专题04 二次函数与最值的四种类型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题04 二次函数与最值的四种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段最值 1 类型二、周长最值 4 类型三、面积最值 6 类型四、区间内最值 12 压轴能力测评（10题） 13 类型一、线段最值 类型二 面积最值 利用割补法（铅锤线法）：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到相应的二次函数解析式，配方可得最大面积. 类型三 在区间范围内 一般步骤： (1)求出对称轴； (2)将区间以对称轴为临界分情况讨论，利用二次函数的增减性求最值或取值范围： 若M(m,yM),N(n,yN)为抛物线上两点，且M点在N点左侧 ①区间在对称轴左侧时：如图①，当a>0时，最大值为yM,最小值为yN;如图②，当a<0时，最大值为yN,最小值为yM; ②对称轴在区间内时：M点比N点更靠近对称轴，如图③，当a>0时，最大值为yN,最小值为顶点纵坐标；如图④，当a<0时，最大值为抛物线顶点纵坐标，最小值为yN; ③区间在对称轴右侧时：如图,当a>0时，最大值为yN,最小值为yM;如图⑥，当a<0时，最大值为yM,最小值为yN。 类型一、线段最值 例．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 【变式训练1】．如图，抛物线与轴交、两点，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求抛物线及直线AC的函数表达式； (2)若P点是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【变式训练3】．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 类型二、周长最值 例．如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点．    (1)求的值和抛物线顶点的坐标； (2)在轴上求一点，使的周长最小． 【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，已知点，，顶点在坐标原点的抛物线经过点B． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为，点P到点A的距离为，试说明； (3)将点B绕点A顺时针方向得到点C，抛物线上一动点P，当的周长有最小值时，求点P坐标． 【变式训练2】．已知抛物线与x轴交于和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点M坐标及四边形ABMC的面积； (3)若点P是对称轴上一点，求当△APC周长最短时，求点P的坐标． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 类型三、面积最值 例．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标； 【变式训练1】．如图，二次函数的图象交轴于点、、交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点、交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【变式训练2】．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【变式训练3】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标； 类型四、区间范围内最值 例．函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 【变式训练1】．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【变式训练2】．当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【变式训练3】．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则a的值为（    ） A．1或 B．2或 C．2或 D．或 1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C， 其中A点的坐标是， C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)求出点B的坐标以及的面积； (3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时求出点P的坐标． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）． (1)求该二次函数的表达式； (2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积 5．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 6．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴交x轴于点D，交直线于点，连接，，，与直线交于点F．        (1)求A，B，C三点的坐标及直线的函数表达式； (2)当的面积等于面积的时，求点P的坐标； 7．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，设垂直于墙的一边为，矩形场地的面积为    (1)S与x的函数关系式为 ，其中x的取值范围是 ； (2)当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值． 8．张大爷要围城一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另一边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式 (2)当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值． 9．已知抛物线与轴交于、两点，其中点在点的右侧，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)点为抛物线上一点且在第一象限内，求面积的最大值； 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标； (2)过点作轴于点，连接．求面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数与最值的四种类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、线段最值 4 类型二、周长最值 11 类型三、面积最值 17 压轴能力测评 26 类型一、线段最值 类型二 面积最值 利用割补法（铅锤线法）：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到相应的二次函数解析式，配方可得最大面积. 类型三 在区间范围内 一般步骤： (1)求出对称轴； (2)将区间以对称轴为临界分情况讨论，利用二次函数的增减性求最值或取值范围： 若M(m,yM),N(n,yN)为抛物线上两点，且M点在N点左侧 ①区间在对称轴左侧时：如图①，当a>0时，最大值为yM,最小值为yN;如图②，当a<0时，最大值为yN,最小值为yM; ②对称轴在区间内时：M点比N点更靠近对称轴，如图③，当a>0时，最大值为yN,最小值为顶点纵坐标；如图④，当a<0时，最大值为抛物线顶点纵坐标，最小值为yN; ③区间在对称轴右侧时：如图,当a>0时，最大值为yN,最小值为yM;如图⑥，当a<0时，最大值为yM,最小值为yN。 类型一、线段最值 例．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；②4，-5；（4） 【分析】（1）设直线BC的解析式为 ，把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入，即可求解； （3）①将抛物线解析式化为顶点式，即可求解； ②根据抛物线的顶点式，可得当 时，有最大值4，再由二次函数的增减性，即可求解； （4）设点 ，则，可得，即可求解． 【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为 ； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴抛物线所对应的函数解析式为 ； （3）①， ∴点 ； ②∵ ， ∴当 时，有最大值4， ∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， ∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5； （4）设点 ，则， ∴ ， ∴当 时， 的值最大，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式训练1】．如图，抛物线与轴交、两点，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求抛物线及直线AC的函数表达式； (2)若P点是线段AC上的一个动点，过P点作轴的平行线交抛物线于F点，求线段PF长度的最大值． 【答案】(1)，y=﹣x﹣1 (2) 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式． （2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值． 【详解】（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 将C点的横坐标x=2代入，得y=-3， ∴C（2，-3）； 设直线AC的解析式为， 把点A（﹣1，0），C（2，-3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1； （2）解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P（x，﹣x﹣1），F（x，）； ∵P点在E点的上方， ∴PF=（﹣x﹣1）﹣（）=， ∴当x= 时，PF的最大值为． 【点睛】此题考查了一次函数、二次函数解析式的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 【变式训练3】．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D．    (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)设点，求使的值最小时m的值； (3)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)抛物线为，直线AC为 (2) (3)的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 类型二、周长最值 例．如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点．    (1)求的值和抛物线顶点的坐标； (2)在轴上求一点，使的周长最小． 【答案】(1)，顶点的坐标是 (2)点的坐标为 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可求解； （2），因为定值，故求的最小值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线顶点的坐标是. （2）解：∵，为定值 ∴当的值最小时，的周长最小 如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，点即为所求.    设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为. ∴点的坐标为. 【点睛】本题考查抛物线与图形周长问题．将“的周长最小”转化为“的值最小”是解题关键． 【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，已知点，，顶点在坐标原点的抛物线经过点B． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为，点P到点A的距离为，试说明； (3)将点B绕点A顺时针方向得到点C，抛物线上一动点P，当的周长有最小值时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式：，把代入即可得到k的值即可； （2）设P点坐标为，过P作轴于F，轴于H，则有，又，，在中，利用勾股定理得到，既有结论； （3）过点B作轴于E，过点C作轴于D，易证，得到，，得到C点坐标为，则 的周长，则的周长，要使最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式： ∵抛物线经过点， ∴，解得， 所以抛物线的解析式为：； （2）设P点坐标为，过P作轴于F，轴于H，如图， ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴； （3）解：过点B作轴于E，过点C作轴于D，如图， ∵点B绕点A顺时针方向旋转得到点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴C点坐标为；作直线，过C点作的垂线，交抛物线于P点，则 P即为所求的点． ∵，， ∴， ∴的周长， 要使最小，则C、P、H三点共线， ∴此时P点的横坐标为3，把代入，得到， 即P点坐标为． 【点睛】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短． 【变式训练2】．已知抛物线与x轴交于和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点M坐标及四边形ABMC的面积； (3)若点P是对称轴上一点，求当△APC周长最短时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)（1，2） 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据，即可求解； （3）连接BC与对称轴交于点P，连接AP，当B、P、C三点共线时，PA+PC有最小值，此时△APC周长最短，直线BC与对称轴的交点即为所求点P． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把点C（0，3）代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴点M的坐标为（1，4）， 如图，过点M作MN⊥x轴于点N，则点N的坐标为（1，0）， ∵B（3，0）， ∴BN=2，MN=4，ON=1， ∵点，C（0，3）， ∴OC=3，OA=1， ∴，，， ∴； （3）解：连接BC与对称轴交于点P，连接AP， ∵A、B关于对称轴对称， ∴AP=BP， ∴PA+PC=PB+PC≥BC， 即当B、P、C三点共线时，PA+PC有最小值，最小值为BC的长，此时△APC周长最短 设直线BC的解析式为y=kx+n， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为， 当x=1时，y=2， ∴点P的坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）． (1)求此抛物线的解析式和对称轴． (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝ (2)存在，P的坐标为（，﹣） 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， ∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得： 解得：    ∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2． ∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣ ∴抛物线的对称轴为x＝ ． （2）解：存在，理由如下： 连接PB 由抛物线的对称性得：PA＝PB ∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC， ∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小， 即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入， 得，解得：， 即直线BC的解析式为y＝x﹣2． 令x＝，则有y＝﹣2＝﹣， 即点P的坐标为（，﹣）． ∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 类型三、面积最值 例．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的总和运用，待定系数法求解析式，面积问题； （1）由一次函数的解析式可求出点和点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出和的值，即得出抛物线解析式； （2）过作轴，交直线于，设，，则，，则可用表示出的长，最后利用三角形面积公式即可求出的值，再利用二次函数的性质即得出答案； 【详解】（1）当时，， ， 当时，， 解得：， ， 把和代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： ； （2）如图，过作轴，交直线于， 设，则，， ， ， ， 有最大值，此时； 【变式训练1】．如图，二次函数的图象交轴于点、、交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点、交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)面积最大值为，此时点 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题，掌握点的坐标－线段长度－图形面积的转化是解决第二问的关键． （1）由对称轴可得点的坐标，再由二次函数的交点式即可求解； （2）设点，求出直线的解析式，可分别得出，根据即可建立函数关系式求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，对称轴是直线， ∴点的坐标为， ∴二次函数的解析式为： （2）解：令，则 ∴点的坐标为 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点， 则 ∴ ∵， ∴当时，面积最大，最大值为， 此时点 【变式训练2】．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合． （1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，作轴交于点，    设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， ∴，解得， ∴， ∴设点的坐标为，的坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积取得最大值，此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 【变式训练3】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点P作轴交于点H，则，可得当最大时，S最大，根据题意可以得到直线的函数解析式，然后设点P的坐标为，则点H的坐标为，利用二次函数的性质可以得到的最大值，以及此时点P的坐标． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，    ∵， ∴点D的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点P作轴交于点H，则，    ∴当最大时，S最大， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点H的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 类型四、区间范围内最值 例．函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对称轴，根据二次函数的性质进行计算即可． 【详解】解：中， 对称轴， 故在对称轴处求出最小值，当时，， 当时，， 时，， 故选C． 【变式训练1】．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 【变式训练2】．当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，． 当时，函数有最小值15， 或， 或， 故选：A． 【变式训练3】．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则a的值为（    ） A．1或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】依据题意，由，故抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向下，又当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，进而分类讨论计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向下． ①当时，即， ∵时，y随x的增大而增大， ∴当时，取最小值为； 当时，取最大值为； 又∵， ∴ ∴，不合题意． ②当时， ∵时，y随x的增大而减小， ∴当时，取最大值为； 当时，取最小值为； 又∵， ∴， ∴，不合题意． ③当时，即. ∴当时，取最大值为 若当时，取最小值为； ∴， ∴（舍去）或． 当时，取最小值为； ∴， ∴， ∴（舍去）或． 综上，或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C， 其中A点的坐标是， C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)求出点B的坐标以及的面积； (3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点A，C代入解析式中即可得到抛物线的解析式； （2）解即可求出B点坐标，的高是C点的纵坐标，计算结果即可． （3）因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时D点就是与抛物线对称轴的交点．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求出交点． 【详解】（1）（1）将代入y=ax2+bx+3中得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：令 解得 ∴点B的坐标． ∴ ∴的面积． （3）设直线的解析式为 将代入得 解得 ∴直线AC的解析式为 抛物线的对称轴为 因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时P点就是与抛物线对称轴的交点． 当时， ∴点P的坐标为 ∴抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）． (1)求该二次函数的表达式； (2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，G的坐标为或． 【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求． （2）先求线段所在的直线解析式，求利用点到直线的公式，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求． 【详解】（1）依题意，设二次函数的解析式为 将点B代入得，得 ∴二次函数的表达式为： （2）存在点G， 当点G在x轴的上方时，设直线交x轴于P，设P（t，0），作于E，于F． 由题意：， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴直线DG的解析式为， 由， 解得或， ∴G． 当点G在x轴下方时，如图2所示， ∵ ∴当点G在的延长线上时，存在点G使得， 此时，的直线经过原点，设直线的解析式为， 将点D代入得， 故， 则有 整理得，， 得（舍去）， 当时，， 故点G为． 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）已知在直线上，可求得的值，抛物线图象上的、两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标， （3）可设出点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出、的纵坐标，进而得到关于与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： （3）解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A和点D坐标，再根据解析求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴二次函数的解析式为：； （2）解：将配方得顶点式 ∴顶点， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴． 5．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题． （1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图像上点的坐标特征求得点的横坐标即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴ ∴． 令，则， ∴．              ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，以及三角形面积公式等知识点． 6．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴交x轴于点D，交直线于点，连接，，，与直线交于点F．        (1)求A，B，C三点的坐标及直线的函数表达式； (2)当的面积等于面积的时，求点P的坐标； 【答案】(1)，，，直线的函数表达式为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，两点之间的距离，用到了三角形相似和方程思想， （1）对于函数，分别令，求，，三点的坐标，利用待定系数法求直线的函数表达式； （2）过作轴，由平行得到，根据相似的性质和得到，再结合两点之间距离建立方程求点； 【详解】（1）解：当时，， ， 令得或， ，， 设直线为，代入 得，， ，，， 直线的函数表达式为； （2）过作轴交于点，    轴， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， 或， ，， 点的坐标为； 7．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，设垂直于墙的一边为，矩形场地的面积为    (1)S与x的函数关系式为 ，其中x的取值范围是 ； (2)当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值． 【答案】(1)， (2)，宽是，矩形场地面积的最大值是 【分析】（1）由，可得出，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式； （2）把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵墙长10米， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时，S最大是50， 此时， 答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是，宽是，矩形场地面积的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是利用矩形的面积公式，找出S关于x的函数关系． 8．张大爷要围城一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另一边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式 (2)当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值是128平方米 【分析】（1）设边的长为米，则，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ． （2）， 有最大值． 时，有． 则当时，有最大值，最大值是128平方米． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．已知抛物线与轴交于、两点，其中点在点的右侧，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)点为抛物线上一点且在第一象限内，求面积的最大值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）在中，令，即可解得，； （2）过作轴交于，由得，设直线为，用待定系数法可得直线为，设，则，可得，由二次函数性质即得面积的最大值． 【详解】（1）解：在中，令， 得， 解得或， ，； （2）过作轴交于，如图：    在中，令得， ， 设直线为，将代入得：， ， 直线为， 设，则， ， ， ， 当时，最大为； 面积的最大值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是掌握二次函数最值的求法，能用坐标表示相应面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标； (2)过点作轴于点，连接．求面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，顶点的坐标为 (2)面积的最大值为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意先求出直线的解析式，设，则，用含的式子表示，，，根据，可得与的关系式，运用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴，解得，， ∴抛物线的函数解析式为， 将抛物线解析式变为顶点式得，， ∴顶点的坐标为． （2）解：抛物线的函数解析式为，、，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是线段上一个动点（不与、重合），， ∴设，则， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大面积，且最大面积为， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形面积的计算方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$