精品解析：江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一上学期第二次月度检测（12月）数学试题

树人学校2023-2024-1高一年级第二次月度检测 数学 2023.12 （分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 的化简结果为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 设函数则（    ） A. B. C. D. 4. 满足的角的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论正确的是（ ） A. 不相等的角终边一定不相同 B. ，，则 C. 函数的定义域是 D. 对任意的，，都有 7. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则的最大值为 B. 若，则函数的最大值为 C. 若，，，则的最小值为 D. 函数的最小值为 11. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 最多一个零点 C. D. 若实数a满足，则 12. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为10 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的半径是________． 14. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______． 15. 已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则______. 16. 已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数自变量的取值范围为集合，集合． （1）若全集，，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 18. （1）计算：． （2）计算：． （3）已知是第四象限角，化简． 19. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 20. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）设，试比较与的大小； （3）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数（且）. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）已知，若，，使得，求实数的取值范围. 22. 已知且是上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树人学校2023-2024-1高一年级第二次月度检测 数学 2023.12 （分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用角的旋转求出该角为第几象限角． 【详解】是第三象限角， 故选：C． 2. 的化简结果为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解： . 故选：B. 3. 设函数则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断自变量的范围，选择对应解析式求解. 【详解】因，故，又成立，故， 又因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 4. 满足的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的图像性质即可求解. 【详解】. 故选：D. 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除利用排除选项即可. 【详解】因为， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除; 又，排除. 故选： 6. 下列结论正确的是（ ） A. 不相等的角终边一定不相同 B. ，，则 C. 函数的定义域是 D. 对任意的，，都有 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数与三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，例如角的终边相同，但不相等，故错误； 对于B选项，，，则，故正确； 对于C选项，由题，解得，即定义域是，故错误； 对于D选项，对数不存在该运算法则，故错误； 故选：B 7. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以在上有解，所以， 而一元二次函数在时取最大值， 即解得， 故选：A 8. 已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在， 上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】解：由在上单调递减，得， 又由且在上单调递减， 得，解得，所以， 作出函数且在上的大致图象， 由图象可知，在上，有且仅有一个解， 故在上，同样有且仅有一个解， 当，即时，联立，即， 则，解得：， 当时，即，由图象可知，符合条件． 综上：． 故选：C． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将平方后，解得，联立方程组分别算出，从而判断每个选项. 【详解】，两边同时平方可得， 即，解得，A选项正确； ， 为锐角，于是，则，B选项正确； 由，可得，，则， 注意到，则，故C错误，D正确. 故选：ABD 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则的最大值为 B. 若，则函数的最大值为 C. 若，，，则的最小值为 D. 函数的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式及其变形处理. 【详解】对于选项A，，，，则，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，即A错误； 对于选项B，当，则函数 ，当且仅当即时取等号，即B正确； 对于选项C，若，，，则，即，即，则的最大值为，即C错误； 对于选项D，函数，当且仅当，即时取等号，即D正确， 故选：AC. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查和的最值及乘积的最值，难度一般,解答时，注意“一正二定三相等”. 11. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 最多一个零点 C. D. 若实数a满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由偶函数在对称区间上的单调性判断；B.举例判断；C.由偶函数得到 ，再利用单调性判断；D. 由偶函数得到 ，再利用单调性求解判断； 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故A正确； 如，令，得或，函数有2个零点，故B错误； 由偶函数得到 ， 因为，所以，故C正确； 若实数a满足，即，则，解得，故D正确； 故选：ACD 12. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确. 【详解】画出的图象如下图所示， 由于关于的方程有四个不等实根，，，， 由图可知，故A选项正确. 由图可知关于直线对称，故， 由解得或， 所以， ，当时，，所以B选项错误. 令，，， ，是此方程的解， 所以，或， 故 ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 由图象可知， ，，， 由，解得或， 由，解得或， 所以， ①. 令或， 所以①的等号不成立，即，故C选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的半径是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可以直接求解. 【详解】设扇形的圆心角为,半径为,扇形的面积公式为： . 故答案为：2 【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力. 14. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答. 【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3， 又函数在上单调递减，则， 所以实数m的值为-3. 故答案为：-3 15. 已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】由图象平移变换和指数函数的性质可得点A坐标，然后结合反函数的性质列方程组可解. 【详解】函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为，又的反函数过点，所以函数过点，所以，解得，所以. 故答案为：8 16. 已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，通过题干条件得到为奇函数，且在R上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以设， 则， 所以为奇函数， 因为，都有， 当时， 则有，即， 所以， 所以在上单调递增， 当时， 则有， 所以， 所以在上单调递增， 综上：在上单调递增， 因为为奇函数， 则在R上单调递增， 变形为：， 即， 所以，解得：. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设函数自变量的取值范围为集合，集合． （1）若全集，，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】 【分析】（1）求出集合A，B，进而可得； （2）根据条件可得，分，讨论，列不等式求解即可. 【详解】解：（1）要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为． 所以集合． 又，∴， 因为全集， ∴或 或； （2）由（1）得，若是的充分条件，即， ①当时，，即，∴， ②当时，，， 综上所述：的取值范围为． 18. （1）计算：． （2）计算：． （3）已知是第四象限角，化简． 【答案】（1）；（2）0；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂和对数的运算化简计算； （2）利用诱导公式化简计算即可； （3）利用同角三角函数的关系化简即可. 【详解】（1） ； （2） ； （3） ， 因为是第四象限角， 所以， 所以原式. 19. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义及诱导公式化简计算得解. （2）由已知及（1）中信息，利用诱导公式求出，即可得解． 【小问1详解】 依题意，，，， 所以 . 【小问2详解】 依题意，，则，， 所以. 20. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）设，试比较与的大小； （3）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，当时即 ； （3）存在，和，理由如下： 假设存在实数，使得函数在区间上的最小值为， 因抛物线的对称轴方程为，则， ①当，即时，函数在区间上的最小值 ， 整理得，解得，符合题意； ②当，即时，函数在区间上单调递增， 故， 整理得， 解得或，其中不合题意舍去； 综上：存在和使得函数在区间上的最小值为 【解析】 【分析】(1)根据二次函数的单调区间即可求出参数a； (2)对P和Q分别计算化简，利用作差法即可比较P和Q的大小； (3)分类讨论二次函数的对称轴与-10、-4、-2的位置关系，求出对应的a值即可. 【小问1详解】 ∵抛物线的对称轴为, 又函数在区间上单调递增， ∴，即； 【小问2详解】 ∵ ， ， ∴， ∴当时， 当时即 ； 【小问3详解】 略 21. 已知函数（且）. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）已知，若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）是偶函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义可判断出结果； （2）根据基本不等式以及对数函数的单调性可求出结果； （3）将，使得，转化为，利用换元法求出，分类讨论，利用函数的单调性求出的最小值，代入可求出结果. 【小问1详解】 因为且，所以其定义域为R， 又， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 当时，，因为,,当且仅当，即时取等， 所以, 所以函数的值域为. 【小问3详解】 ，，使得， 等价于， 令，，， 令， 则在上的最小值等于在上的最小值， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，所以. 因为为偶函数， 所以在上的最小值等于在上的最小值， 设， 则， 任取， ， 因为， 所以，，，，， 所以，， 所以在上为单调递增函数， 当时，函数在上为单调递减函数， 所以， 所以，得（舍）； 当，函数在上为单调递增函数， 所以，所以，. 综上得：实数的取值范围为. 22. 已知且是上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； （3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，正整数或2. 【解析】 【分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案； （3）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出；再根据，从而只需求即可. 【小问1详解】 ∵是上的奇函数，∴， 由，可得，， ∵，∴，，所以. 又，所以为奇函数. 所以. 【小问2详解】 因为，所以在上单调递增， 又为上的奇函数， 所以由，得， 所以，即恒成立， 当时，不等式为不能恒成立，故不满足题意； 当时，要满足题意，需，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 把区间等分成份，则等分点的横坐标为，， 又，为奇函数， 所以的图象关于点对称，所以，， 所以 ， 因为，所以，即. 故存在正整数或2，使不等式有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $