2.1 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦两条直线平行和垂直的判定，从平面内直线位置关系入手，通过问题导入引出斜率刻画方法，系统讲解平行（斜率相等或都不存在）和垂直（斜率之积为-1或一0一不存在）的判定条件，构建知识支架。 资料以过山车轨道等生活实例导入，培养直观想象，通过自主评测强调斜率不存在等易错点，提升数学抽象能力。例题覆盖斜率存在与否等情形，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，巩固数学运算与逻辑推理能力。

2．1．2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标　1.理解并掌握两条直线平行、垂直的条件，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.会运用两直线平行或垂直时的斜率关系解决几何问题，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 你坐过过山车吗？这是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直． 问题1　平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？ 提示：平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例． 问题2　两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 提示：用斜率刻画． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P55，分析思考： 两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？ 提示：不一定，也可能两条直线的斜率都不存在． (2)请认真阅读教材P56～57，分析思考： 两条直线垂直，它们的斜率之积一定等于－1吗？ 提示：不一定，若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是－1；当两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两条直线斜率相等，它们一定平行．(　　 ) (2)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　 ) (3)若两条不重合的直线的斜率都不存在，则这两条直线平行．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√ 　两条直线平行的判定 问题3　如果两条直线中某条直线的斜率不存在，怎么判断它们的位置关系？ 提示：当直线的斜率不存在时，可以画图判断它们的位置关系． 问题4　如何用斜率关系证明三点共线？ 提示：对于A，B，C三点，如果直线AB的斜率等于直线AC的斜率，它们有公共点 A，那么A，B，C三点共线． 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2． 温馨提示 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(链接教材：人A版教材P56例2)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－4)和点Q(a，－3a)的直线l2互相平行，则实数a＝ ． 解析：若a＝0，则直线l1的斜率为0，此时直线l2的斜率不存在，那么l1与l2不平行，不满足条件；若a≠0，则直线l1的斜率为＝a，直线l2的斜率为＝， 因为l1∥l2，所以a＝，即a2＋3a－4＝0，解得a＝1或a＝－4. 答案：－4或1 类题通法 判断两条不重合的直线是否平行的方法 【迁移运用】 1.判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5). 解：(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 　两条直线垂直的判定 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 问题5　两条直线的方向向量分别为什么？ 提示：a＝(1，k1)，b＝(1，k2). 问题6　当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 温馨提示 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　(链接教材：人A版教材P58习题2.1T6)(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　 ) A．l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q(0，－) C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 解析：选ABD.A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q(0，－)，kPQ＝，故两条直线垂直； C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝，故两条直线垂直． 类题通法 判定两直线垂直的方法 【迁移运用】 2．根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(1，3)，B(－1，－1)，l2经过点C(2，1)，D(4，0)； (2)l1经过点E(－1，3)，F(－1，－5)，l2经过点C(2，4)，D(－1，4)； (3)l1经过点P(2，－1)，Q(3，4)，l2的方向向量为(5，1). 解：(1)由题意知k1＝＝2，k2＝＝－，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (2)由题意知l1的斜率不存在，l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (3)由题意知k1＝＝5，k2＝，因为k1k2≠－1，所以l1与l2不垂直． 　平行与垂直的应用 1．l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 2．当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2． 例3　(链接教材：人A版教材P57练习T2)已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1∥l2，则实数a的值为 ． 解析：由题意得l1∥l2，所以kAB＝kMN. 因为kAB＝＝－，kMN＝＝3， 所以－＝3，所以a＝－6. 答案：－6 变式演练　1.(变条件和结论)已知A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为 ． 解析：设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线BC的斜率kBC＝－，直线AD的斜率kAD＝， 由AB⊥CD，且AD∥BC，得 解得所以点D的坐标为(10，－6). 答案：(10，－6) 2．(变条件)本例中，若把“l1∥l2”改为“l1⊥l2”，其他条件不变，求实数a的值． 解：因为kAB＝＝－，kMN＝＝3，l1⊥l2，所以－·3＝－1，所以a＝. 类题通法 1．利用两直线的平行或垂直关系求参数值时，要注意斜率不存在的情况． 2．求点的坐标的方法：设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解． 3．利用两条直线平行或垂直判定平面几何图形形状的步骤 1．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　 ) A． B．－ C．2 D．－2 解析：选B.由题意知，PQ的斜率存在， 由kPQ＝kMN，即＝， 得m＝－. 经检验知，m＝－符合题意． 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　 ) A． B．－ C．a D．不存在 解析：选BD.当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－；当a＝0时，l2的斜率不存在． 3．已知两点M(2，2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为 ． 解析：设P点坐标为(x0，0)，则kPM＝，kPN＝，由于∠MPN＝90°， 故kPM·kPN＝－1，即·＝－1， 解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为(1，0)或(6，0). 答案：(1，0)或(6，0) 4．若A(2m，)，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，则实数m的值为 ． 解析：由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线的斜率都存在，设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC. 由斜率公式得kAB＝＝，kBC＝＝. ∵A，B，C三点在同一条直线上，∴kAB＝kBC，∴＝，即m2－3m－12＝0，解得m＝或. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $