精品解析：福建省福州第一中学提前招生考试数学试卷

全真考试卷（十四） 福建省福州第一中学提前招生考试试卷 数学 满分80分，考试时间80分钟 一、选择题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 1. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是能够熟练运用公式进行变形计算．将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 2. 现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件概率，掌握画树状图或列表法是解题的关键． 运用画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来如图所示，分别用表示， ...... ...... ...... ...... ...... 共有种等可能结果，其中能发生复分解反应（酸和碱混合时会发生复分解反应）的是，，，，，，共种， ∴会发生复分解反应的概率为， 故选：C ． 3. 在中，和均为锐角，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题关键．过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 则． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 故选：A． 4. “无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三；”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军；”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（ ） A. （1）班 B. （2）班 C. （3）班 D. （4）班 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查推理与论证，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：假设甲说的“（3）班得冠军”是正确的，那么丙说的“（4）班得冠军”是错误的， 那么“（1）班得第四”就是正确的，那么乙说的“（1）班得第三”是错误的， “（3）班得亚军”是正确的，这与甲说的“（3）班得冠军”相矛盾， 故甲说：“（3）班得冠军”是错误的， ∴甲说：“（4）班得第三”是正确的； 那么丙说的“（4）班得冠军”是错误的，“（1）班得第四”就是正确的， 那么乙说的“（1）班得第三”是错误的，“（3）班得亚军”是正确的， 这样三人都猜对了一半，且没矛盾，故得冠军的是（2）班． 故选：B． 5. 如图，在矩形中，分别与三边相切于点．若过点作的切线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，，过点作于点，根据切线的定义可知，，，与相切于点，再根据矩形的四个角都是直角，可证：四边形为正方形、四边形为矩形，从而可知，，，设，根据切线长定理可得则，，，利用勾股定理可列方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接，，，过点作于点， 由题意得：，，，与相切于点， 点，，在同一直线上，，， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 设，则，， ， 在中，， 即， 解得， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、切线长定理．解决本题的关键是根据图形的性质找到线段之间的长度关系，利用勾股定理列方程求解． 6. “剪纸”是我国一项传统民间艺术．现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（ ） A. 88刀 B. 89刀 C. 90刀 D. 91刀 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和及一元一次不等式，规律探究，掌握多边形内角和定理，找出剪出多边形的性质是解题的关键． 根据每剪一次，各部分的内角和将共增加的规律，以及剪过之后的各部分内角和最小为，据此列出不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一次，各部分的内角和将共增加， ∴设一共剪了刀，则可得个多边形，这些多边形的内角和一共为， ∵这个多边形中有9个十三边形，它们的内角和为， ∴其余多边形有（个），它们的内角和， ∴， 解得， ∴至少要剪89刀． 故选：B． 二、填空题（本题有4小题，每小题4分，共16分） 7. 若不等式组的解集为，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，掌握不等式的性质求解，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别解出不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：不等式组的解集为， ∴， 故答案为： ． 8. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，适当的把有关式子变成完全平方的形式是解题关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如图，四边形的顶点都在坐标轴上，且与的面积分别为4和9．若双曲线恰好经过的中点，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行线的性质得，两个对应角相等证明，其性质得，设，则，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出，线段的中点，反比例函数的性质即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得： 或 (舍去)， 设点A、B的坐标分别为，则， ∴， ∵， ∴点C的坐标为， 又∵点E是线段中点， ∴点E的坐标为， 又∵点E在反比例函数上， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值． 10. 若函数图象的一条对称轴为直线，则的值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，令，得到，，由函数的对称轴得到当时，该一元二次方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，求出的值，由此即可求解． 【详解】解：令， ∴，， ∵该函数图象的一条对称轴为直线， ∴根据对称性，得该函数的另外两个根为， ∴当时，该一元二次方程的两个根为， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：11． 三、解答题（本题有4小题，共40分） 11. 解决下列问题： （1）计算：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，实数的运算等知识，解答本题的关键是掌握分式的混合运算法则，实数的混合运算法则． （1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算即可； （2）先计算括号里边的，再计算乘除，最后代入的值计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式， ， 原式． 12. 已知关于的方程有两个不相等的正实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用，分式的加法运算．掌握相关知识是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的正实数根，，根据根的判别式以及根与系数的关系可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）将原式整理得：，利用根与系数的关系可分别表示出与的值，再代入化简的式子可得：，即可求解． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的正实数根，， ①，②，③． 由①得， 整理得：， 取任意实数均成立． 由②得：， 解得：． 由③：得， 解得：． 综上，； 【小问2详解】 ． ，， 原式 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 13. 如图，是的一条弦，过点分别作的垂线，点为上一点，过点作的切线交上述垂线于点，连接交于点． （1）若是的直径，求证：； （2）若不是的直径，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举例说明． 【答案】（1）见解析； （2）成立，证明见解析． 【解析】 分析】（1）连接，可证，得到，同理，，则，则，可证明，得到，则，由，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆周角定理，切线的性质等可得，，，，可证明，，则有，即，所以有，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵是的直径，，， ∴是的切线， ∵过点作切线交上述垂线于点，即点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：成立，理由如下， 证明：如图2，延长交于点，连接， ∵为的直径， ， ，， ∵为的切线， ， ，，，， 又，， ，， 均为的切线， ， ∴，， 又， ，， ，， ，即， ∴， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论等，解题的关键是添加恰当的辅助线，构造相似三角形，从而利用相似三角形的性质求解． 14. 已知：抛物线与轴交于两点，且顶点为，直线经过两点．将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线，其顶点为，且抛物线与直线的另一个交点为，与轴交于两点（点在点右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点作的平行线交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，函数图象平移的相关知识等， （1）先求出直线，根据顶点过直线，求出，最后代入抛物线解析式求解即可； （2）先证出，得到，再将抛物线沿射线平移转化为抛物线是由抛物线分别向右和向上平移个单位长度得到，将分别用含的代数式表示出来，将其代入求出的值，进而求解． 【小问1详解】 解：直线过点， ， 解得， ∴， ∵抛物线与轴交于两点，且顶点过直线， ∴对称轴为直线， ∴ ． 将代入， 得 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， ∵抛物线沿方向的平移可以看作分别向右和向上平移个单位长度， ∴平移后得到的抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点， ∴ 联立得， 整理得， 解得（此时即为点）或， ∴， 令，解得， ∴ ， ， 令，则， ∴原方程可化， 整理，得， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全真考试卷（十四） 福建省福州第一中学提前招生考试试卷 数学 满分80分，考试时间80分钟 一、选择题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 1. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 或1 2. 现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应概率为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，和均为锐角，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. “无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三；”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军；”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（ ） A. （1）班 B. （2）班 C. （3）班 D. （4）班 5. 如图，在矩形中，分别与三边相切于点．若过点作的切线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. “剪纸”是我国一项传统民间艺术．现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪（ ） A. 88刀 B. 89刀 C. 90刀 D. 91刀 二、填空题（本题有4小题，每小题4分，共16分） 7. 若不等式组解集为，则实数的取值范围为_______． 8 化简：______． 9. 如图，四边形的顶点都在坐标轴上，且与的面积分别为4和9．若双曲线恰好经过的中点，则的值为_______． 10. 若函数图象的一条对称轴为直线，则的值是_______． 三、解答题（本题有4小题，共40分） 11. 解决下列问题： （1）计算：； （2）当时，求值． 12. 已知关于的方程有两个不相等的正实数根，． （1）求实数取值范围； （2）求的最大值． 13. 如图，是的一条弦，过点分别作的垂线，点为上一点，过点作的切线交上述垂线于点，连接交于点． （1）若是的直径，求证：； （2）若不是的直径，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举例说明． 14. 已知：抛物线与轴交于两点，且顶点为，直线经过两点．将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线，其顶点为，且抛物线与直线的另一个交点为，与轴交于两点（点在点右边）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，过点作的平行线交轴于点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$