) (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题主要考查列函数关系式，函数自变量的值与函数值的含义，审清题意、列出座位数与排数之间的关系式是解答本题的关键． （1）由表格可每增加一排，座位增加3个，由此可求解； （2）由（1）可得出座位数y与排数x之间的关系； （3）当代入（2）进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格中座位数与排数的变化规律可知， 排数每增加1排，座位数就增加3个， ∴第7排的座位数为：（个）， 故答案为：68； （2）解：由座位数随着排数增加的变化规律可得， ， （3）解：不可能某一排100个座位，理由如下： 把代入得，， 解得，不符合题意， ∴不可能某一排有100个座位． 类型二、用关系式表示变量间的关系 【解惑】汽车离开汽车站后，以的速度匀速前进了，则汽车离开汽车站所走的路程与时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，解决本题的关键是能找出因变量和自变量之间的等量关系． 根据“路程、速度与时间的关系”列出函数解析式即可． 【详解】解：汽车离开汽车站所走的路程=速度×时间+初始路程，即：． 故选B． 【融会贯通】 1．为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意正确列式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 故选：． 2．一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了变量间的关系，理解题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据题意，经过时间，燃烧掉的长度为，剩下的蜡烛长度等于原始长度减去燃烧掉的蜡烛长度即得解． 【详解】解：根据题意得，经过，燃烧掉的长度为，蜡烛原始长度为， 经过，燃烧后蜡烛的长度． 故答案为：． 3．如图，小明利用装了部分水的量筒和一些体积相同的小球进行了如下实验，请根据图中提供的信息，解答下列问题（单位：）： (1)若放入1个小球，量筒中水面升高______，若放入6个小球，量筒中水面的高度为______； (2)用小球的个数表示量筒中水面的高度______； (3)在图1的量筒中放入几个小球时，水面刚好到达量筒口？ 【答案】(1)3，38 (2) (3)在图1的量筒中放入10个小球时，水面刚好到达量筒口 【分析】本题考查利用函数关系式表示变量之间的关系： （1）根据题意，列出算式进行求解即可； （2）根据每放入1个小球，水面升高，即可得出关系式； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：3，38； （2）由（1）知：每放入1个小球，水面升高， ∴； 故答案为：； （3）当时，，解得：； 故在图1的量筒中放入10个小球时，水面刚好到达量筒口． 类型三、用图像表示变量间的关系 【解惑】如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（    ） A．乙前4秒行驶的路程为48米 B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 D．两车到第3秒时行驶的路程相等 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．结合速度与时间的变化图象，作出判断即可． 【详解】解：A．根据图象可得，乙前4秒行驶的路程为米，正确，不符合题意； B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度每秒增加米/秒，正确，不符合题意； C．根据图象得：在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度，正确，不符合题意； D．∵在0到8秒内甲的速度每秒增加米/秒， ∴第3秒时甲的速度为：米/秒， ∵第3秒时乙的速度为：米/秒， ∴第3秒时两车到第3秒时速度相同，但是行驶的路程不相等，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【融会贯通】 1．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案． 本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象． 【详解】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多； 第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行； 第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少， 故选：C． 2．甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据图象求得甲、乙的速度是解题的关键．根据图象，利用速度等于路程除以时间，分别求出甲乙的速度即可得解． 【详解】解：根据图可知，甲距离A地，行驶时间为，乙距离A地，行驶时间为， 甲的速度为，乙的速度为， 甲乙的速度和为． 故答案为： 3．如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 【答案】(1)距离与时间，超市离家900米 (2)20分钟，35分钟 (3)在超市购物或休息 (4)45米/分钟，60米/分钟 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象横纵坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据纵轴和横轴，知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系，显然超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟，小明从超市回到家花了15分钟； （3）这一段时间内表明离家的距离没有变化，因此可能是在超市购物，也可能是在休息（只要合理即可）； （4）根据速度路程时间进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系；超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟；返回用了分钟，往返共用了分钟； （3）小明离家出发后20分钟到30分钟可以在超市购物或休息； （4）小明到超市的平均速度是米/分钟； 返回的平均速度是米/分钟． 类型四、正比例函数的图像与性质 【解惑】函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．关于正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．图象是经过第一、第二象限的一条直线 C．图象向上平移1个单位长度后得到直线 D．点在其图象上 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．要判断一点是否在直线上，只需把点的坐标代入，看是否满足解析式．根据正比例函数图象的性质即可进行解答． 【详解】解：A、，随的增大而减小，不符合题意； B、图象是经过第二、第四象限的一条直线，不符合题意； C、图象向上平移1个单位长度后得到直线，符合题意； D、当时，，所以点不在其图象上，不符合题意； 故选：C． 2．正比例函数的图象上两点，，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据时，随的增大而增大；时，随的增大而减小，可得，解不等式即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键． （1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解； （2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为， 把，代入，得， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ， ∴y 随x的增大而减小， ∴当时，． 类型五、根据一次函数的定义求参 【解惑】若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【融会贯通】 1．关于的函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解； ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解； 【详解】①根据一次函数定义：当时，， 所以函数为一次函数，故①正确； ②，故函数过，故②正确； ③图象经过二、三、四象限，则，， 解得：，故③正确； ④函数图象与轴的交点始终在正半轴，则， 解得：，故④正确． 综上所述正确结论的序号是①②③④； 故选：D． 2．若函数是关于的一次函数，则满足 ； 若该函数是关于的正比例函数，则，满足 ； 若，，则函数关系式是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据一次函数和正比例函数的定义，注意分析计算即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数， 则有，解得； 若该函数是关于的正比例函数， 则有，且， 解得且； 若，，则函数关系式是． 故答案为：；且；． 3．已知一次函数． (1)m为何值时，该函数图象经过原点； (2)若函数y随x增大而增大，且图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围； (3)当时，时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】本题考查一次函数的性质及一次函数与一元一次不等式的关系： （1）根据过原点列式求解即可得到答案； （2）根据y随x增大而增大，得到，根据图象与y轴交点在x轴上方，得到求解即可得到答案； （3）根据，列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴，解得， ∴时，该函数图象经过原点； （2）解：∵y随x增大而增大， ∴，解得：， ∵图象与y轴交点在x轴上方， ∴，解得：， ∴； （3）解：当时， ， ∵， ∴， 解得：． 类型六、列一次函数解析式并求值 【解惑】若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知两个一次函数的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如下表： 0 2 12 3 9 则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键是由一次函数与的图象互相平行，得出，设，将、代入，得到；将、、代入，解方程组即可求出的值． 【详解】解：两个一次函数的图象互相平行， ， 设，则，， 将、代入， 得，整理得①； 将、、代入， 得，整理得：②，③， ①代入②，得， 把代入③，得， 把代入①，得． 故选：B． 2．为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（） 水费（元） 3 5 7.5 4 9 27 根据题意可知： ；设某户该月用水量为，应交水费为（元），写出与之间的关系式 ． 【答案】 【分析】根据3月份用水量与水费的关系可得的值，根据4月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可 【详解】解：3月份的用水量为，水费为7.5元，未超过6， 则 解得 4月份的用水量为，水费为27元，超过6 ∴ 解得 设某户该月用水量为，应交水费为 即 故答案为：， 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列一次函数关系式是解题的关键． 3．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 类型七、已知象限求参 【解惑】已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围即可解题． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，， 故选B． 【融会贯通】 1．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象，根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值逐一判断即可． 【详解】A.由函数图象可得，，，正确； B.由函数图象可得且，，产生矛盾，B错误； C.由函数图象可得且，，产生矛盾，C错误； D.由函数图象可得且，，产生矛盾，D错误； 故选A． 2．一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数范围，根据一次函数经过的象限可得，进而即可求得的范围． 【详解】解：∵次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 3．已知一次函数． (1)求该一次函数的图象与x轴交于时的k值； (2)当k为何值时，y随x的增大而减小？ (3)当k为何值时，该一次函数的图象经过一、三、四象限？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的性质等等： （1）将代入一次函数中进行求解即可； （2）根据随的增大而减小可知，一次项的系数小于0，列不等式可解答； （3）若一次函数的图象经过一、三、四象限，可知且，由此列不等式可解答． 【详解】（1）解：把代入得： ； （2）解：由题意得：， ， 当时，随的增大而减小； （3）解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ， 解得， 当时，该一次函数的图象经过一、三、四象限． 类型八、利用图像法解一元一次方程 【解惑】根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可 （3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可． 【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，， 故答案为：； （2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为， 故答案为：； （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 【融会贯通】 1．画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象的作图以及根据图形获取相关信息等知识点，解答关键是根据数形结合解答问题． （1）求出直线与坐标轴的交点坐标，经过两点画直线．观察图象求得方程的解； （2）观察图象求得不等式的解集； （3）观察图象，当时，可求x的取值范围； 【详解】（1）当时，；当时，， ∴，，作直线AB： 由图象，方程的解为： ； （2）由图象得：不等式的解集为：； （3）由图象得：，x的取值范围为： ． 2．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_____； ②当时，_____； ③当时，_____； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； (3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； (4)进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)；，； (2)见解析 (3)①函数图象关于轴对称；②当时，有最小值．（答案不唯一）； (4) 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）根据图象即可求得； （4）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：；，； （2）函数的图象，如图所示： （3）由图象可知： ①函数图象关于轴对称； ②当时，有最小值．（答案不唯一）； （4）若关于的方程无解，则函数图象与直线没有交点，则的取值范围是． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值； （2）几何函数图象，写出直线在直线组成方程组的解； （3）解方程得到，设点坐标为，求得．根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）当时，， 点坐标为． 直线经过和， 则， 解得：， ，； （2）由（1）得一次函数的解析式为，与正比例函数的图象相交于点； 故方程组 的解是； （3）当时，即， ， 设点坐标为， ． ， ， 解得：， 点的坐标为或． 【一览众山小】 1．已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据正比例函数的性质可得，再根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而增大， ， 一次函数经过一、二、三象限， 观察四个选项可知，只有选项A符合． 故选：A． 2．一次函数，，，则其大致图象正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握图像和系数的关系是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：， 异号， ， ， ， 故函数图像经过一、三、四象限． 故选A． 3．点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点，点是一次函数图象上的两个点，且， ． 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与坐标轴围成的图形面积，表示出函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 由直线得出交点，，，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：直线分别与的正半轴、的负半轴相交于，两点， 交点，，， 的面积等于16， ， 解得：， 故答案为：． 5．若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，根据直线 与 轴的交点为，可得关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：直线 与 轴的交点为， 则关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解， 即， 故答案为：． 6．一次函数的图象过点，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而增大． ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 7．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值； (3)若x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值和函数值的范围： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为2时自变量的值即可得到答案； （3）分别求出自变量为0和5时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：在中，当时，， ∴； （3）解；在中，当时，，当时，， ∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∴当时，． 8．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为（千米），客车出发的时间为（小时），它们之间的关系如图所示． 信息读取： （1）货车出发1小时走的路程为_________千米； （2）客车到达终点所用的时间为_________小时． 解决问题： （1）客车离开起点多少小时后，客车追上货车？ （2）客车到达终点时，两车相距多少千米？ （3）若将两车距离不超过40千米叫作“比较靠近”则两车“比较靠近”的时间持续多久？ 【答案】信息读取：（1）60，（2）6； 解决问题：（1）客车离开起点小时后，客车追上货车，（2）客车到达终点时，两车相距120千米，（3）两车“比较靠近”的时间持续了2小时40分钟． 【分析】本题考查了函数图像读取，一次函数的实际应用，相遇追击问题，解题的关键是正确识图读取信息． 信息读取：（1）根据题意结合图形即可解题； （2）根据题意结合图形即可解题； 解决问题：（1）根据题意结合图形可求得货车的速度为60千米/小时，客车的速度为100千米/小时，根据相距的距离除以速度差值即可解题； （2）计算出客车到达终点时，货车行驶的路程，计算两者差值即可解题； （3）两车比较靠近共分3段：①客车在货车后面40千米至追上；②客车把货车追上后至两车相距40千米；③客车到达终点休息时，货车从距终点40千米至到达终点，分别考虑三种情况即可． 【详解】解：信息读取： （1）客车出发时，两车相距60千米，即货车提前1小时走了60千米， 故答案为：60； （2）客车出发6小时时，两车距离最大，即6小时后客车到达终点原地休息，货车继续行驶，两车之间距离越来越小，当货车也到达终点时，两车距离为0， 故答案为：6； 解决问题：（1）货车的速度为（千米/小时），客车的速度为（千米/小时）， 客车追上货车用了（小时）． 答：客车离开起点小时后，客车追上货车． （2）当客车到达终点时， 货车行驶的路程为（千米）， 两车相距（千米）． 答：客车到达终点时，两车相距120千米． （3）①当客车还未到达终点，且两车相距40千米时， 当客车在货车后面40千米时离客车出发的时间为：（小时）； 当客车在货车前面40千米时离客车出发的时间为：（小时）． ②当客车已经到达终点，货车从距终点40千米至到达终点用了（小时）． （小时）， 小时小时40分钟． 答：两车“比较靠近”的时间持续了2小时40分钟． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$