第2章 解直角三角形（能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册单元测试定心卷（青岛版）

第2章 解直角三角形（能力提升） 数学问卷（原卷版） 本试卷共8页。满分120分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号。 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）等于（    ） A． B． C． D．1 2．（本题3分）在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，则4cosB等于（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（本题3分）已知点A（-1，），O为坐标原点，连接OA．将线段OA绕点O按逆时针方向旋转得到线段，则点的坐标为(    ) A．， B．， C．， D．， 4．（本题3分）如图，在中，，若，则的长为（    ） A．8 B．12 C． D． 5．（本题3分）如图，为一边上的任意一点，于点，那么（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3:1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡顶E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（　　） A．151.1米 B．168.7米 C．171.6米 D．181.9米 7．（本题3分）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED=60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：，） A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.4 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）    A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=4，A（0，a），B（b，0），点C在第四象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（　　）    A．（4a+b，4b） B．（2a+2c，﹣8c﹣8a） C．（﹣b﹣4c，4b） D．（2a﹣2c，﹣8c﹣8a） 10．（本题3分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若为锐角，，则 ． 12．（本题3分）已知则 ． 13．（本题3分）已知等腰三角形的腰长为，底边长为，则底角的正切值为 . 14．（本题3分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为，若迎水坡宽度AC的长为米，则堤高BC的长为 ． 15．（本题3分）在Rt中，，为的中点，，，，则 ． 16．（本题3分）如图，点E是正方形对角线所在直线上一点，点F在的延长线上，连接，过点E作交的延长线于点G，连接并延长交的延长线于点P．若，，当时，则线段的长是 ． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）求下列直角三角形中字母所表示的值． 18．（本题6分）已知在△ABC中，∠C= 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=，c=，解这个直角三角形。 19．（本题8分）已知小光家住在楼高30米的楼上，他从楼顶测得旗杆顶端的俯角是60°，他又从离地面5米的窗口处测得旗杆顶端的仰角是45°，求旗杆的高度. 20．（本题8分）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点距离桥面的高度，他们在桥面上选取了一个测量点测得点的仰角为26.6°，然后他们沿方向移动40m到达测量点（即），在点测得点的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点距离桥面的高度．[参考数据：，，，，，] 21．（本题10分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的顶点上，使∠BAC＝90°，tan∠ACB＝； （2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的顶点上，连接CD、BD，使△BDC是锐角等腰三角形，直接写出∠DBC的正切值． 22．（本题10分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米. (1)求篮板底部支架与支架所成的的度数． (2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，） 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A的坐标为，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）． (1)求B点的坐标及∠AOC度数； (2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（） ①当，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（    ） A．    B．    C．    D． ②当时，直接写出S与t的函数表达式； (3)在题（2）的条件下，是否存在某一时刻，使得△OMN的面积与菱形OABC的面积之比为．如果存在，直接写出t值；如果不存在，请说明理由． 24．（本题12分）发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转． （1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长． （2）如图3，小亮旋转正方形AEFG，点E在DA的延长线上，连接BF、DF．当FG平分∠BFD时，请你帮他求a：b及∠FBG的度数． （3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$第2章 解直角三角形（能力提升） 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] 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【分析】如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E．解直角三角形求出A′E，OE即可． 【详解】如图，作AH⊥x轴于H，作A′E⊥x轴于E． ∵A（-1，）， ∴OH=1，AH=， ∴tan∠AOH==， ∴∠AOH=60°，∠OAH=30°， ∴OA=OA′=2OH=2， ∵∠AOA′=30°， ∴∠A′OE=30°， ∴A′E=OA′=1，OE=A′E=， ∴A′（-，1）， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化，解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．（本题3分）如图，在中，，若，则的长为（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形 【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC. 【详解】解：∵sinB==0.5， ∴AB=2AC， ∵AC=6， ∴AB=12， ∴BC==， 故选C. 【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长. 5．（本题3分）如图，为一边上的任意一点，于点，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得为直角三角形，再利用直角三角形中，锐角的正切值等于对边比上邻边即可得到答案． 【详解】 在中， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，解题关键是熟练掌握直角三角形中，锐角的正切值等于对边比上邻边． 6．（本题3分）如图所示，小明所住高楼AB高为100米，楼旁有一座坡比为3:1的山坡CE，小明想知道山坡的高度，于是小明来到楼顶B俯视坡底C，测得俯角为45°，仰视坡顶E，测得仰角为27°，请根据小明提供的信息，帮小明求出斜坡CE的高度ED的值．（结果均精确到0.1米．参考数据：sin27°≈0.45，cos37°≈0.89，tan27°≈0.51）（　　） A．151.1米 B．168.7米 C．171.6米 D．181.9米 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】作BH⊥ED于H，设EH＝x米，根据直角三角形的性质用x表示出AC，根据坡度的概念用x表示出CD，根据正切的定义列式计算即可． 【详解】作BH⊥ED于H， 则四边形BADH为矩形， ∴DH＝AB＝100，BH＝AD， 设EH＝x米，则ED＝（x+100）米， ∵∠ACB＝45°， ∴AC＝AB＝100， ∵山坡CE的坡比为3：1， ∴CD＝， ∴BH＝AD＝100+， 在Rt△BHE中，tan∠EBH＝，即≈0.51， 解得，x≈81.93， 则ED＝x+100＝181．93≈181.9， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（本题3分）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED=60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：，） A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.4 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG=EF，EG=BF，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=DE=4，DF=4，得到CF=CD+DF=4+4，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】解：过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F， 则BG=EF，EG=BF， ∵∠CDE=150°， ∴∠EDF=30°， ∵DE=8， ∴EF=DE=4，DF=4， ∴CF=CD+DF=4+4， ∵∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴AB=BC， ∴GE=BF=AB+4+4，AG=AB-4， ∵∠AED=60°，∠GED=∠EDF=30°， ∴∠AEG=30°， ∴， 解得：AB=14+6≈24.4， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点C作轴，垂足为D，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=4，A（0，a），B（b，0），点C在第四象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（　　）    A．（4a+b，4b） B．（2a+2c，﹣8c﹣8a） C．（﹣b﹣4c，4b） D．（2a﹣2c，﹣8c﹣8a） 【答案】B 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形 【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．证明△ABO≌△AFO（ASA），则OB=OF，由△CBH∽△BAO，推出=4，推出BH=4a，CH=﹣4b，推出C（b+4a，4b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出，推出FH=﹣4c，可得C（﹣b﹣4c，4b），因为﹣b﹣4c = b+4a，推出b=﹣2a﹣2c，可得C（2a﹣2c，﹣8a﹣8c），由此即可判断； 【详解】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．    ∵y轴平分∠BAC， ∴∠BAO=∠FAO， ∵∠ABO=∠AOF=90°，AO=AO， ∴△ABO≌△AFO（ASA）， ∴OB=OF， ∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO， ∵∠CHB=∠AOB=90°， ∴Rt△CBH∽Rt△BAO， ∴， ∵tan∠BAC==4，A（0，a），B（b，0）， ∴BO=-b，AO=a， ∴， ∴BH=4a，CH=﹣4b， ∴C（b+4a，4b）， ∵△ABO≌△AFO， ∴∠ABO=∠AFO=∠CFH， ∵∠DBO+∠ABO=90°，∠DBO +∠BDO=90°， ∴∠ABO=∠BDO， ∴∠BDO=∠CFH， ∴Rt△CHF∽Rt△BOD， ∴， ∴， ∴FH=﹣4c， ∴C（﹣b﹣4c，4b）， ∵C（b+4a，4b）， ∴﹣b﹣4c = b+4a， ∴b=﹣2a﹣2c， ∴C（2a﹣2c，﹣8a﹣8c）， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 10．（本题3分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、利用矩形的性质证明 【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根据特殊角的锐角三角函数值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，从而可证得△ABO是等边三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小题即可作出判断． 【详解】根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误，不符合题意； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， ∵AD=，AB=1， ∴tan∠ADB=， ∴∠ADB=30°， ∴∠ABO=60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO， ∴AO=BO， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF=45°， ∵AD//BC， ∴∠DAF=∠AFB， ∴∠BAF=∠AFB， ∴AB=BF， ∵AB=BO， ∴BF=BO，故②正确，符合题意； ∵∠BAO=60°，∠BAF=45°， ∴∠CAH=15°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEO=90°， ∵∠EOC=60°， ∴∠ECO=30°， ∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH， ∴AC=CH，故③正确，符合题意； ∵△AOB是等边三角形， ∴AO=OB=AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AB=CD， ∴DC=OC=OD， ∵CE⊥BD， ∴DE=EO=DO=BD， ∴BE=3ED，故④正确，符合题意； ∴正确的有3个， 故选C． 【点睛】本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若为锐角，，则 ． 【答案】30 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据“”即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：30． 12．（本题3分）已知则 ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据，进而求得． 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 13．（本题3分）已知等腰三角形的腰长为，底边长为，则底角的正切值为 . 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值． 【详解】解：设，    过A点作，垂足为D， 由等腰三角形的性质可知，， 在中，由勾股定理，得， 所以，， 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 14．（本题3分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为，若迎水坡宽度AC的长为米，则堤高BC的长为 ． 【答案】4 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为，即 ∴，即 ∴BC=4 故答案为：4 【点评】：本题考查了坡度坡角问题，正确理解坡度坡角的定义是解题的关键． 15．（本题3分）在Rt中，，为的中点，，，，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，需要熟练掌握直角三角形中的相关性质与定理． 根据题意证出，进而设出和的值，再结合勾股定理求出的值，再根据斜中定理求出和的值，结合和的值求出和的值，相减即可得出答案． 【详解】， ， ， ， ， 设，则， ，则， 是Rt斜边上的中点， ，即， 则，， ． 16．（本题3分）如图，点E是正方形对角线所在直线上一点，点F在的延长线上，连接，过点E作交的延长线于点G，连接并延长交的延长线于点P．若，，当时，则线段的长是 ． 【答案】10或 【知识点】四点共圆、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由正方形够够的性质，得出、、四点共圆，进而可证是等腰直角三角形，再证明，得到，分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在的延长线上时，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ，且和为弦同一侧圆周角， 、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ①当点在线段上时，如图，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在的延长线上时，如图，过点作于点， 同理可得，，， ， ， ， 综上可知，线段的长是10或， 故答案为：10或 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）求下列直角三角形中字母所表示的值． 【答案】（1），；（2）， 【知识点】三角函数综合 【分析】(1) 根据特殊角60三角函数关系便可求出a,b (2) 根据边的关系,边可以找到正切值，从而找到 【详解】(1)cos60    a= tan60      b=4 (2)tan= 【点睛】抓特殊角的三角函数关系，这样便可以顺利找到答案了. 18．（本题6分）已知在△ABC中，∠C= 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=，c=，解这个直角三角形。 【答案】，∠A=60°，∠B=30°. 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】先根据勾股定理求出b，再根据正弦函数的定义求出∠A的度数，由两锐角互余求出∠B的度数. 【详解】如图所示， 由题意可知BC=a=，AB=c=， 则AC=b=， ∵sinA=， ∴∠A=60° ∴∠B=90°-∠A=30° 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理和三角函数的定义以及特殊角度的三角函数值是解题的关键. 19．（本题8分）已知小光家住在楼高30米的楼上，他从楼顶测得旗杆顶端的俯角是60°，他又从离地面5米的窗口处测得旗杆顶端的仰角是45°，求旗杆的高度. 【答案】旗杆高为米. 【知识点】解直角三角形的应用 【分析】过作于，设，在中，利用正切函数，即可表示出AE的长，又由楼AB的高为30米，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：过作于， ∵，设 在中， 由题意得， , ∴（米） 答：旗杆高为米. 【点睛】本题考查仰角与俯角的定义．注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 20．（本题8分）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点距离桥面的高度，他们在桥面上选取了一个测量点测得点的仰角为26.6°，然后他们沿方向移动40m到达测量点（即），在点测得点的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点距离桥面的高度．[参考数据：，，，，，] 【答案】外拱塔的最高点距离桥面的高度为60m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出． 【详解】解：设， 在中，， ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∵， ∴即， 解得， 答：外拱塔的最高点距离桥面的高度为60m． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形． 21．（本题10分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的顶点上，使∠BAC＝90°，tan∠ACB＝； （2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的顶点上，连接CD、BD，使△BDC是锐角等腰三角形，直接写出∠DBC的正切值． 【答案】(1)见解析；（2）图见解析，∠DBC的正切值＝5 【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】（1）作∠BAC=90°，且边AC=3，才能满足条件； （2）根据△BDC是锐角等腰三角形即可确定点D的位置，作出图形即可. 【详解】解：（1）如图所示，Rt△BAC即为所求； （2）如图所示，△DEF和△BDC即为所求； ∠DBC的正切值=＝5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理．三角形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（本题10分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米. (1)求篮板底部支架与支架所成的的度数． (2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，） 【答案】(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°； (2)篮板底部点E到地面的距离约为2.2米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）在Rt△HEF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，根据题意易证四边形ABMG是矩形，从而得AB=GM，然后在Rt△AGF中求出FG，从而求出EG，最后在Rt△ABC中，求出AB，进行计算即可解答． 【详解】（1）∵EF⊥EH， ∴∠HEF=90°， 在Rt△HEF中，HF=米，HE=米， ∴ ∴∠FHE=45°， ∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°； （2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G， ∴∠AGM=∠AGF=90°， ∵ ， ∴FM⊥BC， ∴∠BMG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABMG是矩形， ∴AB=GM， ∵， ∴∠FHE=∠FAG=45°， ∴（米），（米）， ∴EG=FG-EF=（米）， 在Rt△ABC中，（米）， ∴GM=AB=（米）， ∴EM=EG+GM=（米）， ∴篮板底部点E到地面的距离为2.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A的坐标为，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）． (1)求B点的坐标及∠AOC度数； (2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（） ①当，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（    ） A．    B．    C．    D． ②当时，直接写出S与t的函数表达式； (3)在题（2）的条件下，是否存在某一时刻，使得△OMN的面积与菱形OABC的面积之比为．如果存在，直接写出t值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①C， ② (3)或者 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式 【分析】（1）、过点A、B作 ，分别交OC于D、E，利用菱形性质和矩形性质，可证得，即可求得； （2）、①分为两种情况进行讨论，分别画出图求解即可；②设直线MN交OC于H，求出直线BC解析式，进而表示出MN的长，即可求解； （3）、分三种情况分别进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：如图：过点A、B作 ，分别交OC于D、E， ∵点A的坐标为， ∴ ， ， ， ， ∵四边形OABC为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）①由题意可分为两种情况： 当 时，如图1所示： 由题意可得； ， ， ， ； 当时，如图2所示：过点A作 交OC于D， 则可得四边形ADNM为矩形， ， ， ， 故S与t的函数关系的图象为C选项； 故选C； ②当时，如图3所示：设直线MN交OC于H， 则可知 ， ， ， 为矩形， ， 设直线BC解析式为： ， 将 代入得： ， 解得： ， ， ， ， ， ；   （3）存在， 菱形OABC的面积= ， ∵△OMN的面积与菱形OABC的面积之比为， ∴△OMN的面积为： ， ①当 时，可得 ， 解得： ，都不符合，所以都舍去； ②当时，可得 ， 解得： ，符合， ③当时，可得：， 化简得： ， 解得： ，（不符合，舍去）， 综上所述：当或者时，△OMN的面积与菱形OABC的面积之比为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的锐角三角函数值，面积公式，待定系数法求一次函数的解析式，函数的图像，分类讨论的方法等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 24．（本题12分）发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转． （1）如图2，小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转，连接BE、DG，当点G恰好落在线段BE上时，小亮发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG的长． （2）如图3，小亮旋转正方形AEFG，点E在DA的延长线上，连接BF、DF．当FG平分∠BFD时，请你帮他求a：b及∠FBG的度数． （3）如图4，BE的延长线与直线DG相交于点P，a=2b．当正方形AEFG绕点A从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P运动的路线长（用含b的代数式表示）． 【答案】（1）DG＝；（2）a∶b=，∠FBG=67.5°；（3） 【知识点】三角函数综合、旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质与判定证明 【分析】(1)如图2中,连接AF交BE于H,设DG交AB于O.由△DAG△BAE，推出∠ADO=∠GBO，DG= BE，由∠AOD=∠BOG 推出∠DAO=∠BGO= 90°，推出DG⊥BE，在Rt△AHE中，可得AH= EH=，在Rt△AHB中，可得BH= ，由此即可解决问题； (2)如图3中，连接AF，由tan∠BFG= =tan∠GFD=tan∠FDE= 可得a:b= ，由此推出AD= AF，可得∠FDA=∠DFA = 22.5°，由此即可解决问题； (3)如图4中，连接BD，取BD的中点O，连接OP、OA，由△DAG △BAE可得DG⊥BE ，推出∠DPB = 90°，由OD=OB=OD ，推出OP= OD= OB= OD ，可得点P在以BD为直径的圆弧上运动，当旋转角为0°时点P与A重合，∠ABE最大的位置为BE是⊙A的切线，此时∠ABE= 30°记此时点P的位置为，∠AO=60°，O=OA=b，在正方形AEFG绕点A逆时针方向由0°旋转到180°的过程中，点在弧AP上往返一次.由180°旋转到360°的过程，类似，由此即可解决问题， 【详解】（1）如图2中，连接AF交BE于H，设DG交AB于O点， ∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形， ∴AD=AB，AG=AE，∠DAB=∠GAE， ∴∠DAG=∠BAE， ∴△DAG≌△BAE， 在中， 在中， DG＝BE＝+． （2）如图3中，连接AF ∵ ∴， ∴a∶b=， ∵AF=，AD=， ∴AF=AD， ∴∠FDA＝∠DFA＝22.5°，∠FBG=67.5° （3）如图4中，连接BD,取BD的中点O，连接OP，OA 由△DAG≌△BAE可得DG⊥BE， 点P在以BD为直径的圆弧上运动．当旋转角为0°时，点P与A重合．∠ABE最大的位置为BE是⊙A的切线．此时∠ABE＝30°， 记此时点P的位置为P1，∠AOP1＝60°．OP1＝OA＝， 在正方形AEFG绕点A逆时针方向由0°旋转到180°的过程中，点P在弧AP1上往返一次．由180°旋转到360°的过程，类似． 所以路线长＝． 【点睛】此题属于综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，题型较难． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$