专题02 相似形（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题02相似形思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似三角形的应用 【解惑】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【融会贯通】 1．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 2．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 3．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 类型二、相似三角形的平移 【解惑】如图，已知反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于点，两点，一次函数与轴交于点，若． (1)求一次函数的解析式． (2)将一次函数的图象沿轴负方向平移（）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数（）的图象只有一个交点时，求的值及交点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 2．（1）【观察发现】如图1，在的正方形网格中，点为格点，交于点M．为了求的度数，我们可以向右平移线段，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接，则的度数为 ； （2）【探究迁移】如图2，正方形的边上有一动点E，以为边向外作正方形，连接交于点与交于点P，请仅就图2的情形解决以下问题： ①将线段向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在边上，连接，求证：； ②求的度数． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若为边的三等分点，请直接写出的面积． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线M的函数表达式； (2)如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：； (3)记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围． 类型三、相似三角形的翻折 【解惑】综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 【融会贯通】 1．已知：如图1，在正方形中，点E、F分别在上，，连接． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到，连接，试判断与之间的位置关系，并说明理由； (3)如图2，若点E是的中点，点P是线段上任意一点，连接，作于点M． ①当最小时，求证：四边形是菱形； ②当时，求的最小值． 2．综合与实践 【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作探究： 操作过程及内容如下（如图①）． 操作1：将正方形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图①中，若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形． （2）请在图①中证明． 【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题： （3）如图②，若，则 ． 3．如图，在矩形中，点为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，交于点． (1)如图1，当点在边上，点在边上时，若，，求的值； (2)如图2，当点在边上，点在边上时，若，且时，求的长； (3)如图3，当点在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长． 类型四、相似三角形的旋转 【解惑】综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题； ②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【融会贯通】 1．如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或于点，交边（或于点，当旋转至处时，的旋转随即停止 (1)特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时， （填：“≌”或“∽”）； (2)类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (3)拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的t的值． 2．如图，在等腰直角中，，点在边上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)如图1，若，求证∶； (2)如图2，若点在边上，与交于点，已知，，求的长； (3)如图3，点F与点重合，点为边的中点，且三点共线，以和为邻边作，连接，若，求的最小值． 3．在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外）连接，将线段绕点P顺时针方向旋转，，得到，连接． (1)（观察发现）如图1，当，且时，与的数量关系是 ． (2)（猜想证明）如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理）． (3)（拓展探究）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 类型五、相似三角形的动点 【解惑】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，．设P，Q分别为，上的动点，点P自点D沿方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度均为，设P，Q移动的时间为t（）．    (1)当t为何值时，？ (2)写出的面积与时间之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 2．如图，在中，，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动，同时，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为秒． (1)①求是直角三角形时的值； ②求的面积关于时间（秒）的函数关系式； (2)在移动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出的值． 3．如图，在中，，，为边上的高，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，设的面积为，矩形的面积为，运动时间为秒． (1)当时，求点运动的时间的值； (2)矩形的面积能否为？请说明理由； (3)在点运动过程中是否存在？若存在，请求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 类型六、相似三角形的最值 【解惑】如图，矩形中，，，点，分别在边，上，且，连接，，并以，为边作平行四边形． (1)连接，求的长度； (2)求平行四边形周长的最小值； (3)当平行四边形为正方形时如图，连接，分别交，于点、，求：的值． 【融会贯通】 1．【特例感知】 （1）如图①，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，写出图中一对你认为全等的三角形_________； 【类比迁移】 （2）如图②，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图③，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点顺时针旋转得到，连接，是否有最小值，若有请求出最小值；若没有，请说明理由． 2．综合与探究 如图，正方形中，为边上异于的一动点，为边上一点，为线段上的动点，于，于． (1)求证：； (2)若为中点，设为． ①求的长（用含的代数式表示）； ②求四边形面积的最大值； (3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大． 3．如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 类型七、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在的边上找一点D，连结，使； (2)在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； (3)在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点D是线段与竖网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作的角平分线，再在上画点Q，使； (2)在图2中，连接，画的中点M； (3)在图3中，在上画点E，使得． 2．图、图、图均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图中，作的中线； (2)在图中，在边上找一点，连接，使； (3)在图中，在边上找一点，连接 ，使． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，M是与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作，使与全等． (2)在图②中，作点M关于的对称点N． (3)在图③中，在边上找一点E，连结，使． 类型八、相似三角形的新定义 【解惑】【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； (2)，为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 2．定义：如果两个相似三角形的其中一组对应角有一条公共边，则称它们为“友谊三角形” (1)【初步理解】如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：和为“友谊三角形”； (2)【尝试应用】在(1)的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长； (3)【拓展应用】如图3，在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，且，．若点C是直线在第一象限上的一点，且和为“友谊三角形”，求四边形的面积． 3．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”． 【初步理解】一次函数的永恒点的坐标是 ； 【理解应用】二次函数落在轴负半轴的永恒点的坐标是 ，落在轴正半轴的永恒点的坐标是 ； 【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【一览众山小】 1．已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（　　） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 3．如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 4．如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边上，则的长为 ． 5．阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 6．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点． (1)用无刻度的直尺作直线； (2)用无刻度的直尺作出一个矩形． 7．下面是数学小组对一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务． “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图1所示的图形，其中，四边形是长方形，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．你能证明吗？ 小明：经过分析，得出结论：点G是线段的中点，且； 小丽：你的结论正确，若把条件“G是上一点，并且，”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙． 任务一：请你根据小丽的思路，写出证明过程． 已知：四边形是矩形，F是延长线上一点，点G是的中点，且． 求证：． 任务二：如图2，在矩形中，对角线的延长线与的平分线交于点F，若，，求的长． 任务三：如图3所示，在中，，，点P在线段上，点D在线段上，，，求的面积． 8．一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”．    (1)【概念理解】如图1，，则四边形 （填“是”或“不是”）等腰直角四边形； (2)【分析应用】如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段数量关系并加以证明； (3)【拓展提高】如图3，四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，求的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02相似形思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似三角形的应用 【解惑】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为14米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ， ， 即， 解得， ，，， ， 四边形是矩形， ， （米）． 答：旗杆的高度为14米． 【融会贯通】 1．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 2．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 3．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆的影长为．经测量，米，米． (1)根据以上信息，计算旗杆的高度．（结果保留整数） (2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由． 【答案】(1)旗杆的高度约为10米 (2)不可以．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用： （1）根据证明，由相似三角形的性质可得，进行计算即可； （2）旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，才可以准确得到旗杆的高度． 【详解】（1）解：由题意，可知． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴（米）． 答：旗杆MN的高度约为10米． （2）解：不可以． 理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测旗杆影长，此时旗杆影长已发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．（理由合理即可） 类型二、相似三角形的平移 【解惑】如图，已知反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于点，两点，一次函数与轴交于点，若． (1)求一次函数的解析式． (2)将一次函数的图象沿轴负方向平移（）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数（）的图象只有一个交点时，求的值及交点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式是 (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程； （1）将点代入中得，证明得出进而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得a值．最后将a值代入其中，求得M的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过点、作轴，轴． 将代入中得：， ，， ，， 即， 将代入中，， 设一次函数表达式： ，解得， 一次函数的解析式是； （2）一次函数的图象沿轴负方向平移（）个单位长度得到新图象的解析式是：． 根据题意得， ； 这个新图象与函数的图象只有一个交点， ， 解得； ①当时， 解方程得， ， ； ②当时， 解方程得， ， ． 点在第一象限，故，不符合题意，舍去， 综上所述，，． 【融会贯通】 1．如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值． 【详解】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 2．（1）【观察发现】如图1，在的正方形网格中，点为格点，交于点M．为了求的度数，我们可以向右平移线段，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接，则的度数为 ； （2）【探究迁移】如图2，正方形的边上有一动点E，以为边向外作正方形，连接交于点与交于点P，请仅就图2的情形解决以下问题： ①将线段向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在边上，连接，求证：； ②求的度数． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若为边的三等分点，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）3或 【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，再由平行线的性质可得； （2）①由平移的性质可得，由正方形的性质得到，则，据此可证明；②由正方形的性质得到，证明，得到，，则，进而得到，由平移的性质可得，则； （3）证明，得到，再分当点E是靠近点D的三等分点时，当点E是靠近点C的三等分点时，根据进行求解即可． 【详解】解：（1）由网格的特点和勾股定理可得，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴； （2）①由平移的性质可得， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，即； ②∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴； （3）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 当点E是靠近点D的三等分点时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得当点E是靠近点C的三等分点时，； 综上所述，的面积为3或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线M的函数表达式； (2)如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：； (3)记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解抛物线解析式，求解抛物线与坐标轴的交点，抛物线的平移，相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． （1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出顶点坐标，分别计算出，，，的长，利用三边对应成比例的两个三角形相似即可判定； （3）先求出直线的解析式，根据题意可知，求出平移后的解析式，将交点问题转化为方程，解方程后根据解的情况求解即可． 【详解】（1）解：把、分别代入， 得：， 解得：， 抛物线M的函数表达式为； （2）证明， 点， 令， 解得：，， 点B的坐标为， 、， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； （3）解：设直线的解析式为， 把点、分别代入中，得：， 解得：， 直线的解析式为， 将向下平移个单位， 则平移后的的解析式为， 如图， ， 当与没有交点时， 没有实数根， 即没有实数根， ， 解得：， 当与线段只有两个交点时，如图， 即方程有两个负实数根， ， 解得：， h的取值范围为． 类型三、相似三角形的翻折 【解惑】综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用证明即可； （）延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； （2）如图，延长，交于点，    设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿翻折到处， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知：如图1，在正方形中，点E、F分别在上，，连接． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到，连接，试判断与之间的位置关系，并说明理由； (3)如图2，若点E是的中点，点P是线段上任意一点，连接，作于点M． ①当最小时，求证：四边形是菱形； ②当时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及相似三角形的性质： （1）根据“”证明即可； （2）先证明，再根据折叠的性质证明，故可得； （3）①过点P作于点N，则，连接交于点O．当有最小值时，点N、P、G在一条直线上，这时．证明四边形是平行四边形，再由可得结论；②证明得，证明得设，则，在中由勾股定理得，再求出，从而可得结论． 【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ，， 又， ． （2）解：，理由如下：如图， ， ， ， ， ， ， 由折叠知：，， ， ∴． （3）解：①如图，过点P作于点N，则，连接交于点O．当有最小值时，点N、P、G在一条直线上，这时． ，， 由（2）知：， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． ②当时，，， ∵ ∴ ∴， ，即， ， 由折叠得，， 又 ∴， ∴ 设，则， 在中，， ， 解得：（舍去），， ， 的最小值是． 2．综合与实践 【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作探究： 操作过程及内容如下（如图①）． 操作1：将正方形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图①中，若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形． （2）请在图①中证明． 【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题： （3）如图②，若，则 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）4 【分析】对于（1），根据折叠和平行线的性质得，，可知四边形是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； 对于（2），令正方形的边长为2，设，再根据勾股定理求出，然后说明，求出，进而得出答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）根据折叠可知，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）根据折叠可知，，令正方形的边长为2，设， 则，． ∵四边形是正方形， ∴，. 在中，根据勾股定理，得， 解得， 则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； （3）令正方形的边长为3，设，则， ∵， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， 解得， 则． 由（2），得， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，菱形的判定，相似三角形的性质是求线段长的常用方法． 3．如图，在矩形中，点为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，交于点． (1)如图1，当点在边上，点在边上时，若，，求的值； (2)如图2，当点在边上，点在边上时，若，且时，求的长； (3)如图3，当点在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出，由翻折知，即可求出； （2）由扩叠的性质，，，则,再证，由相似比得出,再证,从而解决问题； （3）证得,再由勾股定理得,再证，通过相似比解决问题． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， 由翻折知， ． （2）由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去负值） ， （3）四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 在中，， ∴， 即 解得 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 类型四、相似三角形的旋转 【解惑】综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题； ②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）是平行四边形，理由见解析 （2）①  ② 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）证明两组对边分别平行即可得到结论； （2）①连接，由旋转可得，，然后利用勾股定理解题即可； ②过点作于点，先根据三角形的面积得到，求出长，然后利用解题即可． 【详解】解：（1）∵是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是平行四边形； （2）① 如图，连接， 由旋转可得，， ∴， 又∵M是的中点， ∴； ②过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得： 【融会贯通】 1．如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或于点，交边（或于点，当旋转至处时，的旋转随即停止 (1)特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时， （填：“≌”或“∽”）； (2)类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (3)拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的t的值． 【答案】(1)∽ (2)是定值，定值为 (3)当点E在上时， ；当点E在上时， 【分析】（1）根据矩形的性质找出，再通过角的计算得出，由此即可得出； （2）过点作于点，根据矩形的性质以及角的计算找出、，由此即可得出，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论； （3）分点在和上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出与之间的函数关系式，令求出值，此题得解． 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出；（3）分点在和上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键． 【详解】（1）解：如图2中， 四边形为矩形， ， ． ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：是定值．如图3，过点作于点， 矩形中，， ，， ． ， ， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况： ①如图3，当点在上时，． ，， ． 由（2）可知：， ，即， ． ， ． 当时，， 解得：． ， ； ②如图4，当点在上时，，过点作于点， ，， ． 同理可证：， ，即， ． ，， ． 当时，， 解得：． ， ． 综上所述：当点在上时，，当时，；当点在上时，，当时，． 2．如图，在等腰直角中，，点在边上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)如图1，若，求证∶； (2)如图2，若点在边上，与交于点，已知，，求的长； (3)如图3，点F与点重合，点为边的中点，且三点共线，以和为邻边作，连接，若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，则，可推出，从而得出； （2）作于，可依次求得，，，，，，可证得，从而，从而得出，从而得出； （3）取的中点，作，截取，连接，可推出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当运动在时，最小，作，交的延长线于，根据勾股定理求得，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：设， ∵ 则， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，    作于， 线段绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图所示， 取的中点，作，截取，连接， 以和为邻边作， ∴四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 是的中点，， ， ， ， ， ∵取的中点，作，截取，连接， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当运动在时，最小，    作，交的延长线于，与的交点记为，连接 ∵取的中点，作，此时点与重合 ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，确定点的运动轨迹． 3．在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外）连接，将线段绕点P顺时针方向旋转，，得到，连接． (1)（观察发现）如图1，当，且时，与的数量关系是 ． (2)（猜想证明）如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2、图3中的一种情况予以证明或说理）． (3)（拓展探究）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)不成立，结论是，理由见解析 (3)2或14 【分析】（1）连接，证明，可得结论； （2）连接，由，，得到，，由旋转的性质得，，，得到，，再证明，得到，则； （3）分当P在线段上时和当P在延长线上时两种情况证明，推出 ，由此求解即可． 【详解】（1）如图：连接 ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：． （2）不成立，结论是；理由如下： 连接， ，，， 由旋转的性质得， 、都是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， 不成立，结论是， （3）当点P在线段上时，如图2中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图3所示，当P在延长线上时，连接， ，，，， ， ，即∠BAP=∠CAE， 同（2）可得， ， ， ， 同理可求得：，， ， 综上所述：或14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 类型五、相似三角形的动点 【解惑】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】发现：，；（1）①秒②秒（2）满足条件的t的值为或秒 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，综合性较强，证明三角形相似是解题的关键， 发现：利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； 猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出结论；②先求出的面积，进而求出的面积，最后用的面积建立方程并解方程，即可得出结论； （2）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：发现：在中，， ∴， ∵， ∴， ， 由运动知，， ， ∴， 故答案为：，； 猜想：（1）①∵， ∴， ∴秒； ②∵ ， ∴， ∵与四边形面积比值为， ∴， 如图，过点M作于D， 在中，，， ∴， ∴， 解得：秒； （2）∵与相似， 当时， ∴ ， ∴ ， ∴秒， 当时， ∴， ∴， ∴秒， 即：满足条件的t的值为或秒； 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，．设P，Q分别为，上的动点，点P自点D沿方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，移动的速度均为，设P，Q移动的时间为t（）．    (1)当t为何值时，？ (2)写出的面积与时间之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1) (2)，当时，有最大值 (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解题关键． （1）由已知可以求出的值，因为，所以，根据三角形相似得到三角形的边长比，根据边长比可得一个关于的方程，解此方程可得的值； （2）过点作，垂足为，从而得到，根据相似比例求出的长，可以得到用表示面积的函数解析式，再求最大值； （3）分三种情况讨论为等腰三角形，即，和，再分别求的值． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 则，，，，， ∵，则， ∴， ∴，即， ∴， 当时，； （2）过点作，垂足为，    同上，可知 ， ， ， 即， 当时，有最大值； （3）①当时，， ， ②当时，作，垂足为，    此时，， ，， ， ，即， ． ③当时，作，垂足为，      此时，， ，， ， ，即， ． 综上，当或或时，为等腰三角形． 2．如图，在中，，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动，同时，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为秒． (1)①求是直角三角形时的值； ②求的面积关于时间（秒）的函数关系式； (2)在移动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)①当的值为或时，是直角三角形；② (2)当的值为或或时，为等腰三角形 【分析】（1）①运用勾股定理可求出，根据点的运动，分别用含的式子表示出的值，根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；结合相似三角形的性质列式求解即可； ②如图所示，过点作于点，运用相似三角形的性质可得的值，根据三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：①在中，， ∴（）， ∴点从的时间为：，点从的时间为：， ∴， 当运动时间为秒时，，，，， 是直角三角形，分两种情况讨论： 第一种情况：当时，即， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，是直角三角形； 第二种情况，当时，即， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，是直角三角形； 综上所述，当的值为或时，是直角三角形； ②如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积关于时间（秒）的函数关系式为：； （2）解：由上述计算可得，， 当为等腰三角形，分类讨论： 第一种情况：当时，如图所示，过点作于点， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第二种情况，当时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第三种情况：当时，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查点的运用与函数的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程等知识的综合，理解点的运用与线段的数量关系，函数关系式的计算方法，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，图形结合分析思想是解题的关键． 3．如图，在中，，，为边上的高，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，设的面积为，矩形的面积为，运动时间为秒． (1)当时，求点运动的时间的值； (2)矩形的面积能否为？请说明理由； (3)在点运动过程中是否存在？若存在，请求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点运动的时间的值为 (2)矩形的面积能为，理由见解析 (3)存在，点运动的时间为 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程， （1）根据题意可得，且，利用三角形面积公式即可列出代数式，求解即可； （2）结合（1）可知，有，得，则，结合和三角形面积公式即可求得时间； （3）由（1）知，，由知，，根据题意列出关系式求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，为边上的高， ， 又∵， 则， ， ， ； （2）解：矩形的面积为， 理由：，， ， ， ， ， 即 ∵，四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 矩形的面积为， ， ； （3）解：由（1）知，， 由（2）知，， ， ， 或， ， ． 类型六、相似三角形的最值 【解惑】如图，矩形中，，，点，分别在边，上，且，连接，，并以，为边作平行四边形． (1)连接，求的长度； (2)求平行四边形周长的最小值； (3)当平行四边形为正方形时如图，连接，分别交，于点、，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形，矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形和平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）根据矩形的性质，则，，根据，勾股定理，则，即可； （2）作点关直线的对称点，连接交于点，连接，，点在上是一个动点，根据对称点的性质，则，；根据三角形三边的关系，当当点不与点重合时点、、可构成一个三角形，当点与点重合时点、，在同一条直线上，推出，时，由最小值，即四边形的周长为：，即可； （3）过点作，根据正方形的性质，全等三角形的判定，则，推出，，根据勾股定理求出；根据相似三角形的判定和性质，则，推出，求出；再根据相似三角形的判定和性质，求出；，推出；根据，根据，求出；最后再根据，，则，，则，即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴，，， ∵ ∴ ∴ （2）作点关直线的对称点，连接交于点，连接，，点在上是一个动点， ∴，， ∴， 当点不与点重合时点、、可构成一个三角形， ， 当点与点重合时点、，在同一条直线上， ∴， ∴当点于点重合是，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形周长的最小值为：． （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 综合所述，：的值为． 【融会贯通】 1．【特例感知】 （1）如图①，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，写出图中一对你认为全等的三角形_________； 【类比迁移】 （2）如图②，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图③，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点顺时针旋转得到，连接，是否有最小值，若有请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1），（2）仍成立，证明过程见详解，（3）有最小值， 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识的综合运用．作辅助线构造相似三角形是解决问题（3）的关键；确定点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆是难点所在． （1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明（3），可得结论； （2）与（1）同理可证明（1）中结论成立； （3）过点作，使得，连接，．判定，即可得到的长为定值，进而得出点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，故当点在线段上时，存在最小值． 【详解】解：（1）和是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为：； （2）仍然成立． ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ； （3）有最小值． 如图，过点作，使得，连接，， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ∴，， ， 点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆， ， 当点在线段上时，的最小值为． 2．综合与探究 如图，正方形中，为边上异于的一动点，为边上一点，为线段上的动点，于，于． (1)求证：； (2)若为中点，设为． ①求的长（用含的代数式表示）； ②求四边形面积的最大值； (3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大． 【答案】(1)见解析 (2)①；②12 (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定证明即可． （2）延长交于点P，则，， 设为，根据得出，求出即可进一步求得的长．根据题意列出四边形面积的一元二次方程，求最大值即可． （3）设，即可求出，根据（2）可得，列出四边形面积与的关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：①∵，为中点，， ∴， ∴，， 延长交于点P， 在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴与平行， 则，， ∴， 即， ∴ ∴ ∴； ② ∵，开口向下， ∴当时，S随x的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值为12； （3）解：设，由（1）得： ， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，开口向下，对称轴， 又∵ ∴， ∴当时，S随x的增大而增大， ∵， ∴四边形面积随着的增大而增大． 3．如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ （1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？ 变式训练： （2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？ （3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值． 【答案】（1）；（2）当，时，此时矩形面积最大．（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质： （1）设正方形零件的边长为，根据，可得，即可求解； （2）设，根据，可得，从而得到，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ， ， 设正方形零件的边长为 ，则 ，，， ， 即， 解得， 故这个正方形零件的边长是． （2）设 ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形面积， 时，此时矩形面积最大． 即当，时，此时矩形面积最大． （3）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型七、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在的边上找一点D，连结，使； (2)在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； (3)在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）在上取一点D，使得即可； （2）取的中点P，取格点T，连接交于点Q，线段即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点E，连接即可， 本题考查作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点E即为所求． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点D是线段与竖网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作的角平分线，再在上画点Q，使； (2)在图2中，连接，画的中点M； (3)在图3中，在上画点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图，取格点，，连接，，连接交于点，取格点，，连接交于，连接并延长交于点，即为所求； （2）如图，取格点，，连接顺次四边形，结合图形可知四边形为平行四边形，连接交于，则为的中点，取格点，可知为的中点，连接，交于，即为所求； （3）由图可知，，如图，取格点，连接，，可得是等腰直角三角形，取线段与横网格线的交点，连接交于，即为所求． 【详解】（1）解：如图，取格点，，连接，，连接交于点， 由勾股定理易知，，，， 则， ∴，即平分， 由网格可知，，取格点，，连接交于，连接并延长交于点， 则， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 则如图所示，即为所求； （2）如图，取格点，，连接顺次四边形，结合图形可知四边形为平行四边形，连接交于，则为的中点， 取格点，可知为的中点，连接，交于， 则为的中位线， ∴，则， ∴点为的中点， 则如图所示，即为所求； （3）由图可知，， 如图，取格点，连接，，可知，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 取线段与横网格线的交点，连接交于，由网格可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 则如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 2．图、图、图均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图中，作的中线； (2)在图中，在边上找一点，连接，使； (3)在图中，在边上找一点，连接 ，使． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）找出线段的中点， 连接即可； （）找到格点， 连接，与线段的交点为点，连接即可； （）通过相似三角形的性质作线段的三等分点，连接即可； 本题考查了基本作图，中线的定义、等腰三角形的性质、线段三等分点的作法，相似三角形的性质，熟练掌握三等分点的作法是解题的关键. 【详解】（1）如图，根据网格特征找出中点，连接即可， ∴点即为所求； （2）如图， 根据网格特征可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； （3）如图， 根据网格特征可知，， ∴， ∴， ∴， ∴点E即为所求． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，M是与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作，使与全等． (2)在图②中，作点M关于的对称点N． (3)在图③中，在边上找一点E，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点D，连接，即可； （2）作点A关于的对称点D，连接，交格线于N，则点N即为所求； （3）在图②的基础上，如图③，取格点P，连接交格线于F，连接交于E，则点N即为所求． 【详解】（1）解：如图①所示，即为所求， 由图可知∶ ，，， ∴． （2）解∶ 如图②所示，作点A关于的对称点D，连接，交格线于N， 则点N即为所求， 由作图可知：点A、点D关于的对称， ∴与关于的对称， ∴ ∴点M与点N关于的对称． （3）解：取格点P，连接交格线于F，连接交于E， 则点N即为所求， 由作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵点M与点N关于的对称． ∴ ∴四边形是菱形形， ∴． 【点睛】本题考查利用网格作全等三角形，作轴对称图形，全等三角形的判定，轴对称的性质，平行线的分线段成比例，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．掌握全等三角形的判定、轴对称的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 类型八、相似三角形的新定义 【解惑】【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； (2)，为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，，得出，即可得出答案； （2）①由，得出直线解析式为，作轴于，于，证明，得出，，推出，代入函数解析式，计算出的值即可得解；②作轴，由题意得出，推出，设，则，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， ∴的“度比坐标”为； （2）解：①∵， ∴直线解析式为， 如图，作轴于，于， ， ∴ 设， ∵的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 代入直线得：， 解得：， ∴，， ∴； ②作轴， ， ∵的“度比坐标”与的“度比坐标”相等， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴由勾股定理可得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【融会贯通】 1．【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或8 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”； （3）根据题意分两种情况分析：和，结合图形，利用等角对等边及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②∵是“准直角三角形”，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． （3）∵，，， ∴， ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 综上可得：的长为或8． 2．定义：如果两个相似三角形的其中一组对应角有一条公共边，则称它们为“友谊三角形” (1)【初步理解】如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：和为“友谊三角形”； (2)【尝试应用】在(1)的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长； (3)【拓展应用】如图3，在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，且，．若点C是直线在第一象限上的一点，且和为“友谊三角形”，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)23； (3)． 【分析】本题考查了新定义“友谊三角形”等腰三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判断与性质等知识，掌握“友谊三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“友谊三角形”的定义，由相似三角形的性质可求证； （2）由，得到，进上步得到，证明，得出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵对角线平分∠BAD， ∴． 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且为和的公共边， ∴和为“友谊三角形”． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴四边形的周长为：． （3）解：∵点C是直线在第一象限上的一点， ∴平分，即． 又∵和为“友谊三角形”， ∴有下列两种情形： ①当时，，即， ∴， 如图，作轴于点M，轴于点N， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ②当时，，而， ∴此情况不存在， 综上所述，四边形的面积为． 3．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”． 【初步理解】一次函数的永恒点的坐标是 ； 【理解应用】二次函数落在轴负半轴的永恒点的坐标是 ，落在轴正半轴的永恒点的坐标是 ； 【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】初步理解：；理解应用：，；知识迁移：为定值 【分析】本题考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形的性质： 初步理解：解析式变形为，求解即可； 理解应用：由二次函数变形为，求解即可； 知识迁移：由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可． 【详解】解：初步理解：由一次函数变形为， 当时，无论m值如何变化，， 故一次函数必过一定点． 故答案为：． 理解应用：由二次函数变形为， 当时，无论m值值如何变化， 当时，无论值如何变化，， 故二次函数必过定点，． 所以二次函数落在x轴负半轴的定点A的坐标是，落在x轴正半轴的定点B的坐标是； 故答案为：，． 知识迁移：是定值，定值为2 由题意得 ， 由上一小题得：， 作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，则，，，，分别过点P、B作直线的垂线，垂足为Q、C，则，，， ，， ，， ， 即 为定值． 【一览众山小】 1．已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了网格图中作图，图中点的坐标表示，位似的定义和相似比的应用，掌握位似的作图是解题的关键．根据位似的定义和相似比，结合网格画出图形即可得出结果． 【详解】解：根据位似的定义和相似比，结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点的坐标为或， 故选：D． 2．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（　　） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故选：A 3．如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由折叠的性质可知，，，根据直角三角形的定义，分两种情况讨论，证明，得出，进而求出的长，再表示出的长即可． 【详解】解：，， ，， 由折叠的性质可知，，， 为直角三角形， 当时，如图所示，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即x的值为； 当时，如图所示， 同理可证，， ， ， ， ， ，即x的值为； 综上可知，x的值为或； 4．如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强；过点G作，可以得到，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到，根据勾股定理可求，即可求解． 【详解】∵正方形的边长为10， ∴ 过点G作，则 ∴四边形是矩形， ∴ ∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中 ∴ ∴ ∴ ∴ ，即 ∴ ∴ 同理 ∴ ∴ ∴小正方形的边长为 ∴． 故答案为：． 5．阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 6．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点． (1)用无刻度的直尺作直线； (2)用无刻度的直尺作出一个矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图、菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定是解答本题的关键； （1）连接交于点，则点是的中点（菱形的对角线相互平分）；连接交于点M，则即为所求直线； （2）连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点，则四边形即为所求； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接交于点，则点是的中点（菱形的对角线相互平分）； 因为四边形是菱形， 所以 所以 因为 所以 所以为的中位线 所以 则所在直线即为所求直线； （2）解：如图，四边形即为所求； 证明：连接，交于点，分别延长，，相交于点，连接，，相交于点， 根据菱形性质可得：， ，， 四边形是菱形， ， ∴ 四边形为矩形； 7．下面是数学小组对一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务． “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图1所示的图形，其中，四边形是长方形，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．你能证明吗？ 小明：经过分析，得出结论：点G是线段的中点，且； 小丽：你的结论正确，若把条件“G是上一点，并且，”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙． 任务一：请你根据小丽的思路，写出证明过程． 已知：四边形是矩形，F是延长线上一点，点G是的中点，且． 求证：． 任务二：如图2，在矩形中，对角线的延长线与的平分线交于点F，若，，求的长． 任务三：如图3所示，在中，，，点P在线段上，点D在线段上，，，求的面积． 【答案】任务一：详见解析；任务二：；任务三： 【分析】任务一：根据矩形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，于是得到； 任务二：取的中点，连接，过点作 于点，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，设，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 任务三：作线段垂直平分线，交于E，于F，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质证明，再证明，得到，然后设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，则有，解之求得，从而求得，最后由求解即可． 【详解】证明：四边形是长方形， ，， ∴， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 任务二：取的中点，连接，过点作 于点，如图， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， ， 设， ， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 任务三：如图，作线段垂直平分线，交于E，于F， ∵垂直平分， ∴， ，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴（负值舍去） ∴； ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”．    (1)【概念理解】如图1，，则四边形 （填“是”或“不是”）等腰直角四边形； (2)【分析应用】如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段数量关系并加以证明； (3)【拓展提高】如图3，四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，求的面积． 【答案】(1)是 (2)，，证明见解析 (3)9 【分析】（1）根据，得到，得到，得到，即得四边形是等腰直角四边形； （2）设与交于点F，判定不是等腰直角三角形， 与都是等腰直角三角形，得到，推出，得到，即得； （3）在上方作等腰直角，连接，设与交于点M，与交于点G，得到，，到，根据，得到，根据，得到，，推出，，根据，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形是等腰直角四边形； 故答案为：是； （2），．证明： 设与交于点F， ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点D作，使，连接，设与交于点M，与交于点G， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义——“等腰直角四边形”．熟练掌握新定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，是解决问题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$