2.1.2 两条直线的平行和垂直的判定（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.2 两条直线平行与垂直的判定 知识点 1 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 知识点 2 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 1、两条直线平行关系的判定 首先判断这两条直线的斜率是否存在，即先看一条直线上两点横坐标是否相等，横坐标相等时特殊情况，应特殊判断；若都存在，再判断两条直线的斜率是否相等，若相等，还需要利用数形结合的方法判断两条直线是否重合． 2、利用斜率公式来判断两条直线是否垂直的步骤 第一步，先看两条直线斜率是否存在，若其中一条直线斜率不存在，再看另一条直线斜率是否为0，若是，则两直线垂直，若不是，则两直线不垂直；若两条直线斜率都存在，则进行第二步； 第二步，代入斜率公式求出两条直线的斜率，看斜率之积是否等于-1，若是，则两直线垂直，若不是，则两直线不垂直． 【注意】若点的坐标中含有参数，应用斜率公式前要根据斜率是否存在对参数进行分情况讨论． 3、解决由垂直关系求参数问题的思路 由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解，但在解题过程中要注意讨论直线与轴垂直的情况，此时一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解． 4、在平面集合中，解决与直线平行、垂直有关的问题的一般步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系，将问题中涉及的几何要素放入坐标系中研究．建立坐标系时需注意对称、平行或垂直等特殊位置关系，务必使坐标简洁，易求易算． （2）写出或设出相关点的坐标． （3）利用直线的斜率公式求出相关直线的斜率，注意区分直线的斜率是否存在，必要时分情况讨论． 利用直线平行、垂直与斜率的关系解决形状判断、参数求解等问题． 题型一 两条直线平行的判定 【例1】（23-24高二上·广东公关·月考）（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若倾斜角，则 D．若，则倾斜角 【变式1-1】（23-24高二上·河南郑州·月考）已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．以上都不对 【变式1-2】（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．经过点，，经过点， B．的斜率为1，经过点， C．经过点，，经过点， D．经过点，，经过点， 【变式1-3】分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 题型二 两条直线平行关系的应用 【例2】已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（    ） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【变式2-1】（22-23高二上·北京顺义·期中）过，两点的直线与过，两点的直线平行，则m的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2-2】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【变式2-3】已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 . 题型三 两条直线垂直的判定 【例3】（23-24高二上·福建福州·月考）直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【变式3-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【变式3-2】（23-24高二上·湖南张家界·期中）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【变式3-3】（22-23高二上·河南·月考）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 题型四 两条直线垂直关系的应用 【例4】（23-24高二下·陕西宝鸡·月考）已知直线过两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河南三门峡·月考）过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，则 ． 【变式4-2】（23-24高二上·吉林·月考）已知直线的斜率为2，直线过点，． (1)若直线的倾斜角为，求m的值； (2)若，求m的值． 【变式4-3】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知点，. (1)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (2)若点，且点在同一条直线上，求的值. 题型五 直线平行、垂直综合应用 【例5】（23-24高二上·江苏苏州·月考）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 【变式5-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，，则实数的值为 . 【变式5-3】（23-24高二上·江西南昌·月考）已知直线l1经过，直线l2经过点. (1)若l1∥l2，求的值； (2)若l1⊥l2，求的值. 题型六 几何图形的特征的应用 【例6】（23-24高二上·新疆喀什·期中）以，，为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【变式6-1】（23-24高二上·广东广州·月考）已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【变式6-2】已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【变式6-3】已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 两条直线平行与垂直的判定 知识点 1 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 知识点 2 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 1、两条直线平行关系的判定 首先判断这两条直线的斜率是否存在，即先看一条直线上两点横坐标是否相等，横坐标相等时特殊情况，应特殊判断；若都存在，再判断两条直线的斜率是否相等，若相等，还需要利用数形结合的方法判断两条直线是否重合． 2、利用斜率公式来判断两条直线是否垂直的步骤 第一步，先看两条直线斜率是否存在，若其中一条直线斜率不存在，再看另一条直线斜率是否为0，若是，则两直线垂直，若不是，则两直线不垂直；若两条直线斜率都存在，则进行第二步； 第二步，代入斜率公式求出两条直线的斜率，看斜率之积是否等于-1，若是，则两直线垂直，若不是，则两直线不垂直． 【注意】若点的坐标中含有参数，应用斜率公式前要根据斜率是否存在对参数进行分情况讨论． 3、解决由垂直关系求参数问题的思路 由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解，但在解题过程中要注意讨论直线与轴垂直的情况，此时一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解． 4、在平面集合中，解决与直线平行、垂直有关的问题的一般步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系，将问题中涉及的几何要素放入坐标系中研究．建立坐标系时需注意对称、平行或垂直等特殊位置关系，务必使坐标简洁，易求易算． （2）写出或设出相关点的坐标． （3）利用直线的斜率公式求出相关直线的斜率，注意区分直线的斜率是否存在，必要时分情况讨论． 利用直线平行、垂直与斜率的关系解决形状判断、参数求解等问题． 题型一 两条直线平行的判定 【例1】（23-24高二上·广东公关·月考）（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则斜率 B．若斜率，则 C．若倾斜角，则 D．若，则倾斜角 【答案】BCD 【解析】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误. B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确. C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确. D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD 【变式1-1】（23-24高二上·河南郑州·月考）已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．以上都不对 【答案】A 【解析】∵直线经过点，， ∴以直线的斜率，又直线的倾斜角为60°， ∴直线的斜率，故直线与直线平行或重合．故选：A 【变式1-2】（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．经过点，，经过点， B．的斜率为1，经过点， C．经过点，，经过点， D．经过点，，经过点， 【答案】CD 【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为． 对于A．，，，与不平行． 对于B，，，，故或与重合 对于C，，，则有． 又，则A，B，M不共线．故. 对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有．故选：CD 【变式1-3】分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1)平行；(2)平行；(3)平行；(4)不平行 【解析】（1），，，不共线， 因此与平行． （2），，又两直线不重合，直线与平行， （3）直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行； （4）,，直线与不平行. 题型二 两条直线平行关系的应用 【例2】已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（    ） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【解析】由题意得， 因为，所以，即， 化简得，所以或， 又由得＝－1或2，故选:C. 【变式2-1】（22-23高二上·北京顺义·期中）过，两点的直线与过，两点的直线平行，则m的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题可知：， 而直线与直线平行， 所以有，即，解得.故选：A 【变式2-2】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【答案】0或1 【解析】当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2，且m≠－1时， kAB＝， kMN＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 【变式2-3】已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意得，解得. 题型三 两条直线垂直的判定 【例3】（23-24高二上·福建福州·月考）直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】B 【解析】设直线的斜率分别是， 依题意，所以.故选：B 【变式3-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】A 【解析】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线与垂直故选：A 【变式3-2】（23-24高二上·湖南张家界·期中）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【答案】B 【解析】因为直线经过点，， 所以直线的斜率为：， 又因为，所以两直线垂直，故选：B 【变式3-3】（22-23高二上·河南·月考）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 【答案】(1)；(2)与不垂直；(3) 【解析】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为. 因为经过，两点，所以的斜率为. 因为，所以. （2）因为经过，两点，所以的斜率为. 因为的斜率为，且，所以与不垂直. （3）记的斜率为， 因为，所以，解得或. 因为为锐角，所以. 因为的斜率为，且， 所以. 题型四 两条直线垂直关系的应用 【例4】（23-24高二下·陕西宝鸡·月考）已知直线过两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率，则,则直线的斜率为.故选：D. 【变式4-1】（23-24高二上·河南三门峡·月考）过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，则 ． 【答案】 【解析】过点，两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1， 故直线的斜率为1，则，且， 【变式4-2】（23-24高二上·吉林·月考）已知直线的斜率为2，直线过点，． (1)若直线的倾斜角为，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以，解得. （2）因为，直线的斜率为2，所以直线的斜率为， 所以，解得. 【变式4-3】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知点，. (1)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (2)若点，且点在同一条直线上，求的值. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）设，则. 因为为直角，所以，可得，解得或， 即点的坐标为或. （2）因为，， 因为点在同一条直线上，所以，解得. 题型五 直线平行、垂直综合应用 【例5】（23-24高二上·江苏苏州·月考）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确； 又∵，∴，∴，故B正确； ∵，， ∴，，∴，故C正确； 又∵，，∴ ∴，故D错误．故选:ABC． 【变式5-1】直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 【答案】 【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴＝＝－，解得m＝4＋. 【变式5-2】（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由题意可得，直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率， ，，即，解得， 又，，即，解得， . 【变式5-3】（23-24高二上·江西南昌·月考）已知直线l1经过，直线l2经过点. (1)若l1∥l2，求的值； (2)若l1⊥l2，求的值. 【答案】(1)＝1或＝6；(2)＝3或＝－4 【解析】（1）由题知直线l2的斜率存在且， 若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在， 由k1＝k2，得，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. （2）若l1⊥l2，当k2＝0时， 此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0， 则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1， 即，解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 题型六 几何图形的特征的应用 【例6】（23-24高二上·新疆喀什·期中）以，，为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， ∴，∴， ∴是以点为直角顶点的直角三角形.故选：C 【变式6-1】（23-24高二上·广东广州·月考）已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 【变式6-2】已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【解析】由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形. 【变式6-3】已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$