专题02 解析式确定的八种方法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题02 解析式确定的八种方法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、根据平移确定解析式 3 类型二、根据点的个数确定解析式 4 类型三、设顶点式确定解析式 5 类型四、设交点式确定解析式 5 类型五、根据旋转变换确定解析式 6 类型六、根据对称变换确定解析式 6 类型七、根据图像信息确定解析式 8 类型八、根据数量关系确定解析式 9 压轴能力测评 10 1. 二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2. 解析式的形式 （1） 顶点式 ， ， ， . （2）一般式 （3）交点式 y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是图像与x轴交点的横坐标。 3. 对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 4. 旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 类型一、根据平移确定解析式 例．将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】．将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3】．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 类型二、根据点的个数确定解析式 （1）顶点式 顶点在原点， ， ， . （2）知道三个一般的点：一般式 （3）知道图像与x轴交点的横坐标：交点式 y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是图像与x轴交点的横坐标。 例．抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【变式训练1】．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【变式训练2】．抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 【变式训练3】．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值． 类型三、设顶点式确定解析式 顶点在原点， ， ， . 例．已知抛物线过，顶点坐标为，求的值． 【变式训练1】．设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式． 【变式训练2】．已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【变式训练3】．已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 类型四、设交点式确定解析式 知道图像与x轴交点的横坐标：交点式 y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是图像与x轴交点的横坐标。 例．已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【变式训练1】．已知抛物线与轴交于、，且过点，求抛物线的解析式． 【变式训练2】．已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【变式训练3】．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 类型五、根据旋转变换确定解析式 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 例．在平面直角坐标系中，把抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得的抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】．抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 类型六、根据对称变换确定解析式 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 例．把函数的图象关于直线对称后为函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【变式训练1】．已知二次函数的图象过点A（1，0）且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式为 ． 【变式训练2】．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=﹣1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x的图象上，则这个二次函数的表达式为 　． 【变式训练3】．已知二次函数的图象过点，且关于直线对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式）． 类型七、根据图像信息确定解析式 例．如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________． 【变式训练1】．如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______． 【变式训练2】．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【变式训练3】．如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象，直接写出不等式的解集. 类型八、根据数量关系确定解析式 例．画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． x … 0 2 4 5 … y … 　　　　　 4 　　　 … 【变式训练1】．在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． (1)完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________； (2)若，则的取值范围是________； (3)若，则的取值范围是________． 【变式训练2】．观察如图的表格： 0 1 2 ________ 1 ________ 3 ________ 3 （1）求、、的值．并在表内的空格中填上正确的数； （2）设，求这个二次函数的图象的对称轴与顶点坐标． 【变式训练3】．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下所示，相应图象如图所示，结合表格和图象回答下列问题： … ﹣3 ﹣1 0 3 … … ﹣7 8 … （1）抛物线的对称轴是直线______； （2）求二次函数的解析式； （3）当方程有解时，求的取值范围． 1．下在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后经过点和点，则所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为 ． 3．如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是 ． 4．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：   x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 … （1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；     （2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值. 5．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若将该抛物线绕原点旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线函数表达式． 6．抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 7．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 8．如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    9．已知抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点，求抛物线的解析式． 10．抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点纵坐标是，确定二次函数的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解析式确定的八种方法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、根据平移确定解析式 3 类型二、根据点的个数确定解析式 5 类型三、设顶点式确定解析式 7 类型四、设交点式确定解析式 9 类型五、根据旋转变换确定解析式 11 类型六、根据对称变换确定解析式 12 类型七、根据图像信息确定解析式 15 类型八、根据数量关系确定解析式 18 压轴能力测评 22 1. 二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2. 解析式的形式 （1） 顶点式 ， ， ， . （2）一般式 （3）交点式 y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是图像与x轴交点的横坐标。 3. 对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 4. 旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 类型一、根据平移确定解析式 例．将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，抛物线的平移法则“将抛物线向左（或右）平移个单位长度，再向上（或向下）平移个单位长度所得新抛物线的解析式为：，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减）”是解答本题的关键． 先将抛物线的解析式配方，再根据“抛物线的平移法则”进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的解析式为：， 故选：D． 【变式训练1】．将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 由平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为， 即， 故选：A 【变式训练2】．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是， 故选：A． 【变式训练3】．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 类型二、根据点的个数确定解析式 （1）顶点式 顶点在原点， ， ， . （2）知道三个一般的点：一般式 （3）知道图像与x轴交点的横坐标：交点式 y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是图像与x轴交点的横坐标。 例．抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 【变式训练1】．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． （2）已知二次函数的图象经过点、和，求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式； （1）设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式； （2）设函数解析式为，把三点坐标分别代入，解方程组即可得到函数表达式． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为， 把点代入中，得：， 得：， 即， 化为一般式为：； （2）设函数解析式为， 把、和代入中，得：， 解得：， 即． 【变式训练2】．抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和点的坐标代入抛物线解析式，得到关于，的二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法即可得出，的值，进而得出抛物线解析式． 【详解】解：将点，代入， 得 解得： 抛物线的解析式为． 【变式训练3】．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出，从而得到抛物线解析式，把代入函数解析式中求解即可． 【详解】解∶设抛物线解析式为， 把 代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 把代入得， 解得． 类型三、设顶点式确定解析式 顶点在原点， ， ， . 例．已知抛物线过，顶点坐标为，求的值． 【答案】，， 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过， ， 解得， 抛物线的解析式为， ，，． 【变式训练1】．设抛物线过点，且顶点为，求抛物线的解析式． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线解析式的计算，设，把代入，确定a值即可． 【详解】∵抛物线过点，且顶点为， ∴设， ∴， 解得， 故抛物线解析式为或． 【变式训练2】．已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 【变式训练3】．已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把二次函数解析式设为顶点式，再把代入解析式中求解即可． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 类型四、设交点式确定解析式 知道图像与x轴交点的横坐标：交点式 y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是图像与x轴交点的横坐标。 例．已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意，设二次函数解析式为，将点代入，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【变式训练1】．已知抛物线与轴交于、，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把、、代入抛物线中，得到关于的三元一次方程组，解方程组即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：把、、代入中得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【变式训练2】．已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点代入利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线过点， ， 即， 得：， ， 把代入①得：， 抛物线的解析式为：． 【变式训练3】．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 类型五、根据旋转变换确定解析式 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 例．在平面直角坐标系中，把抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得的抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移和旋转，解题的关键是根据抛物线绕原点旋转得到新抛物线的表达式为，根据平移规律得出答案即可． 【详解】解：把抛物线绕原点旋转得到新抛物线的表达式为，根据抛物线的平移规律“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”可知，抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后得到的抛物线的表达式为：． 故选：C． 【变式训练1】．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键． 将函数图象绕其顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线绕顶点旋转180°后的图象的表达式为． 故选：B． 【变式训练2】．抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，通过了解经过平移、旋转或轴对称后过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小，所以不变，选出答案即可． 【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小，所以不变， 而D选项中，不可能是经过平移、旋转或轴对称得到， 故选：D． 【变式训练3】．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称可得旋转后的顶点坐标，且旋转后的开口方向相反，即可得旋转后的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上， 抛物线绕原点O旋转， 旋转后抛物线的顶点坐标为，开口向下， 旋转后抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到旋转后的对应顶点和开口方向是解题的关键． 类型六、根据对称变换确定解析式 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 例．把函数的图象关于直线对称后为函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的顶点坐标，再根据对称的特点求出对称后的函数顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴原函数顶点坐标为， ∴对称后的函数顶点坐标为， ∵关于直线对称后的函数图象，形状不发生变化，开口方向相反， ∴对称后的函数图象为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确求出变换后的函数顶点坐标是解题的关键． 【变式训练1】．已知二次函数的图象过点A（1，0）且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据对称轴公式可以解出b的值，再将A点坐标代入原式即可解出答案． 【详解】对称轴公式：                  解得：b=﹣4 将A（1,0）代入，得 0=1－4＋c       解得：c=3 ∴二次函数的解析式为： 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，熟记对称轴公式是解题关键． 【变式训练2】．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=﹣1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x的图象上，则这个二次函数的表达式为 　． 【答案】y=x2+x﹣ 【分析】利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,求出A和B的坐标,再根据顶点坐标在y=2x的图象上，将x=1代入即可求出顶点坐标,设顶点式即可求出二次函数表达式. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=﹣1对称，且AB=6， ∴A（-4,0）,B（2,0）,顶点横坐标为-1, 又∵顶点在函数y=2x的图象上， ∴将x=1代入,得y=2,即顶点坐标为（-1,-2） 设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2,代入A（-4,0）,得a=, 即y=(x+1)2-2=x2+x﹣ 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,中等难度,根据对称轴找到顶点坐标和与x轴的交点坐标是解题关键. 【变式训练3】．已知二次函数的图象过点，且关于直线对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式）． 【答案】只要写出一个可能的解析式 【详解】根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系和对称轴公式x="-" 可知． 解：依题意有c2+bc+c=0（1），b=-4a=-4（2） （1）（2）联立方程组解得b=-4，c=0或3 则二次函数的解析式为y=x2-4x或y=x2-4x+3． 待定系数法是一种求未知数的方法．一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值． 类型七、根据图像信息确定解析式 例．如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的解析式、函数的增减性，解题的关键会用顶点式求得二次函数的解析式． （1）先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点求得函数的解析式； （2）先求得、和时的函数值，然后结合函数的增减性得到的取值范围． 【详解】（1）根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得， 解得：， ． （2）当时，；当时，； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故答案为： 【变式训练1】．如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察函数图象，即可得出结论． 【详解】（1）将，代入中得： ，解得：， ∴该二次函数的表达式为． （2）如图：抛物线开口向上， 当时，； 当时，； ∴观察图象得，当时，． 【变式训练2】．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．利用待定系数法，列出三元一次方程组进行计算即可． 【详解】设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，依题意，得 ， ， 得 【变式训练3】．如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象，直接写出不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题： （1）先根据，求出B点的坐标，再把B点的坐标，代入，即可作答． （2）求出点C坐标，根据一次函数与二次函数的交点坐标，结合图象，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于两点 ∴，则 ∴ ∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. ∴把和代入 得 解得 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 结合图象，的解集为 类型八、根据数量关系确定解析式 例．画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． x … 0 2 4 5 … y … 　　　　　 4 　　　 … 【答案】见解析， 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解决问题的关键．由表格中的对应值得当时，，当时，，然后将其代入二次函数中求出a，b的值可得该二次函数的解析式，然后再分别求出当时，时对应的y的值即可． 【详解】解：由表格中的对应值可知：当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， ∴当时，，当时，， 填表如下： x … 0 2 4 5 … y … 0 4 0 … 【变式训练1】．在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． (1)完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________； (2)若，则的取值范围是________； (3)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或． 【分析】（）用待定系数法求出函数表达式即可； （）函数的大致图象和二次函数的性质，观察函数图象即可求解； （）函数的大致图象和二次函数的性质，观察函数图象即可求解； 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题的关键是通过表格求出二次解析式，掌握二次函数的图象及其性质． 【详解】（1）由表格可得，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则顶点坐标为， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）如图，    ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∵时，有最小值，则；时，， ∴当，的取值范围是， 故答案为：； （3）∵图象经过点，对称轴为直线， 由（）可知图象开口向上， ∴若，则的取值范围是或 故答案为：或． 【变式训练2】．观察如图的表格： 0 1 2 ________ 1 ________ 3 ________ 3 （1）求、、的值．并在表内的空格中填上正确的数； （2）设，求这个二次函数的图象的对称轴与顶点坐标． 【答案】（1）表格中的数为：0，4，2；a，b，c的值分别是：1，-2，3；（2）对你轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）先把，代入中求出a，在计算自变量是0、2所对应的函数值，把，和，代入函数解析式得到方程，即可求解； （2）把很一般式配成顶点式求解即可； 【详解】解：（1）当，时，，则， 当时，；当时，； 把，和，分别代入得，解得，， 、、的值分别为1，-2，3， 当时，； 故答案为0，4，2； （2）， 所以这个二次函数的图象的对你轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，准确分析计算是解题的关键． 【变式训练3】．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下所示，相应图象如图所示，结合表格和图象回答下列问题： … ﹣3 ﹣1 0 3 … … ﹣7 8 … （1）抛物线的对称轴是直线______； （2）求二次函数的解析式； （3）当方程有解时，求的取值范围． 【答案】（1）1；（2）；（3）. 【分析】（1）由相同纵坐标的两个点中，两横坐标对应、，得对称轴； （2）由抛物线图和表格得三个点坐标分别为，代入可解得. （3）由第（2）小题解得，代入并化方程为，根据判别式可得的取值范围. 【详解】（1）由对称轴性质纵坐标相等从表格中找出两坐标点可得对称轴. （2）由抛物线图和表格中找出满足的解析式, 代入可得：, 解得上面方程组可得：， 代入即得二次函数的解析式为. （3）由第（2）小题得， 代入， 得， ， 要使上式有解，即， ， ， . 【点睛】用代入法求二次函数解析式，得用判别式来解决一元二次方程根问题. 1．下在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后经过点和点，则所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设二次函数的图像平移后得到的解析式为：，代入和点，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：二次函数的图像平移后得到的解析式为：， ∵经过点和点 ∴ 解得 ∴二次函数的图像平移后得到的解析式为： 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为 ． 【答案】y＝﹣（x+1）2﹣2 【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a的值，进而得平移后抛物线的函数表达式． 【详解】由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2）， 设平移后函数的解析式为， ∵所得的抛物线经过点（0，﹣3）， ∴﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1， ∴平移后函数的解析式为， 故答案为． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。 3．如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y=x2﹣2x+3． 【详解】试题分析：设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值． 解：设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1+b， 把A（0，3）代入，得 3=﹣1+b， 解得b=4， 则该函数解析式为y=x2﹣2x+3． 故答案是：y=x2﹣2x+3． 考点：二次函数图象与几何变换． 4．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：   x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 … （1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；     （2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值. 【答案】（1）b=－2，c=5，n=6；（2）y的最大值是5 【分析】（1）把（﹣2，5）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值； （2）利用表中数据即可求解． 【详解】（1）根据表格数据可得 ，解得， ∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5， 当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6； （2）根据表中数据二次函数y=﹣x2﹣2x+5的对称轴为直线x=－1，开口向下， ∴当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴当x=0时，y有最大值5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识，解题的关键是表格中对应数据代入，得到方程组． 5．已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若将该抛物线绕原点旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线函数表达式． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4．（2）y＝（x+1）2-4．. 【分析】根据函数的顶点坐标设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，再把B的坐标代入计算即可. 若将该抛物线绕原点旋转180°，求旋转后抛物线的关系式，把二次项系数的符号该变即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把点（0，3）代入得a+4＝3， 解得：a＝﹣1，∴这个二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4． （2）y＝（x+1）2-4 【点睛】本题考查函数的关系式，熟练掌握计算法则是解题关键. 6．抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数待定系数法，将和代入解出即可求出． 【详解】解：将和代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为． 7．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，依据题意，设二次函数的解析式为，然后将，代入解析式，再结合对称轴是直线，求出a，b，c即可得解． 【详解】解：由题意，设二次函数的解析式为， 又抛物线过，，对称轴是直线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为 8．如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    【答案】； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为， ∵， ∴， 把点C坐标代入中，得， ∴， ∴， 化为一般式为：； ∵， ∴， 由勾股定理得：． 9．已知抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式及一次函数的定义，先求出，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 将，代入， 则， 解得：， 抛物线的解析式为：． 10．抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点纵坐标是，确定二次函数的解析式． 【答案】解析式为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求解即可，解题的关键熟练掌握相关知识的应用． 【详解】由题意得抛物线过，，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$