2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行和垂直的判定，通过过山车轨道情境导入，从斜率存在与不存在两种情况逐步探究判定条件，构建“问题驱动-知识梳理-例题解析-分层训练”的学习支架，衔接平面几何与解析几何知识脉络。 其亮点在于以生活化情境激发兴趣，问题链引导学生用数学眼光观察现实世界，例题涵盖基础判断与图形形状判定（如直角梯形），结合分类讨论和数形结合的数学思维，课堂小结梳理易错点助力数学语言表达。学生能系统掌握判定方法，教师可直接利用分层资源提升教学效率。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 1 1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）. 2. 能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 情境导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了 许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着 一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的 钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中 的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就 来研究一下. 知识点一　两条直线平行的判定 01 知识点二　两条直线垂直的判定 02 提能点　两条直线平行与垂直的综合应用 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 两条直线平行的判定 目 录 问题1　（1）我们知道，在平面几何中两条直线有两种位置关系相交和平 行，当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率满足什么关系？ 提示：如图，由l1∥l2⇒α1＝α2⇒tan α1＝tan α2⇒k1＝k2. （2）当两条直线l1与l2斜率相等时，这两条直线平行吗？ 提示：由k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2. （3）若直线的斜率不存在，则l1与l2有什么位置关系？ 提示：由直线的斜率不存在，则α1＝α2＝90°⇒l1∥l2. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔ ⁠ ⁠. 　　提醒：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都 存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）； （3）l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. k1＝k2　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】判断下列直线l1与l2是否平行： （1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q （0，5）； 解：由题意知，l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. （2）l1经过点E（0，1），斜率为 ，l2经过点F（3，4），G（2，3）； 解：由题意知，k1＝ ，k2＝ ＝1， kEF＝ ＝1，显然点E，F，G三点共线，所以直线l1与l2相交，交于点 E. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H （2，3）. 解：由题意知，k1＝ ＝1，k2＝ ＝1，所以k1＝k2，且kEG＝ ＝ 1，所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 判断两条不重合直线是否平行的步骤 　　提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调 不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）（2025·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m） 的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝ ⁠； 解析：由题易知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存 在.kAB＝ ＝ ，kCD＝ ＝ ，由于AB∥CD，所以 kAB＝kCD，即 ＝ ，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存 在，所以m＝－2. －2 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3， 1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形. 证明：由已知可得，直线AB的斜率kAB＝ ＝ ， 直线PQ的斜率kPQ＝ ＝ ， 直线AQ的斜率kAQ＝ ＝ ， 直线BP的斜率kBP＝ ＝1， 因为kAB＝kPQ，且kAB≠kAQ，所以直线AB，PQ不重合，所以直线 AB∥PQ. 因为kAQ≠kBP，所以AQ，BP不平行，所以四边形ABPQ为梯形. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点一 两条直线垂直的判定 目 录 问题2　（1）平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的 方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时， 其斜率有什么关系？ 提示：由l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1. （2）当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为多少度？ 其斜率存在吗？ 提示：如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾 斜角为90°，其斜率不存在. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ⁠ ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 ，那么它们互相垂直， 即l1⊥l2⇔ ⁠. 　　提醒：（1）l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在； （2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直 线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. － 1　 －1　 k1k2＝－1　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直： （1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D （4，0）； 解：由题意知，k1＝ ＝2， k2＝ ＝－ ，由于k1k2＝－1，故两条直线互相垂直. （2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H （－1，4）； 解：由题意知，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故两条直线互相垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1， ），N（2，0）； 解：由题意知，k1＝ ，k2＝ ＝－ ，由于k1k2＝－1，故两条直线 互相垂直. （4）l1经过点P（2， －1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0， 1）. 解：由题意知，k1＝ ＝5，k2＝ ＝ ，由于k1k2≠－1，故两条直线 不垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 判断两直线是否垂直的策略 在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时， 这两条直线也垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）（2025·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的 两根，则l1与l2的位置关系是（　　） A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 解析：　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1，l2的斜率是方程x2 －3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2.故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知△ABC的顶点为A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若 △ABC为直角三角形，求m的值. 解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即 · ＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即 · ＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 即 · ＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 两条直线平行与垂直的综合应用 目 录 【例3】（2025·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6， 3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形 ABCD的形状. 解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如 图所示，由斜率公式可得kAB＝ ＝ ，kCD＝ ＝ ，kAD＝ ＝－3，kBC＝ ＝－ . 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD. 由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD＝ ×（－3）＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（2025·福州月考）已知▱ABCD中，A（1，2），B（5，0），C （3，4）. （1）求点D的坐标； 解：设D点坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所 以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以 解得 所以D（－1，6）. 数学·选择性必修第一册 目 录 24 （2）试判断▱ABCD是否为菱形？ 解：因为kAC＝ ＝1，kBD＝ ＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2. （　×　） （2）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－ . （　×　） （3）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行. （　√　） 2. 过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是 （　　） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 以上都不对 解析：易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行. × × √ √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知三角形三个顶点的坐标分别为A（4，2），B（1，－2），C（－ 2，4），则BC边上的高的斜率为（　　） A. 2 B. －2 C. D. － 解析：∵B（1，－2），C（－2，4），∴kBC＝ ＝－2，设 BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1，∴k＝ . √ 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直： （1）l1经过点A（2，1），B（－3，5），l2经过点C（3，－3），D （8，－7）； 解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 由题意知k1＝ ＝－ ，k2＝ ＝－ ， 则k1＝k2，又因为kAC＝ ＝－4，所以k1≠kAC， 所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）l1的倾斜角为150°，l2经过点M（3，2 ），N（－2，－3 ）. 解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＝tan 150°＝－tan 30°＝－ ， k2＝ ＝ ，所以k1k2＝－1，所以l1⊥l2. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）两直线平行的判定； （2）两直线垂直的判定； （3）两直线平行、垂直的综合应用. 2.应体会 探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想 方法. 3.避易错 （1）研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； （2）当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 若l1∥l2，则k1＝k2 B. 若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D. 只有斜率相等的两条直线才平行 解析：　对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存 在，所以A错误；对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B 错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜 率不存在的两直线也平行，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知直线l1经过A（2，7），B（3，8）两点，且直线l2⊥l1，则直线l2 的倾斜角为（　　） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 解析：　设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率k1＝ ＝1，由 l1⊥l2，得k1·k2＝－1，所以k2＝－1，即tan α＝－1，又因为0°≤α＜ 180°，所以α＝135°，所以直线l2的倾斜角为135°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1， ），B（－2，－ 2 ），则直线l1，l2的位置关系是（　　） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 解析：　由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝ ，直线l2的斜率k2＝ ＝ .因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知两点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直 角，则点P的坐标为（　　） A. （1，0） B. （6，0） C. （1，0）或（6，0） D. 不存在 解析：　设P点坐标为（x0，0），易知x0≠2且x0≠5，则kPM＝ ， kPN＝ ，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即 · ＝－1， 解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为（1，0）或（6，0）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 已知点A（m，3），B（2m，m＋4），C（m＋1，2），D（1， 0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为（　　） A. －1 B. 0 C. 0或1 D. －1或0 解析：　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时 AB∥CD. 当m≠0时，kAB＝ ，kCD＝ ，则kAB＝kCD， 即 ＝ ，得m＝1，∴m＝0或1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S （2，12），下面四个结论正确的是（　　） A. PQ∥SR B. PQ⊥PS C. PS∥QS D. PR⊥QS √ √ √ 解析：由斜率公式知，kPQ＝ ＝－ ，kSR＝ ＝－ ，kPS＝ ＝ ，kQS＝ ＝－4，kPR＝ ＝ ，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS. 而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知点A（0，2），B（－1，0），下列结论正确的是（　　） A. 若直线l的方向向量为（1，1），则l∥AB B. 若直线l的斜率为－ ，则l⊥AB C. 若C（1，－1），则△ABC为直角三角形 D. 若C（1，－1），D（3，3），则四边形ABCD是平行四边形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：对于A，直线l的斜率k＝1，又kAB＝ ＝2，故直线l与直线AB不平行，A错误；对于B，因为－ kAB＝－1，所以l⊥AB，B正确；对于C，因为kBC＝ ＝－ ，kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，C正确；对于D，因为kCD＝ ＝2＝kAB，kAD＝ ＝ ，kBC＝－ ，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 若点A（－1，2），B（3，－4）关于直线l对称，则直线l的斜率 为 ⁠. 解析：由点A（－1，2），B（3，－4），可得kAB＝ ＝－ ，设直 线l的斜率为k，因为点A，B关于直线l对称，可得k·kAB＝－1，解得k＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. （2025·许昌月考）已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k ＋m＝0的两实数根，若l1∥l2，则m＝ ；若l1⊥l2，则m＝ ⁠. 解析：若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两 个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.由一元二次方程 根与系数的关系得k1·k2＝ ，若l1⊥l2，则 ＝－1，∴m＝－2. 2 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线： （1）倾斜角为135°； 解：由kAB＝ ＝tan 135°＝－1， 得2m2＋m－3＝0，解得m＝－ 或m＝1. （2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直； 解：由 ＝3及垂直关系，得 ＝－ ， 解得m＝ 或m＝－3. （3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行. 解：由 ＝ ＝－2，解得m＝ 或m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 已知点A（－2，2），B（6，4），H（5，2），H是△ABC的垂心， 则点C的坐标为（　　） A. （6，2） B. （－2，2） C. （－4，－2） D. （6，－2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　设点C的坐标为（x，y），如图，∵直线AH 的斜率kAH＝ ＝0，且BC⊥AH，点B的横坐标为6， ∴x＝6，∵直线BH的斜率kBH＝ ＝2，BH⊥AC，∴ 直线AC的斜率kAC＝ ＝－ ，解得y＝－2， ∴点C的坐标为（6，－2）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1， 1），B（3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶 点坐标的是（　　） A. （－3，1） B. （4，1） C. （－2，1） D. （2，－1） √ √ √ 解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B. 根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 已知两点A（2，0），B（3，4），直线l过点B，交y轴于点C（0， y），O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是 ⁠. 解析：由题易知OC⊥OA，即AC为圆的直径，∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝ －1，即 × ＝－1，解得y＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）. （1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； 解：设Q（x，y），由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即 ×3＝－1.　① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即 ＝－2.　② 联立①②解得 即Q（0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 解：设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又∵kNQ＝ ，kNP＝－2，∴ ＝2，即x＝1， ∴Q（1，0）.又∵M（1，－1），∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 已知点A，B，C，D依次按逆时针方向排列，A（0，3），B（－ 1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形. 解：设所求点D的坐标为（x，y），如图. 由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 ①若CD是直角梯形的直角边， 则BC⊥CD，AD⊥CD. ∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3， 又kAD＝0，∴ ＝0，即 y＝3， 此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为（3，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝ ，kCD＝ ，又由于AD⊥AB， ∴ ×3＝－1，又AB∥CD，∴ ＝3， 解上述两式可得 此时AD与BC不平行，所求点D的坐标为（ ， ）. 综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为（3，3）或（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $