广东省清远市清城区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年广东省清远市清城区九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x﹣y＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣3，﹣5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3） 4．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x＞2 5．（3分）下列从左到右的变形哪个是分解因式（　　） A．10x2﹣5x﹣1＝5x（2x﹣1）﹣1 B．3x+3y＝6xy C．﹣a+b＝﹣（b﹣a） D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 6．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA＝2，则BE＝（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（3分）下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（　　） A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AD∥BC C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，AD＝BC 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm 10．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＞0；②a＞0；③b＞0；④当x＜3时，kx+b＞x+a中，正确的是（　　） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11．（3分）不等式组的解集是　 　． 12．（3分）若关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值是 　 　． 13．（3分）分解因式：x5y2﹣x3y2＝　 　． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF＝α，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE．其中正确的是 　 　（写出正确结论的序号）． 三、解答题（16，17，18各8分） 16．（8分）解不等式组：． 17．（8分）先化简再求值：，再从2≤x≤4中选一个适合的整数代入求值． 18．（8分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB＝∠OBA． 四、解答题（二）：（每小题各9分，共27分） 19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm． （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接BD，求△ABD的周长． 20．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 21．（9分）媛媛爸爸销售A、B两种品牌的衣服，8月份第一周售出A品牌衣服3件和B品牌衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌衣服17件和B品牌衣服8件，销售额为4200元． （1）求A、B两种品牌衣服的售价各是多少元？ （2）已知8月份A品牌衣服和B品牌衣服的销售量分别为1000件、500件，9月份是衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，媛媛爸爸决定9月份将A品牌衣服和B品牌衣服的销售价格在8月份的础上分别降低m%，m%，9月份的销售量比8月份的销售量分别增长300件、100件．若9月份的销售额不低于233000元，求m的最大值． 五、解答题（三）：（每小题各12分，共24分） 22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证： （1）△ADF≌△ECF． （2）四边形ABCD是平行四边形． 23．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上点B在DF上． （1）求重叠部分△BCD的面积； （2）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM＝DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由； （3）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 2024-2025学年广东省清远市清城区九年级（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：B． 2．（3分）老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x﹣y＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个． 故选：C． 3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣3，﹣5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3） 【解答】解：将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（1+2，﹣2﹣3），即A′（3，﹣5）． 故选：C． 4．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x≠±2 D．x＞2 【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0， ∴x≠2， 故选：B． 5．（3分）下列从左到右的变形哪个是分解因式（　　） A．10x2﹣5x﹣1＝5x（2x﹣1）﹣1 B．3x+3y＝6xy C．﹣a+b＝﹣（b﹣a） D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 【解答】解：A、没把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故A错误； B、是整式的加法，且3x，3y不是同类项，不能合并，故B错误； C、是整式的添括号，且运算本身错误，故C错误； D、把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故D正确； 故选：D． 6．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC＝6，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠DEC， ∴CE＝DC， ∵BC＝6，BE＝2， ∴CD＝CE＝6﹣2＝4， 故选：C． 7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA＝2，则BE＝（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵DE⊥AB于点E，EA＝2， ∴∠DEA＝90°，∠DEB＝90°， ∴∠BAD＝60°，∠EDA＝30°， ∴AD＝2AE＝4， ∴AB＝2AD＝8， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6， 故选：C． 8．（3分）下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（　　） A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AD∥BC C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，AD＝BC 【解答】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，故本选项符合题意； D、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠A＝∠1＝∠2， ∵∠C＝90°， ∴∠A＝∠1＝∠2＝30°， ∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°， ∴CE＝DE＝3cm， 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°， ∴AE＝2DE＝6cm， 故选：C． 10．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＞0；②a＞0；③b＞0；④当x＜3时，kx+b＞x+a中，正确的是（　　） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、三象限， ∴k＜0，b＞0，所以①错误，③正确； ∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴a＜0，所以②错误； 当x＜3时，y1＞y2，即kx+b＞x+a所以④正确． 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11．（3分）不等式组的解集是　x＞4　． 【解答】解：， 由①得：x＞4， 由②得：x＞2， 不等式组的解集为：x＞4． 故答案为：x＞4． 12．（3分）若关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值是 　﹣4　． 【解答】解：由，得， 即， 由方程无解，则3×2+m﹣2＝0， 解得：m＝﹣4， 方程，即2x+m＝x﹣2， 当方程有增根时，x＝2，此时2×2+m＝2﹣2， 解得：m＝﹣4， 综上，m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 13．（3分）分解因式：x5y2﹣x3y2＝　x3y2（x+1）（x﹣1）　． 【解答】解：x5y2﹣x3y2 ＝x3y2（x2﹣1） ＝x3y2（x+1）（x﹣1）， 故答案为：x3y2（x+1）（x﹣1）． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是 　2　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3， 同理可证：AE＝AB＝3， ∴AF＝DE ∵AD＝4， ∴AF＝4﹣3＝1， ∴EF＝4﹣1﹣1＝2． 故答案为：2． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF＝α，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE．其中正确的是 　①②⑤　（写出正确结论的序号）． 【解答】解：①∠C＝∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等） 又∵∠DFC＝∠BFC1（对顶角相等） ∴∠CDF＝∠C1BF＝α，故结论①正确； ②∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠A1＝∠C， 在△A1BF和△CBE中 ∴△A1BF≌△CBE（ASA）， ∴BF＝BE， ∴A1B﹣BE＝BC﹣BF， ∴A1E＝CF，故②正确； ③在三角形DFC中，∠C与∠CDF＝α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等， 故结论③不一定正确； ④∵AE不一定等于CD， ∴AD不一定等于CE， 故④错误． ⑤∠A1＝∠C，BC＝A1B，∠A1BF＝∠CBE ∴△A1BF≌△CBE（ASA） 那么A1F＝CE． 故结论⑤正确． 故答案为：①②⑤． 三、解答题（16，17，18各8分） 16．（8分）解不等式组：． 【解答】解：由x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1， 由＜x﹣1，得：x＞4， 则不等式组无解． 17．（8分）先化简再求值：，再从2≤x≤4中选一个适合的整数代入求值． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝． 在2≤x≤4中，整数x有2、3、4， 由题意得：x≠3，4， ∴x＝2， 当x＝2时，原式＝． 18．（8分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB＝∠OBA． 【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ， ∴AM＝BM， 在Rt△AOM和Rt△BOM中，， ∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL）， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． 四、解答题（二）：（每小题各9分，共27分） 19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝6cm． （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接BD，求△ABD的周长． 【解答】解：（1）如图1， （2）如图2， ∵DE是BC边的垂直平分线， ∴BD＝DC， ∵AB＝4cm，AC＝6cm． ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AC＝4+6＝10cm． 20．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）如图1所示： （2）如图2所示： （3）找出A的对称点A′（1，﹣1）， 连接BA′，与x轴交点即为P； 如图3所示：点P坐标为（2，0）． 21．（9分）媛媛爸爸销售A、B两种品牌的衣服，8月份第一周售出A品牌衣服3件和B品牌衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌衣服17件和B品牌衣服8件，销售额为4200元． （1）求A、B两种品牌衣服的售价各是多少元？ （2）已知8月份A品牌衣服和B品牌衣服的销售量分别为1000件、500件，9月份是衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，媛媛爸爸决定9月份将A品牌衣服和B品牌衣服的销售价格在8月份的础上分别降低m%，m%，9月份的销售量比8月份的销售量分别增长300件、100件．若9月份的销售额不低于233000元，求m的最大值． 【解答】解：（1）设A品牌的保暖衣服售价为x元/件，B品牌的保暖衣服售价为y元/件， 根据题意得：， 解得：， 经检验：符合题意， 答：A、B两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元； （2）由题意得，9月份A品牌保暖衣服销售量为1000+300＝1300（件）， B品牌保暖衣服的销售量为500+100＝600（件）， 则， 解得：m≤30， 即：m的最大值为30． 五、解答题（三）：（每小题各12分，共24分） 22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证： （1）△ADF≌△ECF． （2）四边形ABCD是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF与△ECF中，， ∴△ADF≌△ECF（AAS）； （2）∵△ADF≌△ECF， ∴AD＝EC， ∵CE＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 23．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上点B在DF上． （1）求重叠部分△BCD的面积； （2）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM＝DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由； （3）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 【解答】解：（1）∵AB＝BC，AC＝2， ∴CD＝AC＝1， 则△BCD的面积是×CD•BD＝×1×1＝； （2）①作DQ⊥BC，DP⊥AB分别于点Q，P， 又∵AB＝BC，CD＝AD， ∴∠A＝∠C， ∴△CDQ≌△ADP， ∴DQ＝DP， 则四边形BQDP是正方形． ∵∠EDQ+∠QDN＝∠NDP+∠QDN ∴∠EDQ＝∠NDP 又∵∠MQD＝∠NPD ∴△MDQ≌△NDP， ∴DM＝DN， ②面积不变． 理由：∵直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度， 此条件下重叠部分的面积等于正方形BQDP的面积是DQ2＝（）2＝． （3）DM＝DN的结论仍成立，重叠部分的面积不会变． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/30 8:13:37；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$