精品解析：河南省郑州市金水区河南省实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试卷

2024-2025学年九年级上期开学数学评估试卷 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个边形的内角和为，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 8. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知 则代数式 的值为__________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 14. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 15. 如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （2）阅读时间在范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于40min的人数有______人； （3）A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 18. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）①当________时，四边形为菱形． ②当________时，四边形为矩形． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 20. 某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度． 【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上． 【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上． 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度． 21. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）设直线与轴交于点，若为轴上的一动点，连接，，当的面积为时，求点的坐标． 23. （1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图，在正方形中，点E、F分别在边上，，求证：． 小华同学给出了如下的部分证明过程． 证明：延长到点P使，连接， 四边形是正方形， ， 在和中， ，…… … 请你完成剩余的证明过程． （2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了和两个条件，请求出正方形的边长． （3）拓展探究：如图，在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，，连接交于点F，动点G在边上，动点P在线段上（点P与A，F不重合），且，连接并延长，交射线于点H，设，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级上期开学数学评估试卷 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A．，正确，故本选项不符合题意； B．若，，则，不正确，故本选项符合题意； C．，正确，故本选项不符合题意； D．，正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 若一个边形的内角和为，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值． 【详解】解：这个多边形的边数是， 则， 解得：． 故选：D． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法是解题的关键．将多项式写成几个整式的积的形式，叫做因式分解，根据定义解答即可． 【详解】解：A．，等号右边不是整式乘积的形式，因此不是因式分解，，故本选项不符合题意； B．，属于多项式乘多项式，因此不是因式分解，故本选项不符合题意； C．，是因式分解，故本选项符合题意； D．不是同类项无法合并，因此不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 方程有两个不等实根． 故选：A． 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 8. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶D． 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知 则代数式 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，然后代入代数式化简解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答． 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法． 【详解】解； ． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 14. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 15. 如图，在Rt中，，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在点处，当与的边平行时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分平行和平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，则，如图， 在中，，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行， ∴四边形是平行四边形， ∴, 由折叠的性质得， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）方程无实数根 （4）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再两边同时加上4，用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）将右边进行因式分解，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴原方程没有实数根； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （2）阅读时间在范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于40min的人数有______人； （3）A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由调查的学生人数乘以C组所占的比例得出a的值，再由乘以B组所占的比例即可； （2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可； （3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 统计图中B组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 阅读时间在范围内的数据的众数是， ， 全校600名同学课外阅读时间不少于40min的人数有人， 故答案为：，； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有6种， 恰好选择一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 18. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）①当________时，四边形为菱形． ②当________时，四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：根据题意，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行四边形的判定证明即可； （2）①根据菱形的性质得出相应方程求解即可；②由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴要使平行四边形为菱形，则， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形， 故答案为：． ②解：∵，， ∴当时，四边形为矩形. ∴，， ∴，即 解得， 故答案为：． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 20. 某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度． 【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上． 【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上． 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度． 【答案】古塔的高度为39米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．先证明得，即，再证明得，即，解出即可． 【详解】解：由题可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 同理， ∴， 即：， 解得：，， ∴古塔的高度为39米． 21. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个 （2）最少需要购买甲种分类垃圾桶个 【解析】 【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个， 由题意可知：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合题意 （元/个） 答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个； 【小问2详解】 解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个， 由题意可知：， 解得， 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）设直线与轴交于点，若为轴上的一动点，连接，，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质， （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）先求出，，表示出，根据，可得，解方程即可求解． 【小问1详解】 ∵图象经过， ∴，即， ∴， ∴反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 由图可得，不等式的解集是或； 【小问3详解】 设直线交轴于点， 在中，当时，， ∴， 当时，得， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 23. （1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图，在正方形中，点E、F分别在边上，，求证：． 小华同学给出了如下的部分证明过程． 证明：延长到点P使，连接， 四边形是正方形， ， 在和中， ，…… … 请你完成剩余的证明过程． （2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了和两个条件，请求出正方形的边长． （3）拓展探究：如图，在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，，连接交于点F，动点G在边上，动点P在线段上（点P与A，F不重合），且，连接并延长，交射线于点H，设，请直接写出m的取值范围． 【答案】 （1）证明：延长到点P使，连接， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 又 ， 在和中， ， ， ． ， 即； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）延长到点P使，连接，先证明，则．推导出，再证明，则，即可得到结论； （2）设正方形的边长为a，得到在中，，代入解方程即可得到答案； （3）过点G作于点M，则，解直角三角形得到，，进一步得到，，得到，再证，则，得到，由，则，得出，则由动点P在线段上（点P与A，F不重合），得到，则，进一步即可得到答案． 【详解】（1）略． （2）设正方形的边长为a， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴正方形的边长为6； （3）解：过点G作于点M， 则， 在中，， ， ， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵动点P在线段上（点P与A，F不重合）， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，综合性较强，数形结合和准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $