精品解析：河南省郑州市巩义市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

八年级 数学 上学期期末质量检测试卷 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的S识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算、合并同类项、完全平方公式等知识点，掌握相关运算法则即可求解； 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 4. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　） A. 十三边形 B. 十二边形 C. 十一边形 D. 十边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形． 依题意，得n﹣3=10， ∴n=13． 故这个多边形是13边形． 故选A． 考点：多边形的对角线． 【点睛】多边形有n条边，则经过多边形一个顶点所有的对角线有（n－3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n－2）个三角形． 5. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝（　　） A. 60° B. 28° C. 54° D. 72° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式先求出∠A的度数，再由BE⊥DE，BC∥DE可求得∠ABC，利用内角和定理得∠ACB，即可根据平行线性质求得∠α． 【详解】解：如图， ∵正五边形内角和为：（5－2）×180°＝540°， ∴∠A＝∠ABE＝540°÷5＝108°． ∵BE⊥DE，BC∥DE， ∴∠EBC＝90°，∠α＝∠ACB． ∴∠ABC＝108°－90°＝18°． ∴∠ACB＝180°－108°－18°＝54°． ∴∠α＝54°． 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形的内角和问题，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 6. 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点和点的一点，然后延长至，使，延长至，使，则，从而通过测量的长就可得到间的距离，其全等的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：在和中 ， ∴； 故选D． 7. 如图，若x为正整数，则表示1﹣的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的减法运算进行计算化简，然后取特殊值即可求解． 【详解】解：∵，且为正整数， 取时，， ∴表示1﹣的值的点落在段②， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，正确的化简是解题的关键是解题的关键． 8. 如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格可推出，据此即可求解； 【详解】解：由网格可知： ∴ ∴ ∴ 故选：C 9. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 10. 如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先过点作于点，然后根据角平分线的性质，证明，然后根据的面积的面积的面积的面积，求出答案即可． 【详解】如图所示：过点作于点， ，分别是和的角平分线，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，则______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方运算法则的逆用，有理数乘方． 逆用同底数幂的运算法则得到，逆用积乘方的运算法则得到，根据有理数乘方法则得到，即得． 【详解】 ． 故答案为：16． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ． 【答案】且 【解析】 【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， ， ， ，即， ， ， 的取值范围：且． 故答案为：且 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0． 15. 如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当______时，是等腰三角形．     【答案】或10 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【详解】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）分解因式： ① ② 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及因式分解，掌握相关运算法则是解题关键． （1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，即可求解； （2）①综合利用提公因式法和公式法即可求解；②综合利用提公因式法和公式法即可求解； 【详解】解：（1）原式 （2）分解因式： ① 原式 ② 17. 先化简，然后从，，，，中选一个合适的值代入求解． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分化简．把合适的a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 要使分式有意义，不能取，，或2， 只能取或3． 当时，原式； 当时，原式． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； （2）请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标______； （3）为轴上一点，当的值最小时，请在图中找出点，并写出点的坐标．（保留找点的作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，两点坐标，确定平面直角坐标系即可． （2）分别作出，，的对应点，，即可解决问题． （3）连接交轴于，连接，点即为所求作． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图所示： ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：点如图所示： ． 19. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点， （1）先由角平分线性质求出的度数，再根据外角与内角的关系得间关系，最后代入计算得结论； （2）先由三角形外角与内角的关系求出的度数，再由角平分线性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理得结论； 掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“三角形的内角和是”等相关知识是解决本题的关键． 【小问1详解】 ∵平分，， ∴． ∵是的外角，， ∴； 【小问2详解】 ∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题： （1）已知，则______． （2）若满足，求的值； （3）如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握公式的形式及变形是解题关键. （1）根据即可求解； （2）设，可得，据此即可求解； （3）设，则图中阴影部分的面积，据此即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：设． 由变形可得： 由题意可知： 即 【小问3详解】 解：设， 则图中阴影部分的面积 由题意得： ∵ ∴图中阴影部分的面积， 故答案为： 21. 课本上有如下探究活动： 探究 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 由上图可得，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们就得到定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 现在，我们交换上面定理题设和结论，得到下面的命题： 在直角中，，如果，那么． 请判断此命题的真假，若为真命题，请结合下图给出证明；若为假命题，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，延长至点，使得．连接，证明是等边三角形即可解决问题 【详解】答：此命题是真命题． 证明：延长至点，使得．连接， 是线段的垂直平分线 是等边三角形 22. 年是甲辰年，也就是龙年，在中国传统文化中，龙象征着吉祥、力量和独立．为庆祝龙年到来，某超市准备购买、两种伴手礼送给在春节当天进店购物的顾客．______，并且花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等．请先在横线上补充条件：从“①购买1个种礼品比购买1个种礼品多花元”和“②，两种礼品各购买1个共需元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题： （1）购买一个种礼品和一个种礼品各需要多少元？ （2）该超市准备购买，两种礼品共个，若种礼品的数量不少于种礼品数量的倍，并且购买，两种礼品的总费用不高于元，则该超市有哪几种购买方案？ 【答案】（1）种礼品每个元，种礼品每个元 （2）该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，能熟练的找到等量关系或不等关系进行列式是解题的关键． （1）购买一个种礼品需要元，分别根据选①或②得出购买1个种礼品费用，再利用“花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等”列式求解即可； （2）设购买种礼品个，则购买种礼品个，利用“种礼品的数量不少于种礼品数量的倍”和“购买，两种礼品的总费用不高于元”分别列式求解即可． 【小问1详解】 解：（1）若选①，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； 若选②，设购买一个种礼品需要元，则购买1个种礼品需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：种礼品每个元，种礼品每个元； 【小问2详解】 解：设购买种礼品个，则购买种礼品个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 或， 答：该超市有两种购买方案，方案①：购买种礼品个，种礼品个； 方案②：购买种礼品个，购买种礼品个． 23. 【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． 【问题提出】 （1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你结论； 【尝试探究】 （2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1），见解析；（2）点在运动过程中，的度数是个定值，不会发生变化；（3）当点的坐标为时，以为顶点的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质可得，再说明，可证，进而得出答案； 对于（2），根据等边三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据得出结论； 对于（3），，先根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得，即可得出以为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，然后根据直角三角形的性质得，进而得出答案． 【详解】（1）答：． 证明：都是等边三角形， ， ， 即， ， ； （2）点在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： 是等边三角形， ． ， ， ． 故：点在运动过程中，不变，； （3）， ． 又， ， ， 以为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰. 在中，， ， ， ． 当点的坐标为时，以为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解决本题时要结合等腰三角形的性质注意多种讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级 数学 上学期期末质量检测试卷 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　） A. 十三边形 B. 十二边形 C. 十一边形 D. 十边形 5. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝（　　） A. 60° B. 28° C. 54° D. 72° 6. 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点和点的一点，然后延长至，使，延长至，使，则，从而通过测量的长就可得到间的距离，其全等的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 7. 如图，若x为正整数，则表示1﹣值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 8. 如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与的和为（ ） A B. C. D. 9. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的平分线交于点，连接，过点作的面积是16，周长是8，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，则______． 12. 计算：______． 13. 如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为______． 14. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ． 15. 如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当______时，是等腰三角形．     三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）分解因式： ① ② 17. 先化简，然后从，，，，中选一个合适的值代入求解． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为； （2）请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标______； （3）为轴上一点，当的值最小时，请在图中找出点，并写出点的坐标．（保留找点的作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 20. 在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题： （1）已知，则______． （2）若满足，求的值； （3）如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分面积为______． 21. 课本上有如下探究活动： 探究 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 由上图可得，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们就得到定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 现在，我们交换上面定理的题设和结论，得到下面的命题： 在直角中，，如果，那么． 请判断此命题的真假，若为真命题，请结合下图给出证明；若为假命题，请说明理由． 22. 年是甲辰年，也就是龙年，在中国传统文化中，龙象征着吉祥、力量和独立．为庆祝龙年到来，某超市准备购买、两种伴手礼送给在春节当天进店购物的顾客．______，并且花费元购买种礼品和花费元购买种礼品的数量相等．请先在横线上补充条件：从“①购买1个种礼品比购买1个种礼品多花元”和“②，两种礼品各购买1个共需元”这两个条件中任选一个，补充条件后，再解答下列问题： （1）购买一个种礼品和一个种礼品各需要多少元？ （2）该超市准备购买，两种礼品共个，若种礼品的数量不少于种礼品数量的倍，并且购买，两种礼品的总费用不高于元，则该超市有哪几种购买方案？ 23. 【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． 问题提出】 （1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 （2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$