专题02 相似形（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题02相似形思维导图 【类型覆盖】 类型一、由平行截线求相关线段的长或比值 【解惑】如图，已知，，，那么的长等于（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，中，D、F在边上，E、G在边上，，且，若，则的长为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 2．如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 3．如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 类型二、相似三角形的判定与性质 【解惑】如图，直线与轴交于点C，与y轴交于点D，以为边作矩形，点A在x轴上．双曲线经过点B，与直线交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 3．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．      求证：． 证明：连结．    （）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 【结论应用】 （）如图②，在中，点分别是边的中点，相交于点，交于点，则______； （）如图③，在中，分别是边的中点，过点的直线分别交于点，若，，四边形的面积为，则______． 类型三、利用相似求坐标 【解惑】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 3．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 类型四、相似三角形的判定——双角相等 【解惑】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【融会贯通】 1．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 2．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   3．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 类型五、相似三角形的判定——夹边比例相等 【解惑】已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【融会贯通】 1．如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 2．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 3．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 类型六、相似三角形的判定——三边比例相等 【解惑】如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，ABC 和EDF的点都在网格的格点上．求证：ABC～EDF． 【融会贯通】 1．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)则__________°，__________； (2)判断与是否相似．若相似，请说明理由． 类型七、在坐标系中画位似中心 【解惑】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 【融会贯通】 1．已知， 在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点 P 为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是 ． (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 的位似图形，使相似比为； (3)若点为 内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ． 2．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 3．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为____________，与的面积比为____________，____________； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 类型八、画放大或缩小的位似图形 【解惑】在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 2．按要求填空与作图． (1)在方格图（每个方格的边长表示）中画一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别确定在和的位置上，那么直角的顶点位置可以是 ． (2)在图中画出把三角形绕直角顶点A顺时针方向旋转的图形． (3)将（2）中的三角形按缩小后画在合适的位置． (4)第一个三角形的面积是 平方厘米． 3．如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为， (3)若一边上的点与一边上的点H是对应点，则点H的坐标是______； (4)若与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【一览众山小】 1．已知，，，，下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，缩小后得到，其中A，B的对应点分别为，点A，B，均在格点上，若线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为（  ） A． B．(m，n) C． D． 4．已知，若，，则 ． 5．若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 6．如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ． 7．如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 8．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02相似形思维导图 【类型覆盖】 类型一、由平行截线求相关线段的长或比值 【解惑】如图，已知，，，那么的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键． 由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出的长． 【详解】∵ ∴，即， ∴， ∴． 故选B． 【融会贯通】 1．如图，中，D、F在边上，E、G在边上，，且，若，则的长为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，则，得到．则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 2．如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行分线段成比例定理得出即可求解． 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，，四边形为平行四边形， 所以，， 又，，， 则， 则． 故答案为：3． 3．如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴.   将，，代入，得. 解得 ． （2）解：∵， ∴. ∵， ∴.    将，代入，得. 解得. 类型二、相似三角形的判定与性质 【解惑】如图，直线与轴交于点C，与y轴交于点D，以为边作矩形，点A在x轴上．双曲线经过点B，与直线交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象是点的坐标特征求得，然后根据相似三角形的判定和性质求得，进而根据三角形全等求得，最后联立方程，解方程即可求得． 【详解】∵直线与轴交于点C，与y轴交于点D， 分别令，得，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 作，如图 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵双曲线经过点B， ∴，解得： ∵ ∴ ∴直线的解析式为 令，解得：或6， ∴或3 ∴点E的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．取的中点，连接，根据平行四边形的性质得到，，，进而得到是的中位线，则，，，易证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，如图，   四边形为平行四边形， ，，， 是的中位线， ，，， ， ， ， ，即， ． 故选：A． 2．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴, ，，，， ， 解得． 故答案为：． 3．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，在中，分别是边的中点，相交于点．      求证：． 证明：连结．    （）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 【结论应用】 （）如图②，在中，点分别是边的中点，相交于点，交于点，则______； （）如图③，在中，分别是边的中点，过点的直线分别交于点，若，，四边形的面积为，则______． 【答案】（）证明见解析；（）；（）． 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）由三角形中位线的性质可得，，进而得到，即得，据此可得； （）由可得，由（）可知，即得，即可由得到； （）如图③，作交的延长线于点，交于点， 则，，，可得，由得到，即得，再证明可得，进而由得到，即得，即可得，又由得，即得，由此可得，进而可得，，即得到，据此即可求解． 【详解】（）证明：如图①，连接， ∵点分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴；    （）解：如图②， ∵， ∴， ∴， 由（）可知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图③，作交的延长线于点，交于点，    则，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、利用相似求坐标 【解惑】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 类型四、相似三角形的判定——双角相等 【解惑】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 2．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，结合， ，即可得出，进而可证出． 【详解】解：四边形是平行四边形，    ， ， ， ． ∴． 3．如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型五、相似三角形的判定——夹边比例相等 【解惑】已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 【答案】见解析 【分析】由，可得，又由，，由此即可判定； 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键． 2．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明，再由可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 类型六、相似三角形的判定——三边比例相等 【解惑】如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，ABC 和EDF的点都在网格的格点上．求证：ABC～EDF． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理可分别求出两个三角形的各个边长，再验证对应边的比值相等即可证明． 【详解】解：∵，，，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用，验证两个三角形的对应边的比值相等是解题的关键． 【融会贯通】 1．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 【答案】见解析 【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm， ∴，， ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法， 分别求出和的各边长度，再根据对应边成比例即可解答． 【详解】证明：如答图，过点C作，交于点H. 由A，B，C三点的坐标可以得到, ， ， 在和中， ，，， ∴. ． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)则__________°，__________； (2)判断与是否相似．若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定． （1）根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到的度数，再根据邻补角定义即可得到的度数；利用勾股定理，即可求出的值，构造利用勾股定理，是解题关键； （2）方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的倍，可求出对角线，的值，然后通过构造，利用勾股定理可求出的值，由此即可得到和三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出，的值，由（1）可得到的值，同理可求出的值，已知，的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键． 【详解】（1）解：如图，令的正方形顶点分别为，，，， 由题意得为边长为1的小正方形的对角线， ， ， 由图可知，是的斜边，， ． （2）解：判断：， 解法一： 证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线， ，， 由图可得是的斜边，， ， 又∵，， ， ， ． 解法二： 证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线， ，， 又，， ， ， ，都是正方形的对角线， ， ， ． 类型七、在坐标系中画位似中心 【解惑】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所作； （2）解：如图2，为所作． 【融会贯通】 1．已知， 在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点 P 为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是 ． (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 的位似图形，使相似比为； (3)若点为 内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查位似变换，（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接、、，并延长相交于点P， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为， 故答案为：． 2．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 【答案】(1)作图见解析，； (2)， (3) 【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． （3）根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．    （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：，． （3）解：由图可知，， ∴通过平移，使点与点重合，平移的最短路程为． 【点睛】本题考查的是勾股定理、位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 3．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为____________，与的面积比为____________，____________； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；；； (3)见解析 【分析】（1）连接，交于点P，即可得到结论； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；求出边长为1和2的正方形的对角线，得到与的长，求出与的比值，根据与相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比，根据正方形的面积减去三个三角形的面积求得． （3）根据位似的性质画出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示；点即为所画的位似中心， （2）如图所示：位似中心P的坐标是． 由勾股定理得，，, ∵， ∴， ∴与的面积比为：． 故答案为：；；；． （3）解：如图所示，即为所求， 【点睛】此题考查了位似中心的确定，勾股定理，位似的性质，画位似图形，网格中求三角形的面积．正确运用面积比等于位似比的平方是解答本题的关键． 类型八、画放大或缩小的位似图形 【解惑】在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置； （2）利用所画图形得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）解：的各顶点坐标分别为：，，． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据点的位置，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为，    故答案为：． 2．按要求填空与作图． (1)在方格图（每个方格的边长表示）中画一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别确定在和的位置上，那么直角的顶点位置可以是 ． (2)在图中画出把三角形绕直角顶点A顺时针方向旋转的图形． (3)将（2）中的三角形按缩小后画在合适的位置． (4)第一个三角形的面积是 平方厘米． 【答案】(1)见解析，或 (2)见解析 (3)见解析 (4)8 【分析】本题考查作图旋转变换、三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据题意画图即可；由图可得答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）将各边缩小为原来的一半画图即可． （4）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）如图，直角三角形或直角三角形均满足题意． ，， 直角的顶点位置可以是或． 故答案为：或． （2）如图，和均满足题意． （3）如图，和均满足题意． （4）第一个三角形的面积是（平方厘米）． 故答案为：8． 3．如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为， (3)若一边上的点与一边上的点H是对应点，则点H的坐标是______； (4)若与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) (4)图见解析，坐标为 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了作图-位似变换，平移变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）分别确定向左平移3个单位，向上平移1个单位后的对应点，再顺次连接，从而可得答案； （2）点O为位似中心，分别确定的对应点,再顺次连接即可得到答案； （3）根据位似图形的性质，把的坐标都乘以2，即可； （4）由的交点为Q，从而可得位似中心，再根据Q的位置可得点的坐标. 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：由位似图形的性质可知：点H的坐标是； （4）解：如图所示，由的交点为Q， 所以与是关于点Q为位似中心的位似图形， 此时． 【一览众山小】 1．已知，，，，下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，最小项与最大项的积等于其余两项的积，根据题意要求，将个数化为一个等积式，再化为比例式即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：． 3．如图，缩小后得到，其中A，B的对应点分别为，点A，B，均在格点上，若线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为（  ） A． B．(m，n) C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标系中位似图形的性质，根据A，B两点坐标以及对应点点的坐标得出坐标变化规律，进而得出的坐标： 【详解】解：∵缩小后得到，其中A，B的对应点分别为，点A，B，均在格点上， 即A点坐标为：，B点坐标为：，A′点坐标为：，B′点坐标为 ， 所以：位似比为， ∴线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为：． 故选：D． 4．已知，若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形中对应边成比例是解决本题的关键．根据两个三角形相似时对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6 5．若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意熟记定理是关键． 【详解】解：∵两个相似图形的周长比为， ∴其相似比为， ∴其面积比为， 故答案为：． 6．如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ． 【答案】27 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为：27． 故答案为：27． 7．如图在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）先分别证明，，再根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据，得出，代入数据求出，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换及三角形的面积计算，熟知图形旋转的性质以及三角形面积的计算公式是解题的关键． （1）根据所给图形可知是直角三角形，分别求出和的长即可； （2）根据题意，画出旋转后的图形即可； （3）找出的中点即可解决问题； （4）将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，即，再根据平行线分线段成比例计算即可求解； 【详解】（1）由勾股定理可得： ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故答案为：． （2） 即为所求作的三角形． （3） 点即为所求作的点． （4）， ， 由勾股定理可得， ， ， ． 点即为所求作的点． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$