湖北省武汉市经开区2024-2025学年九年级上学期收心考数学试卷

数学 独立作业3 第1 页 共4页 武汉经开外国语学校 2024-2025 学年度上学期九年级 数学 独立作业3 试 卷 满 分:120分 考 试 用 时:120分钟 一、选择题(共10小题,每题3分,共30分) 1.2024年7月27日,第33届夏季奥运会在法国巴黎举行,如图所示巴黎奥运会项目图标中,既是轴对称 图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2.一元二次方程x2-8x=10中,一次项系数、常数项分别是 ( ) A.-8、-10 B.-8、10 C.8、-10 D.8、1 3.对于抛物线y=- 1 2 (x-1)2-3的说法错误的是 ( ) A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标是(1,-3) C.抛物线的对称轴是直线x=1 D.当x>1时,y 随x 的增大而增大 4.如图,把△ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C 的对应点分别点D,E,且点E 在BC 的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是 ( ) A.∠ACE=∠ADE B.AB=AE C.∠CAE=∠BAD D.CE=BD 第4题图 第6题图 第7题图 5.下列抛物线中,在开口向下的抛物线中开口最大的是 ( ) A.y=x2-1 B.y=-3x2+2x C.y=- 2 3x 2- 1 3x+4 D.y= 1 3x 2 6.张老师出示小黑板上的题目(如图)后,小敏回答:“方程有一根为1.”小聪回答:“方程有一根为2.”你 则认为 ( ) A.小敏、小聪回答都不正确 B.小敏、小聪回答都正确 C.只有小敏回答正确 D.只有小聪回答正确 7.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面再下降1.5 m,水面宽度为 ( ) A.4.5 m B.25 m C.26 m D.27 m 8.已知点A(-2,3),B(4,3)在抛物线y=ax2+bx+c图象上,则该抛物线的顶点可能是 ( ) A.(1,4) B.(-1,4) C.(-1,3) D.(1,3) 数学 独立作业3 第2 页 共4页 9.已知抛物线y=x2-2x-4的自变量x1,x2,x3 对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-1<x1<0,1<x2 <2,x3>3时,y1,y2,y3 三者之间的大小关系是 ( ) A.y2<y3<y1 B.y2<y1<y3 C.y1<y2<y3 D.y3<y1<y2 10.如图,现有一张透明网格(1 000×1 000)塑料片,纵向的网格线A1B1,…,A1 000B1 000,以A1 为原点, A1A1 000 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,现有抛物线y=x2+x+ 1 2 的一部分落在这个网格 内,那么此抛物线在A20B20 与A21B21 之间(包括这两条网格线)与横向的网格线相交的点的个数为 ( ) A.20 B.38 C.40 D.42 第10题图 第14题图 二、填空题(共6小题,每题3分,共18分) 11.写出一个两根为-2,1的一元二次方程,并整理成一般式 . 12.飞机着陆后滑行的距离S(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是S=80t- 5 4t 2,飞机 着陆后滑行停下来,滑行的时间是 s. 13.若函数y=(m-1)x2-4x+2m 的图象与x 轴有且只有一个交点,则m 的值为 . 14.如图,一副三角板三个内角分别是90°,45°,45°和90°,60°,30°,按如图所示叠放在一起(点A,D,B 在同一 直线上),若固定△ABC,将△BDE 绕着公共顶点B 顺时针旋转α°(0<α<180),当边DE 与△ABC 的 某一边平行时,相应的旋转角α的值为 . 15.如果关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称 这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的有 (填序号). ①方程x2-x-2=0是倍根方程; ②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0; ③若p,q满足pq=2,则关于x 的方程px2+3x+q=0是倍根方程; ④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程,则必有2b2=9ac. 16.在平面直角坐标中,点M(0,3),N(9,0),将线段MN 绕M 点逆时针旋转60°,则点N 的对应点P 的 纵坐标是 . 三、解答题(共6小题,共52分) 17.(8分)解方程: (1)2x2+4x-1=0; (2)(3-x)2+x2=5. 数学 独立作业3 第3 页 共4页 18.(8分)如图,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用 的墙长为17 m),另外三边利用学校现有总长34 m的铁栏围成. (1)若围成的面积为144 m2,试求出自行车车棚的长和宽; (2)能围成的面积为160 m2 自行车车棚吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 19.(8分)如图,抛物线y=ax2+x-3经过点A(-2,-1),与坐标轴分别交于B,C,D 三点. (1)求B,C,D 三点的坐标; (2)当-1<x≤3时,则函数y 的取值范围是 (3)平移抛物线,使原抛物线上的A 点平移后落到点D 的位置,直接写出平移后的抛物线的解析式. 20.(8分)已知关于x 的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1,x2 两实数根. (1)若x1=5,求x2 及m 的值; (2)是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)=m2-5m? 若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明 理由. 21.(8分)如图是由小正方形组成的8×8网格,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC 的顶点都是格点, P 为线段AB 上的点,仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实 线表示,按步骤完成下列问题: (1)在图1中,先将线段BC 沿BA 方向平移,使点B 与点A 重合,画出平移后的线段AD;再连接 PC,画△ADQ,使△ADQ 与△CBP 成中心对称; (2)在图2中,先在 AC 上画点E,连接BE,使∠ABE=45°;再在 AC 上画点F,连接PF,使PF ∥BE. 图1 图2 数学 独立作业3 第4 页 共4页 22.(10分)为适应2024年武汉市体育中考改革,学校购入一台羽毛球发球机,羽毛球飞行路线可以看作 是抛物线的一部分,如图,建立平面直角坐标系,发球机放置在球场中央离球网水平距离3 m的点O 处,球从点O 正上方1.15 m的A 处发出,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式 y=a(x-4)2+h.小明同学站在球网另一侧,距离球网水平距离3 m(如图所示),在头顶0.6 m至 0.8 m处称为有效击球高度.(球网高度不影响有效击球) (1)若h=2.75, ①求y 与x 的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围); ②如果小明的身高为1.65 m,试判断他能否在原地有效击球? (2)如果小明的身高为1.75 m,并且能在原地有效击球,直接写出a 的取值范围. 23.(10分)如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 有公共顶点D. (1)如图1,连接AE 和CG,直接写出AE 和CG 的关系; (2)如图2,连接AG,CE,M 为AG 中点,连接DM,CE,探究DM,CE 的关系,并说明理由; (3)如图3,当正方形DEFG 绕点D 逆时针旋转过程中,连接CE,AE,若DE=2,CE=m,当∠DEA =15°时,AE= (请用含m 的式子表示). 图1 图2 图3 24.(12分)已知抛物线C1:y=ax2+bx+3与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于C 点,OB=OC=3OA. (1)求抛物线C1 的解析式; (2)如图1,已知点P 为第一象限内抛物线C1 上的一点,点Q 的坐标为(1,0),∠POC+∠OCQ= 45°;求点P 的坐标; (3)如图2,将抛物线C1 平移到以坐标原点为顶点,记为C2,点T(1,-1)在抛物线C2 上,过点T 作 TM⊥TN 分别交抛物线C2 于M,N 两点,求直线MN 过定点的坐标. 图1 图2 2024 年九年级数学收心考参考答案 1－10．DADCC BDABC 11. 2 2 0x x+ − = (答案不唯一) 12．32 13．－1或 1或 2 14．45°或 75°或 165° 15．②③④ 16． 3 9 3 2 + 17．(1) 1 2 2 6 2 6 , 2 2 x x − + − − = = (2) 1 22, 1x x= = 18．（1）解：设自行车车棚的宽为 mx ，则长为 ( )34 2 mx− ， 根据题意，得 ( )34 2 144x x− = ， 解得 1 29 8x x= =， 当 9x = 时，34 2 16 17x− =  ，符合题意； 当 8x = 时，34 2 18 17x− =  ，不符合题意，舍去．； 答：若围成的面积为 2144m ，自行车车棚的长和宽分别为16m、9m； （2）解：不能围成面积为 2160m 的自行车车棚，理由如下： 设自行车车棚的宽为 my ，则长为 ( )34 2 my− ， 根据题意，得 ( )34 2 160y y− = ， 整理，得 2 17 80 0y x− + = ， ∵ ( ) 2 17 80 4 31 0 = − −  = −  ， ∴此时方程无解 ∴不能围成面积为 2160m 的自行车车棚． 19．(1) 1 13 ( ,0) 2 B − − ， 1 13 ( ,0) 2 C − + ， (0, 3)D − (2) 13 9 4 y−   (3) 2 3 3y x x= − − 20．（1）解：∵关于 x的一元二次方程 2 6 2 1 0x x m− + − = 有 1x ， 2x 两实数根， ∴根据根与系数的关系得 25 6x+ = ， 25 2 1x m= − ， 解得 2 1x = ， 3m = ； （2）解：存在．理由如下： 根据题意得 ( ) ( ) 2 Δ 6 4 2 1 0m= − − −  ， 解得 5m  ， 由根与系数的关系得 1 2 6x x+ = ， 1 2 2 1x x m = − ， ( )( ) 21 21 1 5x x m m− − = − ， 即 ( ) 21 2 1 2 1 5x x x x m m− + + = − ， 即 22 1 6 1 5m m m− − + = − ， 方程化为 2 7 6 0m m− + = ， 解得 1 1m = ， 2 6m = ， 5m  ， 1m = ． 21．（1）如图所示， ADQ△ 即为所求； （2）如图所示，PF 即为所求； 22．（1）解：①当 2.75h = 时， 2( 4) 2.75y a x= − + ， 它过 (0,1.15)， 21.15 (0 4) 2.75a = − + ， 1 10 a = − ， 21 ( 4) 2.75 10 y x = − − + ； ②他能在原地有效击球；理由如下： 由（1）可知， 21 ( 4) 2.75 10 y x= − − + ， 令 6x = 得 21 (6 4) 2.75 10 y = − − + ， 解得： 2.35y = 2.35 1.65 0.7m− = ， 0.6m<0.7m<0.8m 能在原地有效击球； （2）由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为： 2.35 2.55y  ， 当抛物线 2( 4)y a x h= − + 过点 (0,1.15)和点 (6,2.35)时 ( ) ( ) 2 2 1.15 0 4 2.35 6 4 a h a h  = − +  = − + 解得： 1 10 a = − ， 当抛物线 2( 4)y a x h= − + 过点 (0,1.15)和点 (6,2.55)时 ( ) ( ) 2 2 1.15 0 4 2.55 6 4 a h a h  = − +  = − + 解得： 7 60 a = − ， 7 1 60 10 a−   − ， a 的取值范围： 7 1 60 10 a−   − ． 23．(1) AE CG= 且 AE CG⊥ (2) 1 2 DM CE= 且 DM CE⊥ (3) 2 2 6m − + 或 2 6 2m − + 24．(1) 2 2 3y x x= − + + (2) ( )3,2 3P (平移法或相似或三角函数) （3）证明： 将抛物线 1C 平移到以坐标原点为顶点的抛物线 2C ， 抛物线 2C 的解析式为 2y x= − ， 设直线MN 的解析式为 y mx n= + ，且 1(M x ， 1)y 、 2(N x ， 2 )y ， 点 (1, 1)T − 在抛物线 2C 上，TM TN⊥ ， 90MTN = ， 2 2 2TM TN MN + = ， 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )x y x y x x y y − + + + − + + = − + − ， 整理得： 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 0x x x x y y y y− + + + + + = ， H N M E F B C A D G N M E F B C A D G 联立 2 y mx n y x = +  = − ，得 2 0x mx n+ + = ， 1 2x x m + = − ， 1 2x x n= ， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y mx n mx n m x x mn x x n m n m n n n = + + = + + + = − + = ， 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 2y y mx n mx n m x x n m n+ = + + + = + + = − + ， 2 2 3 2 0n m n m − + + + = ， 即 ( 1)( 2) 0n m n m+ + − + = ， 1n m = − − 或 2n m= − ， 当 1n m= − − 时，直线MN 的解析式为 1 ( 1) 1y mx m m x= − − = − − ， 即直线MN 过定点 (1, 1)− ，与 (1, 1)T − 重合，不符合题意； 当 2n m= − 时，直线MN 的解析式为 2 ( 1) 2y mx m m x= + − = + − ， 直线MN 恒过定点 ( 1, 2)− − ．