专题02 一次函数（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题02一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数的平移 【解惑】点为一次函数图像上两点． (1)若． ①当时，x的范围为 ． ②若将此函数图像沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为 ． (2)比较p、q的大小，并说明理由． 【融会贯通】 1．在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 2．在平面直角坐标系中， (1)点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)请直接填空： ________，B点坐标为________； (2)点是线段上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）； (3)如图2，将直线沿x轴向左平移，当平移后的直线经过点，点D是点A的对应点时，解决如下问题： ①在直线上是否存在点P，使得三角形的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； ②已知是直线上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形的面积不大于9，求n的取值范围． 类型二、一次函数的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【融会贯通】 1．已知：如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是点 关于 轴对称的点，过点 作 轴平行的射线 ，交直线 与点 ，点 是射线 上的一个动点． (1)求点 ， 的坐标． (2)如图 ，将 沿着 翻折，当点 的对应点 落在直线 上时，求点 的坐标． (3)若直线 与直线 有交点，不妨设交点为 （不与点 重合），连接 ，是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出对应的点 坐标；若不存在，请说明理由． 2．在画函数图象时，我们常常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象．小明根据学到的函数知识探究函数y1＝|ax＋4|﹣b的图象与性质并利用图象解决问题．小明列出了如表y1与x的几组对应的值： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y1 … 3 1 ﹣1 ﹣3 ﹣1 1 3 5 7 … （1）根据表格，直接写出a＝　 　，b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象，并根据函数图象，写出该函数的一条性质　 　； （3）当函数y1的图象与直线y2＝mx﹣1有两个交点时，直接写出m的取值范围． 3．把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 类型三、一次函数的旋转 【解惑】如图1，已知，分别从同时开始旋转，按逆时针方向旋转，旋转到与重合时停止旋转，按顺时针方向旋转，旋转到与重合后，立刻按原速度逆时针返回，与重合停止旋转．根据观察，最终同时停止旋转，旋转过程中的大小记作，旋转时间记作，y与t之间的关系如图2所示．    (1)依据图象，请直接填写：________°；旋转的速度是________；________； (2)当时，求旋转时间t的值． 【融会贯通】 1．已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（0，3），C（－3，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，求直线CE的解析式； （3）若点P（m＋1，6m＋3）是该平面直角系内的点． ①求点P的纵坐标随横坐标变化的函数表达式； ②若点P在该△AOB内，求m的取值范围 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 3．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．    (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； (3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标． 类型四、一次函数的规律 【解惑】看电影逐渐成为人们喜欢的一种休闲娱乐方式，某影院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 5 座位数（y） 50 53 56 59 62 (1)按照表格所示的规律，当排数为7时，此时座位数为______； (2)直接写出座位数y与排数x之间的关系式； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有100个座位吗？说说你的理由． 【融会贯通】 1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是　　，因变量是　　； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 　　m； (3)该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式：　　； (4)你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 2．（1）如图，已知直线经过点，，与直线交于点，且直线交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②求点的坐标； ③求的面积． （2）观察下列算式，完成问题： ①； ②； ③； ④ …… ①按照以上算式的规律，请写出算式⑤　　　　 ②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和（为整数），请证明上述命题成立； ③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 3．综合与实践：如图1所示的长方形的一边作左右匀速平行移动，图2反映它的边的长度随时间变化而变化的情况，请解答下列问题： 边的运动时间/s 0 2 4 5 8 9 10 12 13 14 长方形的面积/ 80 120 160 180 180 150 a 60 30 0 (1)观察图2，当没有运动时，边的长度是 ，请你根据图象呈现的规律写出0至5秒间l与t的关系式 ． (2)根据图2，请描述一下边的运动情况． (3)上表反映变化过程中，长方形的面积随时间变化的情况，并根据表中呈现的规律回答下列问题： ①的长是 ； ②表格中a的值是 ； ③写出8至14秒间与的关系式． 类型五、一次函数中的不等式 【解惑】一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【融会贯通】 1．观察图像填空： (1)如图1，一次函数的图像经过点，则不等式的解集是 ； (2)如图2，两条直线的交点坐标为 ，方程的解是 ；不等式的解是 ； (3)如图3，一次函数和的图像相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．结合图像，直接写出关于x的不等式组的解集是 . 2．已知函数，其中为常数，该函数图象记为． (1)当时， ①若点在图象上，则______； ②若点在图象上，则______； ③当时，则的取值范围是______． (2)直线与图象交于点，与直线交于点，当时，求的取值范围． (3)已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． 3．探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 类型六、一次函数中的二元一次方程 【解惑】如图，直线的表达式为，点的坐标分别为，，直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)若直线与线段有交点，直接写出的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 2．驱动任务： 教材中曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，得到了两个结论：1．以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象；2．一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，当我们在画方程 的图象时，可以取方程的两组解与为坐标的点，，作出直线，那么两个二元一次方程组的解的情况与所对应的两个方程的图象之间有什么关系呢？ 研究步骤： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解为_____． （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象如图3所示，请根据图象，判断方程组的解的情况． 总结归纳： （4）当方程组中两方程的图象有交点时，方程组的解的个数有_____；当方程组中的两方程的图象没有交点时，方程组的解的个数有_____．（填选项字母） A．一组解  B．无穷多组  C．无解 3．在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 类型七、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】某运输公司安排甲、乙两种货车18辆恰好一次性将256吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车 类型 载重量 （吨/辆） 运往A地的成本 （元/辆） 运往B地的成本 （元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆？ (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【融会贯通】 1．自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 2．学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． (1)求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ (2)若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ (3)试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 3．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 类型八、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】某服装店老板4月份用18000元购进一批防晒衣，售完后，5月份用40000元又购进一批相同的防晒衣，数量是4月份的两倍，但每件进价涨了10元． (1)5月份进了多少件防晒衣？ (2)5月份，店老板将这批防晒衣平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价160元，甲店按标价卖出m件后，剩余的按标价的八折全部售出，乙店同样按标价卖出m件，然后将n件按标价的九折出售，再将剩余的按标价的六折全部售出，结果与甲店利润相同． ①用含m的代数式表示n； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请求出乙店利润的最大值． 【融会贯通】 1．某果商到果园收购甲、乙两种水果到市场去卖，已知甲、乙两种水果的收购价和零售价如下表所示： 品名 甲水果 乙水果 收购价/（元/） 4.8 4 零售价/（元/） 7.2 5.6 (1)若他收购甲、乙两种水果共花1800元，求收购甲、乙两种水果各多少千克？ (2)若该果商第二次收购甲、乙两种水果共，且收购甲种水果的数量不大于乙种水果数量的2倍，为使利润最大，则应收购甲种水果多少千克？最大利润为多少元？ 2．扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【一览众山小】 1．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线经过，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 5．如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 6．已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 7．为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运肥料的费用为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． (1)设从A城运往C乡肥料x吨． ①用含x的代数式完成下表： C乡（吨） D乡（吨） A城 x B城 总计 240 260 ②设总运费为y元，写出y与x的函数关系式，并求出最少总运费； (2)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少元，这时从A城运往C乡肥料多少吨时总运费最少？ 8．如图1，在平面直角坐标系中，A、B在坐标轴上，其中，满足．    (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，A点对应点，交轴于E，若的面积等于13，求点E的坐标； (3)如图2，若将平移到，也在坐标轴上，F为线段上一动点，（不包括点A，点B），连接、平分，，试探究，，的数量关系． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数的平移 【解惑】点为一次函数图像上两点． (1)若． ①当时，x的范围为 ． ②若将此函数图像沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为 ． (2)比较p、q的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键． （1）①根据题意得到，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得； （2）根据一次函数的性质即可判断． 【详解】（1）解：， ∴一次函数为， ①， ， ； ②将此函数图象沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为； 故答案为：①；②； （2）解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点为一次函数图象上两点，且， ∴． 【融会贯通】 1．在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 2．在平面直角坐标系中， (1)点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，再用描点法作图即可； （2）由平移方式得，分别把、代入求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入一次函数中， 得， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 该一次函数图象如图： （2）解：由点向左平移3个单位长度，得到点， 当直线经过点时，， 解得， 当直线经过点时，， 解得， 综上所述，m的取值范围是． 【点睛】本题考查用描点法作函数图象、用待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化−平移、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)请直接填空： ________，B点坐标为________； (2)点是线段上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）； (3)如图2，将直线沿x轴向左平移，当平移后的直线经过点，点D是点A的对应点时，解决如下问题： ①在直线上是否存在点P，使得三角形的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； ②已知是直线上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形的面积不大于9，求n的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①存在，P点坐标为或②n的取值范围是 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，得到且并求解，即可解题； （2）由（1）知，点坐标为 ，B点坐标为，设x，y之间满足的关系式为，利用待定系数法求出关系式即可解题； （3）①根据平移的性质得到平移后的直线解析式，设P点坐标为，根据三角形的面积等于18，建立等式求解，即可解题； ②根据题意可得且，，利用三角形的面积不大于9建立不等式求解，得到，进而得到，即可解题． 【详解】（1）解：， 且， 解得，， B点坐标为； 故答案为：，． （2）解：由（1）知，点坐标为 ，B点坐标为， 点是线段上一动点，设x，y之间满足的关系式为， ， 解得， x，y之间的关系式为； （3）解：直线沿x轴向左平移，平移后的直线经过点， 即直线与直线平行， 设平移后的直线为， 有， 解得， 平移后的直线为， ①存在， 设P点坐标为， 三角形的面积等于18， ， 整理得， 即或， 解得或， P点坐标为或； ②是直线上一动点，且点Q位于第二象限， 且，， 三角形的面积不大于9， ， 即， 则有， ， 综上所述，n的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移规律，一元一次不等式运用，一次函数点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质． 类型二、一次函数的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3)解析式为 ． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将、两点代入即可求解； （2）过点作轴于点．设，根据可证明，可得，，由点恰好落在直线上即可求解； （3）连接交于，由翻折得，，根据等腰三角形的性质可得，可得，设过点且与直线平行的直线的解析式为，将代入即可求解． 【详解】（1）一次函数的图象与轴、轴相交于、两点， ， 解得， 即，； （2）过点作轴于点． 设， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； ，， ， ，， 直线的解析式为， 点恰好落在直线上， ， 解得， ； （3）连接交于， 由翻折得，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 设过点且与直线平行的直线的解析式为， 将代入得， 解得， 过点且与直线平行的直线的解析式为． 【融会贯通】 1．已知：如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是点 关于 轴对称的点，过点 作 轴平行的射线 ，交直线 与点 ，点 是射线 上的一个动点． (1)求点 ， 的坐标． (2)如图 ，将 沿着 翻折，当点 的对应点 落在直线 上时，求点 的坐标． (3)若直线 与直线 有交点，不妨设交点为 （不与点 重合），连接 ，是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出对应的点 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点 【分析】（1）一次函数中，分别令，，即可求解； （2）根据轴对称的性质得出，由折叠知，，设 ，勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）设 ，则，，由，得出，进而解绝对值方程，得出 或 ，当 时，直线 的解析式为 ，当 时，直线 解析式为 ，进而联立方程即可求解． 【详解】（1）令 ，则 ， ， 令 ，则 ， ， ． （2）点 是点 关于 轴对称的点， ， 轴， 时，， ， ，，， 由折叠知，， ， 设 ， ，， 在中，， ， ． （3）设 ， ，， ， ， ， 或 ， 或 ， 直线 的解析式为 当 时，直线 的解析式为 联立①②解得，，， ， 当 时，直线 解析式为 联立①③解得，，， ， 即：满足条件的点 ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，求一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，求两直线的交点，数形结合是解题的关键． 2．在画函数图象时，我们常常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象．小明根据学到的函数知识探究函数y1＝|ax＋4|﹣b的图象与性质并利用图象解决问题．小明列出了如表y1与x的几组对应的值： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y1 … 3 1 ﹣1 ﹣3 ﹣1 1 3 5 7 … （1）根据表格，直接写出a＝　 　，b＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数图象，并根据函数图象，写出该函数的一条性质　 　； （3）当函数y1的图象与直线y2＝mx﹣1有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）2；3；（2）见解析；y1最小值为﹣3；（3）﹣2＜m＜1 【分析】（1）将（0，1），（﹣1，﹣1），（1，3）代入即可得到答案； （2）描点画出图象，观察得到性质； （3）直线y2过定点（0，﹣1），先求出函数y1的图象与直线y2＝mx﹣1有一个交点时的m值，再由图象观察得到答案． 【详解】解：（1）将（0，1）代入y1＝|ax＋4|﹣b得1＝|4|﹣b，解得b＝3， ∴y1＝|ax＋4|﹣3， 将（﹣1，﹣1）代入y1＝|ax＋4|﹣3得﹣1＝|﹣a＋4|﹣3，解得a＝2或a＝6， 将（1，3）代入y1＝|ax＋4|﹣3得3＝|a＋4|﹣3，解得a＝2或a＝﹣10， ∴a＝2， 故答案为：a＝2，b＝3； （2）图象如答图1，性质不唯一，比如y1最小值为﹣3，x≥﹣2时y1随x的增大而增大等； （3）如答图2，直线y2＝mx﹣1过点A（0，﹣1），函数y1＝|ax＋4|﹣b的图象最低点B（﹣2，﹣3）， 当直线y2＝mx﹣1过点A（0，﹣1）和B（﹣2，﹣3）时，函数y1的图象与直线y2＝mx﹣1只有一个交点， 由﹣3＝﹣2m﹣1解得：m＝1， 当直线y2＝mx﹣1与直线y＝﹣2x﹣7平行时，函数y1的图象与直线y2＝mx﹣1又只有一个交点， 此时m＝﹣2， 根据图象可知﹣2＜m＜1时，函数y1的图象与直线y2＝mx﹣1有两个交点． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，描点法画函数图象，函数图象的性质，两直线交点坐标的确定，正确掌握一次函数的各知识点是解题的关键． 3．把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)2 (3)或 【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可； （2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）根据题意得出经过定点，该图象与x轴交点，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求函数图象： y=x+1， 当y=0时，x=-1， ∴点A的坐标为 （2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1， ∴， 解得 ∴ 线段AD所在直线的解析式为y=x+1， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴△ABC的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时 ∵， 由图象可知， 解之得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 类型三、一次函数的旋转 【解惑】如图1，已知，分别从同时开始旋转，按逆时针方向旋转，旋转到与重合时停止旋转，按顺时针方向旋转，旋转到与重合后，立刻按原速度逆时针返回，与重合停止旋转．根据观察，最终同时停止旋转，旋转过程中的大小记作，旋转时间记作，y与t之间的关系如图2所示．    (1)依据图象，请直接填写：________°；旋转的速度是________；________； (2)当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)120，，27； (2)或或． 【分析】本题考查了图象与数据之间的关系，关键是从函数图象获取信息，用路程问题来解决问题； （1）根据图象和题中的条件得到角度，再用相遇问题来求出所用的时间； （2）根据相遇，追击来解决旋转的时间． 【详解】（1）解：根据图象，y轴上的点是，是最大值，也就是没运动时的角度， 所以， 观察图象得到运动6秒时，两条线重合，所以， 因为在最终停止运动，运动两个路程，运动一个路程， 所以，，， 当运动a秒时，到， 所以（秒）， 当运动b秒时，运动到，又返回到， 所以（秒）， 所以（秒）， 故答案为：，，27． （2）当未相遇时， （秒）， 当相遇后，没到时， （秒）， 当相遇后，且到达过， ， 解得， 当时，． 【融会贯通】 1．已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 3，0），B（0，3），C（－3，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△OCD与△BDE的面积相等，求直线CE的解析式； （3）若点P（m＋1，6m＋3）是该平面直角系内的点． ①求点P的纵坐标随横坐标变化的函数表达式； ②若点P在该△AOB内，求m的取值范围 【答案】（1）y=-x+3；（2）y=；（3）①y=6x-3；② 【分析】（1）设直线AB的解析式为：，把A（3，0），B（0，3）代入中求解即可； （2）设D点坐标为（0，m），直线CE的解析式为，则可求出直线CE的解析式为：，联立，得到，再由，得到，由此求解即可； （3）①设P点坐标为（x，y），则，可以推出，由此即可得到答案； ②P（m＋1，6m＋3）在△AOB内部，直线AB的解析式为 ，A（3，0），B（0，3），即当时，点P在直线AB的下方，在x轴的上方，由此求解即可． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：，把A（3，0），B（0，3）代入中得：， ∴， ∴直线AB的解析式为：； （2）设D点坐标为（0，m），直线CE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线CE的解析式为：， 联立， ， ∴E点坐标为（，）， ∵C（-3，0），B（0，3）， ∴，，， ∴， ∴， 解得， 经检验，m=1是方程的解， ∴直线CE的解析式为：； （3）①设P点坐标为（x，y）， ∴， ∴，即； ②∵P（m＋1，6m＋3）在△AOB内部，直线AB的解析式为 ，A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线的交点坐标，一次函数与不等式等等，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【答案】（1）；（2）；（3）不变， 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可； （3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8． 【详解】（1）作AE⊥x轴于点E ∵点A(−4，4)，点B(0，2)，． ∴AE=4，  BE=6．     ∴线段AB (2)∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形， ∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°， ①当∠BAM=90°时，如图1， 过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M2， 设M1（x，0）， AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，   BM12=(2+x)2=x2+4x+4，       AB2=52 ∵AM12+AB2 =BM12 ∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，   得：x=-20， ∴M1（-20，0） 设M2（0，y） AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，   BM22=22+y2 =y2+4，  AB2=52 ∵AM22+AB2 =BM22 ∴y2-8y+32+52=y2+4 得：y=10， ∴M2（0，10） ②当∠ABM=90°时，如图2， 过B作AB的垂线，交y轴于点M3， 设M3（0，y） AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，    BM32=22+y2 =y2+4，   AB2=52 ∵BM32+AB2 =AM32 ∴y2+4+52=y2-8y+32 得：y=-3， ∴M3（0，-3） 综上可知点M的坐标为M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3） (3)不变．OC−OD=8． 理由如下： 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3． 则∠AGC=∠AHD=90°， 又∵∠HOC=90°， ∴∠GAH=90°， ∴∠DAG+∠DAH=90°， ∵∠CAD=90°， ∴∠DAG+∠CAG=90°， ∴∠CAG=∠DAH． ∵A(−4，4)， ∴OG=AH=AG=OH=4． 在△AGC和△AHD中 ∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH ∴△AGC≌△AHD(ASA)， ∴GC=HD． ∴OC−OD=(OG+GC)−(HD−OH)=OG+OH=8． 故OC−OD的值不发生变化，值为8 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 3．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点O顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．    (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：； (3)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，度，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的“旋转垂线”的解析式是： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，再求出这两个交点绕原点顺时针旋转后的点，再用待定系数法求出直线的“旋转垂线”的解析式即可； （2）分别求出直线和直线与坐标轴的交点，再利“直线绕原点O顺时针旋转得到的直线”得到这些交点横纵坐标的相等关系，从而得解； （3）作交的延长线于点C，作，作于D，先证明，从而证明，继而推导点C的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，最后用两直线求交点的方法求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图1，    由得：，， ∴点A绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 点B绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 设的解析式为：， 将点，代入得： 解得：， ∴的解析式为：， 即直线的“旋转垂线”的解析式是：； （2）证明：如图2，设直线与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，    对于直线 当时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴ 同理可得：， ， 依题意得：点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， 点绕点O顺时针旋转90°后对应的点是， ∴ 由得： 两边同时除以并整理得：； （3）解：如图3，作交的延长线于点C，作，作于D，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入得： 解得 ∴直线的解析式为：， 直线与直线的解析式联立得： ， 解得 ∴ 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用与坐标轴的交点解决旋转问题是解题的关键．第二问中直线与坐标轴的交点无论在原点的哪个方向，它旋转后用字母表示的结果不变．更一般地，直角坐标系内任意一点绕原点旋转顺时针之后的点是，因此可以不对进行讨论． 类型四、一次函数的规律 【解惑】看电影逐渐成为人们喜欢的一种休闲娱乐方式，某影院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 5 座位数（y） 50 53 56 59 62 (1)按照表格所示的规律，当排数为7时，此时座位数为______； (2)直接写出座位数y与排数x之间的关系式； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有100个座位吗？说说你的理由． 【答案】(1)68 (2) (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题主要考查列函数关系式，函数自变量的值与函数值的含义，审清题意、列出座位数与排数之间的关系式是解答本题的关键． （1）由表格可每增加一排，座位增加3个，由此可求解； （2）由（1）可得出座位数y与排数x之间的关系； （3）当代入（2）进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格中座位数与排数的变化规律可知， 排数每增加1排，座位数就增加3个所以第7排的座位数为： （个）， 故答案为：68； （2）由座位数随着排数增加的变化规律可得， ， （3）把代入得，， 解得，不符合题意， 所以不可能某一排100个座位． 【融会贯通】 1．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … (1)自变量是　　，因变量是　　； (2)当刹车时车速为时，刹车距离是 　　m； (3)该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式：　　； (4)你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 【答案】(1)刹车时车速；刹车距离 (2)25 (3) (4)该汽车不会和前车追尾 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据表格数据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案； （3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案； （4）结合（3）的结论得出可得车速为的，刹车距离，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． （2）解∶由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， ∴， ∴当刹车时车速为时，刹车距离是． （3）解∶由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加， 与之间的关系式为：， （4）解∶当时，， ， 该汽车不会和前车追尾． 【点睛】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键． 2．（1）如图，已知直线经过点，，与直线交于点，且直线交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②求点的坐标； ③求的面积． （2）观察下列算式，完成问题： ①； ②； ③； ④ …… ①按照以上算式的规律，请写出算式⑤　　　　 ②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和（为整数），请证明上述命题成立； ③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 【答案】（1）①；②；③面积为3；（2）①；②任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立，理由见解析；③任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不成立，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用；因式分解—平方差公式的应用，有理数的混合运算； （1）①待定系数法求解析式，即可求解； ②联立可得点坐标； ③点纵坐标为的高，，直线当时，点横坐标点横坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）①根据题意写出算式⑤，即可； ②利用平方差公式进行因式分解，即可； ③设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可． 【详解】解：（1）①设直线的函数表达式代入点A，B坐标得， ， 解得：， 所以，； ②联立可得点坐标， ，， 代入得，， ， ； ③点纵坐标为的高，， 直线当时，， 由于点横坐标点横坐标， ， 即面积为3． （2）①根据题意，可得算式⑤： 故答案为：； ②由题意可得， ， 能被4整除，且为奇数， 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立； ③设两个连续奇数为和． ， 是偶数， 任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不成立． 例如：，即是4的6倍，6是偶数，不是奇数． 3．综合与实践：如图1所示的长方形的一边作左右匀速平行移动，图2反映它的边的长度随时间变化而变化的情况，请解答下列问题： 边的运动时间/s 0 2 4 5 8 9 10 12 13 14 长方形的面积/ 80 120 160 180 180 150 a 60 30 0 (1)观察图2，当没有运动时，边的长度是 ，请你根据图象呈现的规律写出0至5秒间l与t的关系式 ． (2)根据图2，请描述一下边的运动情况． (3)上表反映变化过程中，长方形的面积随时间变化的情况，并根据表中呈现的规律回答下列问题： ①的长是 ； ②表格中a的值是 ； ③写出8至14秒间与的关系式． 【答案】(1)， (2)边先向右匀速平行移动5秒，然后停止移动3秒，再向左匀速平行移动6秒到与重合 (3)①，②，③ 【分析】本题考查了一次函数的性质，从函数图像中获取信息，图形的运动问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解线段的运动问题，从而进行解题． （1）根据图象求出当没有运动时，边的长度，然后利用待定系数法求出0至5秒间l与t的关系式； （2）根据图象求解即可； （3）①由图象可得，当时，，长方形的面积为80，进而求解即可； ②由图象可得，当时，，进而求解即可； ③首先求出8至14秒间，设l与t的关系式为，进而求解即可． 【详解】（1）根据图象可得，当没有运动时，边的长度是； 当时，设l与t的关系式为 ∴将，代入得， 解得 ∴l与t的关系式为； （2）由图象可得， 边先向右匀速平行移动5秒，然后停止移动3秒，再向左匀速平行移动6秒到与重合； （3）①由图象可得，当时，，长方形的面积为80 ∴的长为； ②由图象可得，当时，， ∴此时长方形的面积为； ③8至14秒间，设l与t的关系式为 将，代入得， 解得 ∴8至14秒间，设l与t的关系式为 ∴8至14秒间，与的关系式为． 类型五、一次函数中的不等式 【解惑】一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 【融会贯通】 1．观察图像填空： (1)如图1，一次函数的图像经过点，则不等式的解集是 ； (2)如图2，两条直线的交点坐标为 ，方程的解是 ；不等式的解是 ； (3)如图3，一次函数和的图像相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．结合图像，直接写出关于x的不等式组的解集是 . 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据函数图像求出不等式的解集即可； （2）根据函数图像得出两条直线的交点坐标即可；根据交点坐标得出的解即可；根据函数图像求出不等式的解集即可； （3）①联立方程组，可得出点A的坐标为；由求出点C的坐标为；②根据函数图像求出不等式组的解集即可． 本题主要考查了两条直线的交点与二元一次方程组解的关系，一次函数和不等式的关系，解题的关键是数形结合，注意直线与直线的交点，直线与坐标轴的交点． 【详解】（1）解：∵的图像经过点， ∴观察图像，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图像，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图像可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，，； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②由的图像可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为． 故答案为：． 2．已知函数，其中为常数，该函数图象记为． (1)当时， ①若点在图象上，则______； ②若点在图象上，则______； ③当时，则的取值范围是______． (2)直线与图象交于点，与直线交于点，当时，求的取值范围． (3)已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，一元一次不等式组的应用； 当时， ①将点代入，即可求解； ②分别讨论时，时，代入解析式，求得对应的的值， ③分当时，，当时，，分别求得函数值，进而即可求解； （2）与直线交于点，则，进而分类讨论与时对应的点坐标，根据，解不等式组，即可求解； （3）将分别代入两个解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ①将点代入，即， 故答案为：． ②当时，，解得： 当时，，解得， 故答案为：． ③当时， 时，，当时， 当时， 当时，，当时， ∴当时， （2）解：∵与直线交于点 ∴ 当时，点在上，则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当时，点在上，则 当时，即时， ∴ 解得： 当时， 解得： 综上所述，或 （3）解：当在时， 解得：， 当在 解得： ∴时与有交点 当点在上时，， 当在上时，， ∴时，与有2个交点 ∴当图象与线段只有一个交点时，或． 3．探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)①1；0；②；；③；④或或 【分析】（1）根据表格中的数据可以画出相应的函数图像； （2）①根据图像即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图像，可知x的取值范围；③函数图像即可求得点的坐标；④根据函数图像的特征即可求解． 【详解】（1）描点，并画出函数的图像如下： （2）①由图可知，当时，函数有最小值， 故答案为，0； ②由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时（填写自变量取值范围），随的增大而减少， 故答案为； ③由图像可知，图像关于成轴对称， ∴图像关于过点且垂直于x轴的直线对称， 故答案为； ④∵， ∴当时，函数与平行，当时，函数与平行， ∴当或时，函数与有一个交点， 另外当函数过点时，有，即时，函数与有一个交点， 故答案为或或． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图像，利用数形结合的思想解答． 类型六、一次函数中的二元一次方程 【解惑】如图，直线的表达式为，点的坐标分别为，，直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标； (3)若直线与线段有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可得到直线的表达式； （2）通过解方程组即可得到点的坐标； （3）求出直线过点，时的的值，即可求出范围． 此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为． 点，的坐标分别为，， ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：由题意，∵直线与直线相交于点． ∴得， 解得， 点的坐标为； （3）解：当直线过点时，， 当直线过点时，， ， 直线的表达式为与直线的比例系数相等， 这两条直线平行， 直线与线段有交点， ． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)或或或． 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 2．驱动任务： 教材中曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，得到了两个结论：1．以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象；2．一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，当我们在画方程 的图象时，可以取方程的两组解与为坐标的点，，作出直线，那么两个二元一次方程组的解的情况与所对应的两个方程的图象之间有什么关系呢？ 研究步骤： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解为_____． （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象如图3所示，请根据图象，判断方程组的解的情况． 总结归纳： （4）当方程组中两方程的图象有交点时，方程组的解的个数有_____；当方程组中的两方程的图象没有交点时，方程组的解的个数有_____．（填选项字母） A．一组解  B．无穷多组  C．无解 【答案】（1）见解析；（2），，（3）无解；（4）A、C． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是关键． （1）利用描点法画出两条直线图象即可； （2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组的解； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解即可； （4）根据上面的小题进行判断即可． 【详解】解：（1）， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 如图示：    （2）观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是； 故答案为：，； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解． （4）由上可得：当方程组中两方程的图象有交点时，方程组的解的个数有一组解；当方程组中的两方程的图象没有交点时，方程组无解， 故选：A、C． 3．在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①点P的横坐标为或；② 【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）分类讨论：若直线经过点，直线经过点，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点，同上可求点是线段a的“双线关联点”； （2）①：将点A、B代入得，，则，当直线经过点，直线经过点时，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故，解得：，因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，综上所述，点P的横坐标为或； ②：设线段的“双线关联点”为M，N，则，由①得：，消去m可得：，则点M在直线上运动，同理可求点N在直线上运动，将问题转化为正方形与直线和直线恰有2个交点，当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线上， 则，解得：，当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，因此满足2个交点，则，当时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述：． 【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案为：，； （2）解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． 类型七、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】某运输公司安排甲、乙两种货车18辆恰好一次性将256吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车 类型 载重量 （吨/辆） 运往A地的成本 （元/辆） 运往B地的成本 （元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆？ (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【答案】(1)甲种货车用了10辆，乙种货车用了8辆 (2)当为4时，最小，最小值是18200元 【分析】（1）设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆，根据18辆货车恰好一次性运输256吨物资，可列出关于的一元一次方程，解之可得出使用甲种货车的数量，再将其代入中，即可求出使用乙种货车的数量； （2）利用总运输成本每辆甲种货车运往地的成本前往地的甲种货车的数量每辆乙种货车运往地的成本前往地的乙种货车的数量每辆甲种货车运往地的成本前往地的甲种货车的数量每辆乙种货车运往地的成本前往地的乙种货车的数量，可得出关于的函数关系式，由运往地的物资不少于160吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出，结合（1）的结论，可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设甲种货车用了辆，则乙种货车用了辆， 根据题意得：， 解得：， （辆． 答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了8辆； （2）前往地的甲、乙两种货车共12辆，且前往地的甲种货车为辆， 前往地的乙种货车为辆，前往地的甲种货车为辆，乙种货车为辆． 根据题意得：， 即． 前往地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨， ， 解得：， 又甲种货车共用了10辆， ． ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值（元． 答：当为4时，最小，最小值是18200元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 【融会贯通】 1．自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【答案】(1)，型设备单价分别是2200，2000元 (2)，当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台，根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， ∴型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是2200，2000元； （2）设购买台型设备， 购买型设备台，依题意，．解得， 的最小整数解为12， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低． 2．学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． (1)求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ (2)若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ (3)试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件 (2)共有4种购买方案 (3)购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，最小费用为1502元 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用．关键是熟练掌握总价与单价和数量关系，列出方程组、不等式组和函数解析式． （1）设A型号文化衫售价x元，B型号文化衫售价y元，根据170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫，列出方程组求解即可； （2）设购买A型号文化衫m件，则购买B型号文化衫件，根据购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，列出不等式组，求出m的取值范围，再根据m只能取整数，即可得出购买方案； （3）根据购买总费用为，当m越小，费用越小，故取，故当购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，此时，最小费用为，即可． 【详解】（1）设A型号的价格为x元/件，B型号的价格为y元/件， 依题意得：， 解得，． 答：A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件． （2）设A型号买m件，则B型号买件， 依题意得：， 即：， 解得，， ∵m为正整数， ∴． 故共有4种购买方案： 方案一：购买A型号19件，B型号31件； 方案二：购买A型号20件，B型号30件； 方案三：购买A型号21件，B型号29件； 方案四：购买A型号22件，B型号28件． （3）购买总费用为， ∵， ∴m越小，费用越小， ∴当时，总费用最少， 最小费用为：． 故方案一总费用最少，最少为1502元． 3．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 类型八、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】某服装店老板4月份用18000元购进一批防晒衣，售完后，5月份用40000元又购进一批相同的防晒衣，数量是4月份的两倍，但每件进价涨了10元． (1)5月份进了多少件防晒衣？ (2)5月份，店老板将这批防晒衣平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价160元，甲店按标价卖出m件后，剩余的按标价的八折全部售出，乙店同样按标价卖出m件，然后将n件按标价的九折出售，再将剩余的按标价的六折全部售出，结果与甲店利润相同． ①用含m的代数式表示n； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请求出乙店利润的最大值． 【答案】(1)5月份进了这种防晒衣400件； (2)①；②乙店利润的最大值为8160元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式和一次函数的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （1）设4月份购进x件防晒衣，则5月份进了这种防晒衣件，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于m、n的等式，然后化简即可； ②设乙店的利润为w元，根据乙店的销售情况列出函数解析式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量和①的关系式求出m的取值范围，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设4月份购进x件防晒衣，则5月份进了这种防晒衣件， 由题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则， 答：5月份进了这种防晒衣400件； （2）①5月份每件防晒衣的进价为：（元）， 由题意得： ， 化简，得： ， ∴； ②设乙店的利润为w元， 则 ， ∵，及， 解得：， ∵， ∴当时，w最大，最大值为8160， 答：乙店利润的最大值为8160元． 【融会贯通】 1．某果商到果园收购甲、乙两种水果到市场去卖，已知甲、乙两种水果的收购价和零售价如下表所示： 品名 甲水果 乙水果 收购价/（元/） 4.8 4 零售价/（元/） 7.2 5.6 (1)若他收购甲、乙两种水果共花1800元，求收购甲、乙两种水果各多少千克？ (2)若该果商第二次收购甲、乙两种水果共，且收购甲种水果的数量不大于乙种水果数量的2倍，为使利润最大，则应收购甲种水果多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】(1)收购甲水果，乙水果； (2)收购甲种水果，乙种水果，能使获得利润最大，最大为1280元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用和一次函数解决实际问题． （1）设收购甲水果，乙水果，根据收购甲水果和乙水果两种水果共用去了元钱，列方程求解； （2）设批发甲种水果，则批发乙种水果，获得利润y元，则可得到y关于x的函数解析式，由题意有，求得x的取值范围，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设收购甲水果，乙水果， 由题意得：， 解得：， 乙水果， 答：收购甲水果，乙水果； （2）解：设收购甲种水果，则收购乙种水果，获得利润y元， 则， ∵由题意有， 解得， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，为， 此时． 答：收购甲种水果，乙种水果，能使获得利润最大，最大为1280元． 2．扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件 (2)第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件， 根据题意得，， 解得， 答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件． （2）解：由题知：， 解得，， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元． 3．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【答案】(1) (2)当时取最大值4500元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 【一览众山小】 1．若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据不等式的解集是， ∴一次函数图象大致如图， 根据图象可知一次函数与轴交点为， ∴根据一次函数的图象及性质可得点有可能在图象上， 故选：． 2．如图，直线经过，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据直线的交点确定不等式的解集，利用图象法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：令，当时，， ∴直线和直线相交于， 如图： 由图可知：不等式的解集为； 故选B． 3．如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的有关知识，等腰直角三角形的性质，掌握探究规律题目的方法，从特殊到一般，归纳出规律，先找到的、的横坐标的规律，然后求出点坐标． 【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点， ∴，， ∵过B作x轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作y轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作x轴的平行线交直线于， ∴ ∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为64， 点． 故选：A． 4．已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据一次函数图象的性质进行分类讨论是解题关键．利用一次函数的性质，分和两种情况考虑，可分别得出与的值，再代入解二元一次方程组即可求得与的值，最后求得结果． 【详解】解：若，，；，， ∴， 解得:， ∴此时一次函数解析式为； 若，，；，， ∴， 解得: ， ∴此时一次函数解析式为； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 5．如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 6．已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 7．为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运肥料的费用为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． (1)设从A城运往C乡肥料x吨． ①用含x的代数式完成下表： C乡（吨） D乡（吨） A城 x B城 总计 240 260 ②设总运费为y元，写出y与x的函数关系式，并求出最少总运费； (2)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少元，这时从A城运往C乡肥料多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)当时，总运费最少，且最少的总运费为10050元． (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意得出解析式，根据解析式得出y随x的增大而增大，结合即可得出答案； （2）由题意得出解析式，结合一次函数的性质，分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：②由题意得： ． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，总运费最少，且最少的总运费为10050元． （2）解：由题意得： ． 当时，，当时，运费最少，即A城运往C乡0吨，总运费最少； 当时，，当时，运费最少，即A城运往C乡210吨，总运费最少； 当时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过210吨），总运费都是10050元． 8．如图1，在平面直角坐标系中，A、B在坐标轴上，其中，满足．    (1)求A、B两点的坐标； (2)将平移到，A点对应点，交轴于E，若的面积等于13，求点E的坐标； (3)如图2，若将平移到，也在坐标轴上，F为线段上一动点，（不包括点A，点B），连接、平分，，试探究，，的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、，得到答案； （2）构造矩形，根据三角形的面积是13，利用割补法求出，再根据平移的性质，求出直线的解析式，则可求出点E的坐标； （3）作交于H，交于G，设，根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得：，， 则，． （2）如图1所示，   的面积等于13， 根据A，B，C三点的坐标， 可得：， 解得：， 则点C的坐标为， 根据平移规律，则有点D的坐标为， 设直线的解析式为：， 解得：， 的解析式为：， 与轴的交点的坐标为； （3）如图2所示，作交于H，交于G，    设， 则， ，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查的是非负数的性质、坐标与图形的关系、待定系数法求函数解析式以及平行线的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、平移规律是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$