精品解析：四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

绵阳南山中学实验学校高2023级高一（上）入学考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将试题卷和答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 绵阳南山中学实验学校传承百年南山文化，立足于高起点、高品位办学，全面启迪学生成长智慧，促进学生和谐发展.自2010年建校以来，我校累计近5万名学生考上一本线（重本线），数据“5万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角板按如下图位置放在直尺上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 南南和实实相约到学校环校樱花大道上参加健步走活动，他们同时同地出发，已知环校樱花大道线路每圈长度为2公里，南南和实实约定每人走3圈，已知南南的速度是实实的倍，南南比实实提前8分钟走完全程，设实实的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实践课上，南南画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1～图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在南南的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6. 已知二次函数和（是常数）图象与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 8. 观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（…）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的角平分线互相重合 D. 圆内接四边形的对角互补 10. 随着物联网技术的推广与应用，我国快递行业得到迅猛发展．结合下图所提供的信息，请你判断以下结论正确的是（ ） A. 2017-2021年，快递业务量持续增加 B. 2017-2021年，快递业务量较上一年的增长速度持续提高 C. 2017-2021年，较上一年快递业务量的增长速度最快的是2020年 D. 2021年较2017年快递业务量的增长速度是 11. 已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 12. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当与相切时， D. 当时， 三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 13. 关于的代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 14. 若关于的一元二次方程的两根分别为和，则的值为______． 15. 如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是_________． 16. 如图所示，已知网格中每个小正方形面积均为1，其中，，，均为小正方形的顶点，连接和相交于，则的面积为______． 17. 某家具商场准备购进甲、乙两种椅子，其中甲、乙两种椅子的进价分别为元/把和元/把，售价分别为250元/把和200元/把.已知购进3把甲种椅子和4把乙种椅子共需620元，购进5把甲种椅子和3把乙种椅子共需740元.现该商场计划购进甲乙两种椅子共200把，要使购进总成本不超过18100元，且全部售出后的总利润不少于27000元.如该商场要保证获得最大利润，则该商场需要进货甲种椅子_________把. 四、解答题：本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀”）. 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）求的值，并将条形统计图补充完整； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有2名男生，2名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 20. 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 …… 日销售量（件） 94 90 84 76 24 …… 未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数）． （1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与（天），直接写出日销售量（件）与时间（天）的函数关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 21. 阅读以下材料： ①对任意正实数、，，， ，（当且仅当时，）． ②对任意正实数、，，，， ，（当且仅当时，） 结合①②我们可以得到如下结论： 对任意正实数、，（当且仅当时取等号）； 上式可变形为：对任意正实数、，（当且仅当时取等号）． 根据上述材料，回答下列问题： （1）当，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值． （2）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 22. （1）【问题背景】由光反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．南南测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端．经测得，南南的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度． （2）【活动探究】观察南南的操作后，实实提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让南南站在点处不动，将镜子移动至处，南南恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，南南的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． （3）【应用拓展】南南和实实讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让南南站在斜坡的底端处不动（南南眼睛离地面距离），实实通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至处，让南南恰好能看到塔顶；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔的高度（结果保留整数）． 23. 已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绵阳南山中学实验学校高2023级高一（上）入学考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将试题卷和答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 绵阳南山中学实验学校传承百年南山文化，立足于高起点、高品位办学，全面启迪学生成长智慧，促进学生和谐发展.自2010年建校以来，我校累计近5万名学生考上一本线（重本线），数据“5万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用科学计数法的定义计算即可. 【详解】数据“5万”用科学记数法表示为. 故选：A 2. 下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解的方法一一判定选项即可. 【详解】根据平方差公式知，故A正确； 根据提公因式法可知，故B正确； 根据提公因式法及完全平方公式可知，故C正确； 根据十字相乘法可知，故D错误. 故选：D 3. 将一副三角板按如下图位置放在直尺上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角板性质和平行性质即可得到答案. 【详解】由题意得：， ，， . 故选：A. 4. 南南和实实相约到学校环校樱花大道上参加健步走活动，他们同时同地出发，已知环校樱花大道线路每圈长度为2公里，南南和实实约定每人走3圈，已知南南的速度是实实的倍，南南比实实提前8分钟走完全程，设实实的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时间路程速度即可得到方程. 【详解】由题意知，实实的速度为，则南南的速度为， 实实走完3圈所用时间为，南南走完3圈所用的时间为， 根据南南比实实提前8分钟走完全程，可列方程为. 故选：B. 5. 实践课上，南南画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1～图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在南南的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明． 【详解】由作图得：，， 四边形为平行四边形， 故选：． 6. 已知二次函数和（是常数）的图象与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两个函数与轴的四个交点的横坐标，对分类讨论得到满足题意的值，进而求得两个函数对称轴之间的距离. 【详解】与轴的交点横坐标为，对称轴为， 与轴的交点横坐标为，对称轴为， 根据题意可知四个交点中每相邻两个交点的距离都相等， 当时，， 此时两个函数对称轴之间的距离为2， 当时，，此时方程无解. 根据交点的对称性可知时，只有时满足题意，此时两个函数对称轴之间的距离为2， 当时不满足题意，综上可知两个函数对称轴之间的距离为2 故选：C 7. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得，再证明即可得到答案. 【详解】四边形是正方形， ， 将绕点顺时针旋转得. 由旋转性质，可知， ，则点，，三点共线. ， . ， 在和中，， ， ， . . 故选：B. 8. 观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（…）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令得，则，再求和即可. 【详解】过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； 令，可得：纵坐标为纵坐标为， ，， ， . 故选：D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的角平分线互相重合 D. 圆内接四边形的对角互补 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的判断方法即可判断A；根据等腰三角形三线合一的性质即可判断C；根据圆的内接四边形性质即可判断D. 【详解】对A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误； 对B，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B正确； 对C，等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，故C正确； 对D，圆的内接四边形对角互补，故D正确. 故选：BCD. 10. 随着物联网技术的推广与应用，我国快递行业得到迅猛发展．结合下图所提供的信息，请你判断以下结论正确的是（ ） A. 2017-2021年，快递业务量持续增加 B. 2017-2021年，快递业务量较上一年的增长速度持续提高 C. 2017-2021年，较上一年快递业务量的增长速度最快的是2020年 D. 2021年较2017年快递业务量的增长速度是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图中的信息逐项分析求解即可. 【详解】对A，2017-2021年，快递业务量持续增加，故A正确； 对B，在2018年，2019年，2021年快递业务量较上一年的增长速度下降，故B错误； 对C，2017-2021年，较上一年快递业务量的增长速度最快的是2020年，故C正确； 对D，2021年较2017年快递业务量的增长速度为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二次函数的图象、性质及其与一元二次方程的关系一一判定选项即可. 【详解】由图象可知方程有两个不同实数根，则，故A错误； 图象开口向上且与纵轴交于负半轴则， 又对称轴，所以，则，故B正确； 由图象可知时，，故C错误； 因为有两个不相等的实数根， 即两个函数有两个交点，根据图象知，故D正确. 故选：BD 12. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当与相切时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，，，从而可判断AB；当与相切时，由勾股定理可求，从而可求，可判断C；当时，由勾股定理可求，从而可求，，即，可判断D． 详解】解：由题意可得：，，， ，故B正确； ，故A错误； 如图，当与相切时， ，， ，故C正确； 当时，如图， ， ，， ，故D错误． 故选：BC. 三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 13. 关于的代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】且. 【解析】 【分析】根据题意得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得且， 解得且. 故答案为：且. 14. 若关于的一元二次方程的两根分别为和，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据韦达定理即可得到答案. 【详解】根据韦达定理得，解得，则. 故答案为：0. 15. 如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用直线与圆的位置关系解锐角三角形可得长，再根据勾股定理计算即可. 【详解】 连接，因为是的切线，为切点，所以， 又因为，，所以, 所以，而，则. 故答案为： 16. 如图所示，已知网格中每个小正方形的面积均为1，其中，，，均为小正方形的顶点，连接和相交于，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用网格特点得到，则可判断，根据相似三角形的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后计算出的面积，从而得到的面积． 【详解】连接，如图， ，可判断， ，， ，． 故答案为：. 17. 某家具商场准备购进甲、乙两种椅子，其中甲、乙两种椅子的进价分别为元/把和元/把，售价分别为250元/把和200元/把.已知购进3把甲种椅子和4把乙种椅子共需620元，购进5把甲种椅子和3把乙种椅子共需740元.现该商场计划购进甲乙两种椅子共200把，要使购进总成本不超过18100元，且全部售出后的总利润不少于27000元.如该商场要保证获得最大利润，则该商场需要进货甲种椅子_________把. 【答案】 【解析】 【分析】先依题意建立二元一次方程组求解，再设购进甲种椅子x件，则购进乙种椅子件，总利润为W元，依题意建立一元一次不等式组，求得x的取值范围，再根据题意求得W关于x的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可分析求解． 【详解】分两步解决此题. （1）解：由题意得： ，解得：； （2）设购进甲种椅子x件，则购进乙种椅子件，总利润为W元． 解得：， 由题意得： ， ∵， 当时，W随x的增大而增大， ∴当时，有最大值为：元． 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）根据分式运算知原式，再代入数据即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 当时，原式. 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀”）. 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）求的值，并将条形统计图补充完整； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有2名男生，2名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）,统计图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算组人数所占的百分比得到的值，利用组人数为补全条形统计图； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1男1女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 获奖总人数为（人，组的人数为（人， 所以，所以；补全条形统计图如下. 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果数为8， 所以抽取的同学恰好是1男1女的概率为． 20. 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 …… 日销售量（件） 94 90 84 76 24 …… 未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数）． （1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与（天），直接写出日销售量（件）与时间（天）的函数关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）日利润在第18天时取得最大值，元 【解析】 【分析】（1）观察图表结合所学函数的性质列出函数关系即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论计算最大值即可. 【小问1详解】 注意到图表中随着天数每变多1天，销售量以2件递减， 可设函数解析式，代入得， 解之得，即， 经检验，其余各数据都符合该解析式， 所以日销售量（件）与时间（天）的函数关系式为； 【小问2详解】 设日利润为，由题意可知， 即， 当时，， 利用二次函数的两点式可知此时函数的对称轴为， 由于此时函数开口向下， 即日利润在第18天时取得最大值，； 当时，， 利用二次函数的两点式可知此时函数的对称轴为， 由于函数开口向上，则日利润在第21天时取得最大值，； 显然日利润在第18天时取得最大值，最大值为. 21. 阅读以下材料： ①对任意正实数、，，， ，（当且仅当时，）． ②对任意正实数、，，，， ，（当且仅当时，） 结合①②我们可以得到如下结论： 对任意正实数、，（当且仅当时取等号）； 上式可变形为：对任意正实数、，（当且仅当时取等号）． 根据上述材料，回答下列问题： （1）当，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值． （2）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）当时，取得最大值，最大值为； （2）最小值为24. 【解析】 【分析】（1）利用即可求出最值； （2）根据则得到，设，写出面积表达式，再利用基本不等式即可得到最小值. 【小问1详解】 由题意得，且，解得， 则，当且仅当，即时等号成立. 【小问2详解】 因为点是双曲线上一点，所以， 所以双曲线的表达式为. 连接，设，其中， 所以， 即当，即时，取得最小值为24， 答：四边形面积的最小值为24. 22. （1）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．南南测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端．经测得，南南的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度． （2）【活动探究】观察南南的操作后，实实提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让南南站在点处不动，将镜子移动至处，南南恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，南南的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． （3）【应用拓展】南南和实实讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让南南站在斜坡的底端处不动（南南眼睛离地面距离），实实通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至处，让南南恰好能看到塔顶；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔的高度（结果保留整数）． 【答案】（1）17m；（2）3.5m；（3）20m. 【解析】 分析】（1）证，得，即可解决问题； （2）过点作，过点作，证，，得，再由，，然后求出、的长，即可解决问题； （3）过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题. 【详解】（1）由题意得：，， ，， ，即， ，，， 答：建筑物的高度为17m. （2）如图②过点作，过点作， 由题意得：， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 答：这个广告牌的高度为3.5m. （3）如图③，过点作于点，过点作于点， 由题意得:， ，， ，即， ，， ， 即，，，， 由题意得：， ，， ， 设，则，， ，， 解得:(负值已舍去)， ，， ，， 同【问题背景】得：， ，，解得:， ， 答：信号塔的高度约为20m. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是自作出合理辅助线从而得到，则，再代入数据计算即可. 23. 已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把已知点代入方程解出即可得函数解析式； （2）设的坐标，由题意可知，四边形恰好是平行四边形只需，利用点的坐标计算的长度，进而解得的坐标； （3）求出的表达式，过点作轴与点，过作轴与，因为，可知直线和直线关于直线对称，得出和轴的交点点的坐标，可得直线的表达式，联立解得点的坐标，根据边长和角度的关系得出，分类讨论得到点的坐标. 【小问1详解】 把代入得： ，解得， 【小问2详解】 由可得直线解析式为， 设，则， ， ，要使四边形恰好是平行四边形，只需， ，解得， ； 【小问3详解】 在直线上存在点，使得与相似，理由如下： 是的中点，点，， 由（2）知，所以直线的表达式为， ，在直线上，， 过点作轴与点，过作轴与，如图： ，故， ， ， 所以直线和直线关于直线对称，设与x轴交于， ，， ，由点可得直线的表达式为， ，解得或， ，， ， ， ，， ， ，即， ，点和点对应点， 设，则， 当时，， ，解得或（在右侧，舍去）， ， 当时，， ，解得（舍去）或， ， 综上所述，的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$