精品解析：2023年福建省莆田市中考复习数学试题1

人教版2022-2023年福建省莆田市九年级中考复习卷1 一．选择题（共6小题） 1. 如图，、为的两条切线，，点是上一点，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°，即可解决问题． 【详解】解：连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，如图， ∵AB、AC是⊙O的切线， ∴OB⊥AB，OC⊥AC， ∴∠ABO=∠ACO=90°， ∵∠BAC=50°， ∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°， ∴∠BD′C=∠BOC=65°， ∴∠BDC=180°-65°=115°， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 2. 如图，一片树叶的叶脉长度为，P为的黄金分割点（），求叶柄的长度，设，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 3. 如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解. 【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°, ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°, ∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°. 故选：C. 【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段. 4. 如图，中的度数为，是的直径，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的知识，等边对等角，三角形内角和定理，由中的度数为可得出，由平角的定义求出，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵中的度数为， ∴， ∵是的直径 ， ∵， ∴， 故选：A． 5. 函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ） A. x1≠0，x2≠0 B. y1，y2 C. 若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D. 若y1＜y2，则x1＜x2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断． 详解】解：由图象可知，x≠0， ∴，，故选项A正确； ∵x≠0， ∴x2＞0， ∴＞0， ∴， ，，故选项B正确； 函数的图象关于轴对称， ∴若，则，故选项C正确； 根据函数的增减性可得：当时，若，则；当时，若，则，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 6. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 二．填空题（共10小题） 7. “一把钥匙一把锁”，请运用数学思维破译“密码”，小王同学目前已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，那么破译“正做数学”的真实意思是________________． 【答案】“祝你成功” 【解析】 【分析】根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， “今天考试”的真实意思是“努力发挥”，“今”所对应的字为“努”，是“今”字先向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到的“努”，其他各个字对应也是这样得到的， ∴“正做数学”后的真实意思是“祝你成功”， 故答案为：“祝你成功”． 【点睛】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是发现对应字之间的规律． 8. 我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石．验得米内夹谷，抽样取米一把，数得390粒内夹谷26粒，则这批米内夹谷约为_________石． 【答案】100 【解析】 【分析】由390粒内谷所占的比例来估计总体中谷的比例即可； 【详解】解：由题意得：1500×=100（石）， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了由样本估计总体，掌握样本与总体的联系是解题关键． 9. 如图，以锐角三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 10. 乐乐同学的身高为，测得他站立在阳光下的影长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】如下图，利用∠BCA=∠E，可得对应的正切值相等，转化为线段比可得BD长． 【详解】如下图，AB为乐乐身高，BD是乐乐手臂超出头顶部分，AC是乐乐站立在阳光下的影长，AE是乐乐举起手臂后的影长 根据题意，AC=83cm，AB=166cm，AE=103cm ∵是阳光照射的影长，∴CB∥ED ∴∠BCA=∠E ∴tan∠BCA=tan∠E，即： 解得：BD=40 故答案为：40 【点睛】本题考查三角函数的运用，解题关键是将题干抽象成数学模型，然后再利用三角函数的特点求解． 11. 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，以 AB为直径画半圆；以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则阴影部分面积为 ______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】设以为直径的半圆圆心是，连接，过点作于，根据计算即可． 【详解】解：如图，以为直径的半圆圆心是，连接，过点作于， 在中，，，， ，，， ，，是等边三角形， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积、等边三角形证明、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积． 12. 如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段，交于点D，E，连接．若点B关于的对称点恰好在上，则________． 【答案】-12 【解析】 【分析】根据，，，可得矩形的长和宽，易知点的横坐标，的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有的代数式表示出点的纵坐标和点的横坐标，由三角形相似和对称，可求出的长，然后把问题转化到三角形中，由勾股定理建立方程求出的值． 【详解】解：过点作，垂足为，设点关于的对称点为，连接、、，如图所示： 则， ，，， ∴∠DFA+∠EFG=90°，又∠DFA+∠ADF=90°， ∴∠ADF=∠EFG，又∠DAF=∠EGF=90°， ∴， ， ， ，，， ，， 、在反比例函数的图象上， ，、， ，， ，， ， ， 在中，由勾股定理：， 即： 解得：， 故答案为：-12． 【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键． 13. 在中，，，，以为边在外作等腰直角，连接，则长为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图1，， 延长，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：； 如图2，，过点作，垂足为点． ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 根据勾股定理得：； 如图3，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 综合以上可得的长为 或或． 故答案为：或或． 14. 在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于______． 【答案】2 【解析】 【详解】y=x向上平移1个单位长度可知直线为y=x+1，因为点A(A(a，2)在y=x+1上，所以a+1=2，解得a=1.即点A（1，2），把（1，2）代入反比例函数的得，解得=2． 15. 已知A（﹣4，2）是反比例函数图象上的一个点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将点A坐标代入解析式可求k的值． 【详解】∵A（-4，2）是反比例函数图象上的一个点， ∴k=-4×2=-8， 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足函数图象解析式是本题的关键． 16. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线的判定以及性质，勾股定理，由等腰三角形三线合一的性质可得出，再证明是的中位线，由三角形中位线的定理可得出， 利用勾股定理求出，进而求出，即可得出． 【详解】解：在中，，， ∴，即点E是线段的中点， 又点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，，，， ∴ 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 三．解答题（共9小题） 17. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若点F是边上一点，当时，求直线的解析式． 【答案】（1），E(2，2) （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得出C点坐标为(0，4)，再根据中点坐标公式可求出D点坐标．将D点坐标代入，即得出k的值，得出双曲线解析式为．根据题意可知，代入中，即可求出E点坐标． （2）根据题意可知OC=4，BC=2，BE=2，BD=1．设F点坐标为(0，a)，则CF=4-a．根据相似三角形的性质可知，代入数据即可求出，即得出F点坐标为(0，3)．设直线的解析式为，利用待定系数法求出其解析式即可． 【小问1详解】 ∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，且点B的坐标为(2，4)， ∴C点坐标为(0，4)． ∵D为BC中点， ∴，，即D(1，4)． ∵D(1，4)在双曲线的图象上， ∴， 解得：， 故双曲线的解析式为． ∵，点E在双曲线上， ∴， ∴E(2，2)； 【小问2详解】 根据题意可知OC=4，BC=2，BE=2，BD=1． 设F点坐标为(0，a) 则CF=4-a． ∵， ∴，即， 解得：， ∴F点坐标为(0，3)． 设直线的解析式为， ∵B (2，4)，F (0，3)， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 18. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5． （1）求m的值及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）5，， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题 ，解题的关键是掌握数形结合思想的运用 (1)先把把代入求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得m的值． (2)根据图象求得即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得，， ∴ ∵点在双曲线上， ∴， 【小问2详解】 由图象可知不等式为或． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若，AC＝5，求⊙O的半径长． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径长为． 【解析】 【分析】（1）由∠ACB=90°，AC=BC得∠B=∠A=45°，再由圆周角定理得∠DOC=90°，再由DF∥EC，即可证DF为⊙O的切线； （2）先证明∠CDF=∠A=45°，由∠CDF=∠A和∠ACD=∠DCF可证△ACD∽△DCF，从而有，再由、DF∥EC、AC=5得CF=3、AC=5，由此求出CD，再用勾股定理求出OC即可． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠A=45°， ∴∠DOC=2∠B=90°， ∴OD⊥CE， ∵DF∥EC， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：由（1）知，∠DOC=90°，OD=OC， ∴∠DCO=45°， ∵DF∥EC， ∴∠CDF=∠DCO=45°， ∴∠CDF=∠A， ∵∠ACD=∠DCF， ∴△ACD∽△DCF， ∴，即CD2=AC•CF， ∵，DF∥EC， ∴AF：CF=2：3， ∵AC=5， ∴CF=3，AC=5， ∴CD=， ∵CO2+OD2=CD2， ∴OC=， ∴⊙O的半径长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是证明△ACD∽△DCF、求出CD． 20. 如图，点为正方形的对角线上的一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，是的外接圆，连接．． （1）求证：是的切线； （2），，求半径的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接，根据正方形的性质证明可得，再根据等腰三角形的性质可以证明结论； （2）由，可得，再根据锐角三角函数和勾股定理即可得结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵正方形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键． 21. 如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针恰好指在分界线上，则重新转动转盘）． （1）求转出的数字大于3的概率； （2）小明和小凡做游戏．自由转动转盘，转出的数字是偶数小明获胜，转出的数字是奇数小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）转出的数字有6种结果，求转出的数字大于3的结果数，即可求解； （2）分别求出小明和小凡获胜的概率，即可判定． 【详解】解：转出的数字有6种结果，并且每种结果出现的可能性相同 （1）转出的数字大于3有4种结果，4、5、6、7 所以，P(转出的数字大于3) （2）小明获胜有3种结果，小凡获胜有3种结果 P(小明获胜)=，P(小凡获胜)= 因为小明和小凡获胜的概率相同， 所以这个游戏对双方公平 【点睛】此题考查了概率的有关求解，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键． 22. （1）在正方形中，G是边上的一个动点（不与重合，以为边在正方形外作一个正方形，连接，如图1.直接写出线段的关系________； （2）将图1中的正方形绕点C按逆时针方向旋转任意角度，得到图2的情形，试判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断； （3）将上面题中的正方形都改为矩形，得到如图3、图4，若，试判断（1）中的结论是否仍然成立？请以图4为例，简要说明理由． （4）在图4中，连接，若，直接写出的值_________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）成立，不成立，见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，由SAS证明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，延长BG交DE于H，由角的互余关系和对顶角相等证出∠CDE+∠DGH=90°，由三角形内角和定理得出∠DHG=90°即可； （2）根据正方形的性质及SAS推出△BCG≌△DCE．然后得出，推出BG⊥DE； （3）依题意得出AB=a，BC=b，CG=mb，CE=ma的线段比例，然后再推出∠CDE+∠DHO=90°即可； （4）延长DE交BG与点N，连接BD、EG，根据BG⊥DE及勾股定理得出，根据给出的数值求出及即可得出答案． 【详解】解：（1） 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°， 在△BCG和△DCE中， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE， 延长BG交DE于H，如图1所示： ∵∠CBG+∠BGC=90°，∠DGH=∠BGC， ∴∠CDE+∠DGH=90°， ∴∠DHG=90°， ∴BG⊥DE； 故答案：BG=DE，BG⊥DE； （2）仍然成立： 在正方形和正方形中， ， ， 延长交于M、交的延长线于N， 又 ， 即 （3）成立，不成立 在矩形和矩形中 ， 延长交于M、交于N， 又 ， 即 （4） 延长DE交BG与点N，连接BD、EG , ，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、勾股定理、相似三角形的判定及性质；熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点． 23. 我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为_____； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、黄金分割点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由黄金比值直接计算即可； （2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论； （3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论． 【详解】（1）AB=×20=（）(cm)， 故答案为：； （2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠D=90º， 由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10， 在Rt△CDE中，CE=， ∴EH=， 在Rt△GHE中， 在Rt△GAE中，, ∴， 解得：x=， 即， ∴是的黄金分割点； （3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点． 理由：∵， ∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º， ∴∠ABE=∠BCF， ∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC， ∴△BAE≌△CBF（ASA）， ∴AE=BF， 设AE=BF=x，则AF=a-x， ∵AD∥BC即AE∥PB， ∴即， ∴， 解得：或(舍去)， 即BF=AE=， ∴， ∴、分别是、的黄金分割点． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息的关联点，确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 24. 已知y关于x的二次函数y=x²-bx+b²+b-5的图象与x轴有两个公共点． （1）求b的取值范围； （2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值； （3）若在自变量x值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据（1）中的结论确定b的值，进而确定二次函数的表达式，然后根据与对称轴的位置关系，判断出函数的单调性，然后代入到二次函数解析式中即可求出m,n的值； （3）根据与对称轴的位置关系，分三种情况：①当，②当，取值范围在对称轴左侧，③当，即时，取值范围在对称轴右侧，数形结合进行讨论即可． 【详解】解：（1）由题意知， 即 ， ∴ 解得： ； （2）由题意，b=4，代入得：， ∴对称轴为直线． 又∵a=1>0，函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当x=时，， 当x=m时，y=， 解得：（不合题意，舍去）； ∴． （3） ，函数大致图象如图所示． ①当，即时， 函数y在顶点处取得最小值，有b-5=， ∴b=（不合题意，舍去） ②当，即时， 取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴当x=b+3时，y最小值=，代入得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴此时二次函数的解析式为： ③当，即时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当x=b时，y最小值=，代入得 ， 即， 解得：， ∴此时二次函数的解析式为：． 综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握根的判别式和二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象抛物线与轴相交于不同的两点，,且, （1）若抛物线的对称轴为，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若该抛物线与轴相交于点D，连接，且，抛物线的对称轴与轴相交点E，点F是直线上的一点，点F的纵坐标为，连接，满足，求该二次函数的解析式. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值； （2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则，列不等式可得c的取值范围； （3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：或，分两种情况，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角，根据已知的角相等可得，列比例式得方程可得a和c的值． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是：， 解得：； 【小问2详解】 由题意得二次函数解析式为：， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入中得：， 或 ∵， ∴或 ∴或 把代入中得： ∴ ∴ ∴，， ∵F的纵坐标为 ∴， 过点A作于G， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴. 把代入中得： ∴ ∴ ∴， ∵F的纵坐标为 ∴， 过点A作于G，如图所示， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称轴公式，解方程，三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，第3问有难度，利用特殊角的三角函数表示A、B两点的坐标是关键，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2022-2023年福建省莆田市九年级中考复习卷1 一．选择题（共6小题） 1. 如图，、为的两条切线，，点是上一点，则的大小是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一片树叶的叶脉长度为，P为的黄金分割点（），求叶柄的长度，设，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，中的度数为，是的直径，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ） A. x1≠0，x2≠0 B. y1，y2 C 若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D. 若y1＜y2，则x1＜x2 6. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A. B. C. D. 1 二．填空题（共10小题） 7. “一把钥匙一把锁”，请运用数学思维破译“密码”，小王同学目前已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，那么破译“正做数学”的真实意思是________________． 8. 我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石．验得米内夹谷，抽样取米一把，数得390粒内夹谷26粒，则这批米内夹谷约为_________石． 9. 如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为_______． 10. 乐乐同学的身高为，测得他站立在阳光下的影长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为___________． 11. 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，以 AB为直径画半圆；以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则阴影部分面积为 ______．（结果保留π） 12. 如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段，交于点D，E，连接．若点B关于的对称点恰好在上，则________． 13. 在中，，，，以为边在外作等腰直角，连接，则长为_______． 14. 在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于______． 15. 已知A（﹣4，2）是反比例函数图象上的一个点，则的值是________． 16. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，，如果F是边的中点，连接，那么的长是_______． 三．解答题（共9小题） 17. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若点F是边上一点，当时，求直线的解析式． 18. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，5． （1）求m的值及点B的坐标； （2）直接写出不等式解集． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若，AC＝5，求⊙O的半径长． 20. 如图，点为正方形的对角线上的一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，是的外接圆，连接．． （1）求证：是的切线； （2），，求半径的长． 21. 如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针恰好指在分界线上，则重新转动转盘）． （1）求转出的数字大于3的概率； （2）小明和小凡做游戏．自由转动转盘，转出的数字是偶数小明获胜，转出的数字是奇数小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 22. （1）在正方形中，G是边上的一个动点（不与重合，以为边在正方形外作一个正方形，连接，如图1.直接写出线段的关系________； （2）将图1中的正方形绕点C按逆时针方向旋转任意角度，得到图2的情形，试判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断； （3）将上面题中的正方形都改为矩形，得到如图3、图4，若，试判断（1）中的结论是否仍然成立？请以图4为例，简要说明理由． （4）在图4中，连接，若，直接写出值_________． 23. 我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为_____； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 24. 已知y关于x的二次函数y=x²-bx+b²+b-5的图象与x轴有两个公共点． （1）求b的取值范围； （2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值； （3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式． 25. 如图，已知二次函数的图象抛物线与轴相交于不同的两点，,且, （1）若抛物线的对称轴为，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若该抛物线与轴相交于点D，连接，且，抛物线对称轴与轴相交点E，点F是直线上的一点，点F的纵坐标为，连接，满足，求该二次函数的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$