精品解析：2023年山东省东营市广饶县一模数学试题

二〇二三年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题 （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列运算正确的是（　　　）. A. B. C. （a+b）2 = a2 + b2 D. 2a2b - ba2 = a2b 3. 如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，两直角边与直线相交，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式与的值相等，则x的值为（　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或4 5. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为（ ） A B. C D. 6. 如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，，．则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（ ）． A B. C. D. 8. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（　　）平方米（接缝不计）． A. π B. 5π C. 4π D. 3π 9. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连结．下列结论：①；②；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11−14题每小题3分，15−18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. “天宫课堂”第三课于2022年10月12日在“天宫”空间站顺利开展，神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲面向广大青少年进行太空授课，“天宫”空间站在轨运行速度每小时约为28800千米，该速度用科学记数法可表示为______千米/时． 12. 因式分解________． 13. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的 30 名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是 _________分 ． 14. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 15. 如图，D为△ABC边AC上一点，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，连接ED．若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠ADE的度数为 _______． 16. 如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），M，N分别是BP，AB的中点．若AB= 4，∠APB= 30°，则MN长的最大值为__________． 17. 如图，正方形纸片ABCD的边长为24，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕 BF，点F在AD上，若DE＝10，则GE的长为_________ 18. 如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：•（1＋）÷，其中x＝2 20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为____度； （2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； （3）李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率． 21. 如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 22. 如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度（结果用表示）． 23. 为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍． （1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 25. 【问题发现】 （1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ； 【类比探究】 （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二〇二三年初中学业水平模拟考试 九年级数学试题 （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列运算正确的是（　　　）. A. B. C. （a+b）2 = a2 + b2 D. 2a2b - ba2 = a2b 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的方法即可解答． 【详解】A.，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.（a+b）2 = a2 +2ab+ b2，故本选项错误； D.2a2b - ba2 = a2b，故本选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查二次根式、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项，解题的关键是熟知各知识的运算法则． 3. 如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，两直角边与直线相交，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可得，根据直角三角形两锐角互余，求得，根据对顶角相等即可求得． 【详解】如图， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，添加辅助角是解题的关键． 4. 若代数式与的值相等，则x的值为（　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 解得：或； 故选C． 5. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系是解题的关键． 6. 如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，，．则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项B，D正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项C错误，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】画树状图，如图所示： 随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种情况：闭合K1K2，闭合K1K3，闭合K2K1，闭合K2K3，闭合K3K1，闭合K3K2，能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况：闭合K2K3，闭合K3K2，则P(能让两盏灯泡L1、L2同时发光）＝ 故选：D． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键． 8. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做成这把遮阳伞需要布料的面积是（　　）平方米（接缝不计）． A. π B. 5π C. 4π D. 3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用扇形面积的计算方法即可求得圆锥的侧面积． 【详解】圆锥的底面周长=2πr=2π×2=4π， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积=lr=×4π×2.5=5π， 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长． 9. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的的范围即可，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当时，或， 故选：． 10. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连结．下列结论：①；②；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①首先由折叠的性质得到AD=AF，然后根据HL判定三角形全等的方法证明 即可； ②根据正方形的性质得到AB=CD=6，然后根据求出CE和DE的长度，设出GF=BG=x，在△GEC中根据勾股定理列方程求出GF和GC的长度即可求解； ③根据得出∠BGA=∠FGA，根据得出∠GFC=∠GCF，然后根据三角形外角的性质证明出∠FGA=∠GFC，即可证明出； ④连接BF，作FH⊥BC于点H，根据△GHF∽△GCE求出FH的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】∵将沿对折至， ∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°， ∴∠AFG=90°， ∴△AFG是直角三角形， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∴AB=AF， ∴在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴， ∴①正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=AB=6， 又∵， ∴DE=2，CE=4， ∵沿对折至， ∴EF=DE=2， 由①可知， ∴BG=FG， ∴设BG=GF=x，则GC=6-x，GE=x+2， ∴在Rt△GEC中，， 代入可得：， 解得：， ∴BG=GF=3，GC=BC-BG=6-3=3． ∴FG=CG． ∴②正确； 由②可知，FG=CG， ∴∠GFC=∠GCF， 又∵， ∴∠BGA=∠FGA， 又∵∠BGF=∠GCF+∠GFC， ∴∠FGA=∠GFC， ∴， ∴③正确； 如图所示，连接BF，作FH⊥BC于点H， ∵CD⊥BC，FH⊥BC， ∴FHCD， ∴可得△GHF∽△GCE， ∴， 代入得：， 解得：， ∴S△BFC=， ∴④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理的运用，三角形全等的证明等知识，解题的关键是根据折叠的性质得到AD=AF，ED=EF然后继续求解． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11−14题每小题3分，15−18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. “天宫课堂”第三课于2022年10月12日在“天宫”空间站顺利开展，神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲面向广大青少年进行太空授课，“天宫”空间站在轨运行速度每小时约为28800千米，该速度用科学记数法可表示为______千米/时． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：28800用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 12. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】先提出公因式，再利用平方差公式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时有公因式先提取公因式，然后再考虑用公式法因式分解． 13. 为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的 30 名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数是 _________分 ． 【答案】98 【解析】 【分析】根据众数的定义进行解答即可． 【详解】解：98 出现了 10 次，出现的次数最多，则众数是98分． 故答案为：98 ． 【点睛】此题考查了众数．解题的关键是掌握求众数的方法，众数是一组数据中出现次数最多的数． 14. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可； 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． 15. 如图，D为△ABC边AC上一点，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，连接ED．若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠ADE的度数为 _______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理可求得∠CAB的度数，再由题意可得∠AED=∠ADE，结合三角形的外角性质可得∠AED+∠ADE=∠CAB，从而可求解． 【详解】解：∵∠B=60°，∠C=70°， ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=50°， ∵以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E， ∴AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠AED+∠ADE=∠CAB， ∴∠ADE+∠ADE=50°， 解得：∠ADE=25°． 故答案为：25°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 16. 如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），M，N分别是BP，AB的中点．若AB= 4，∠APB= 30°，则MN长的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得MN=AP，即当AP为直径时，MN长最大，由直角三角形性质可求AP的长，即可求解． 【详解】解：∵M,N分别是AB，BP的中点 ∴ＭＮ=AP， 当AP为直径时，MN长最大， ∵AP为直径， ∴∠ABP=90°，且∠APB=30°，AB=4， ∴AP=8 ∴MN长的最大值为AP=×8=4 故答案为4. 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线性质，熟练运用圆周角定理是本题的关键． 17. 如图，正方形纸片ABCD的边长为24，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕 BF，点F在AD上，若DE＝10，则GE的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】设AE、BF交于点H．利用勾股定理即可求出AE的长．根据，，可证明，即易证，得出，即可求出AH的长度．再由折叠的性质即可求出AG长，最后利用，即可求出结果． 【详解】如图，设AE、BF交于点H． 在中，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 由折叠性质可知， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形相似的判定和性质．掌握判定三角形相似的方法是解答本题的关键． 18. 如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，特殊角度三角函数的求值，通过一次函数探索规律，根据题意写出，，，从而根据规律有，然后当代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵直线：， ∴当时，， ∴， ∴与轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 当时，， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：•（1＋）÷，其中x＝2 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算立方根、绝对值、特殊角的正切及负整数指数幂，再按照从左到右计算即可； （2）先将括号里转化成同分母分式相加，再把各个多项式分别分解因式，进行化简得到结果，再代入x的值进行分母有理化计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 当时，原式 【点睛】本题考查了实数的计算及分式的化简求值，涉及开立方、化简绝对值、特殊角的正切及负整数指数幂的运算和分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了_____名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为____度； （2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； （3）李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率． 【答案】（1）200，198 （2）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用选择蓝色的学生人数除以所占的百分比，求出总人数，利用“灰”所占的比例，进行求解即可； （2）用全校的人数乘以样本中“红”所占的比例，进行求解即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次调查一共随机采访学生（名）， 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：200；198； 【小问2详解】 （人）； 估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为人； 【小问3详解】 列表如下： A B C D A B C D 由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种， ∴恰好抽中A，B两人的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 21. 如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 22. 如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行，乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度（结果用表示）． 【答案】甲船的平均速度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，构造直角三角形，可得是含有角的直角三角形，是含有角的直角三角形，设，则，，，再根据时间相等即可求出甲船的速度，掌握直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意，得，， 设， ∴，，， ∵两船同时到达处海岛， ∴， ∴， ∴， 答：甲船的平均速度约为． 23. 为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍． （1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；（2）购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，利用“用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍”列方程求解即可； （2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，结合题目条件得到y的范围，并列出利润关于y的一次函数，运用一次函数的性质结合y范围即可求解． 【详解】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元， 由题意，得， 方程两边乘，得， 解得， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为． 故甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件， ∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍， ∴． ∴． 由题意，利润=-20y+4000， ∵， ∴W随y的增大而减小， ∴当时，W的最大值为元， ∴获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元． 【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数在实际问题中的应用.熟练运用一次函数的性质确定最大利润方案是解决本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标； （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求得的解析式，过作轴交于点，进而求得的长，根据求得的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时的值，进而求得点的坐标； （3）分当为平行四边形的对角线时， 当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴交于点， 在中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时 ∴； 【小问3详解】 解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设，， 当为平行四边形对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得： ， 解得（舍）或， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得： ， 解得（舍）或， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得： ， 解得或， ∴或； 综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25. 【问题发现】 （1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ； 【类比探究】 （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； 拓展延伸】 （3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 【答案】（1），（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，，进一步求得，即可得到答案； （2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案； （3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）和均为正三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， B、D、E三点共线， ， ， ， 综上所述，线段、之间的数量关系是，； 故答案为：，． （2），； 和均为等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， 又， ， ，， ， ， ，， ； （3）的长为或．理由如下： 分两种情况： ①如图1，当在内部时， ，，， ， ， 未旋转前， 为的中位线， ，，，， 图1中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 设 ，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ； ②如图2，当在外部时， 同①，得， 则，， 设 ，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$