精品解析：福建省福州市鼓山中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

鼓山中学2023—2024学年第一学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 命题人：陈建华 审核人：陈志 第一卷（选择题，共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（   ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ） A. 9 B. 24 C. 4 D. 6 8. 已知函数，若，且，设，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．完全正确得5分，漏选得2分，错选或不选不得分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，，则 D. 函数的单调递增区间为 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知函数为奇函数，且当时，，则下面说法正确的是（ ） A. B. 的解析式为 C. 在上有最小值 D. 的单调递减区间为 12. 记，已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的定义域是______. 14. 函数的值域为__________． 15. 已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是______. 16. 若函数，满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．17题10分，18~22每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算； （2）化简. 18. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）在坐标系中画出函数的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 20. 已知函数是定义在上的函数． （1）用定义法证明函数在上是增函数； （2）解不等式． 21. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 22. 已知. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鼓山中学2023—2024学年第一学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 命题人：陈建华 审核人：陈志 第一卷（选择题，共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式然后结合交集的概念即可得解. 【详解】不等式，解得，即， . 故选：D. 2. 下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】解：对于A，函数在定义域内不单调，故A错误; 对于B，函数是奇函数，在定义域内单调递减，故B正确； 对于C，因为，函数为奇函数，函数在R上单调递增，故C错误； 对于D，函数是奇函数，在定义域内单调递增，故D错误. 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 5. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 6. 若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】关于的不等式的解集为，根据韦达定理求得，，在关于的不等式的两边同除以，得，即可求得答案. 【详解】关于的不等式的解集为， ，且1，3是方程的两根， 根据韦达定理可得：，， ，， 在关于的不等式的两边同除以， 得， 不等式变为， 解得： 不等式的解集为：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式，解题关键是掌握一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 7. 已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ） A. 9 B. 24 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为函数图象恒过定点 又点A的坐标满足关于的方程， 所以，即 所以 ，当且仅当即时取等号； 所以的最小值为4． 故选：C． 8. 已知函数，若，且，设，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，由题意可得，且，，结合图象求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】解：如图，作出函数的图象， 且，则，且， ，即， 由图可得，解得， ， 所以当时，， 即的最大值为. 故选：C． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．完全正确得5分，漏选得2分，错选或不选不得分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可判定A，利用基本不等式可排除B，利用奇偶性可判定C，利用复合函数的单调可判定D. 【详解】对A：由特称命题的否定形式可知A正确； 对B：易知， 由基本不等式知， 当且仅当，即时能取得等号，显然不成立，故B错误； 对C：易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； 对D：令，显然在上单调递减， 而是定义域上的减函数， 根据复合函数的单调性知函数的单调递增区间为，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 11. 已知函数为奇函数，且当时，，则下面说法正确的是（ ） A. B. 的解析式为 C. 在上有最小值 D. 的单调递减区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用奇函数性质可判断选项正误；B选项，注意到不一定为0； C选项，利用在时的最大值可判断选项正误；D选项，由函数单调区间书写规则可判断选项正误. 【详解】A选项，因为奇函数，则，A正确； B选项，因本题并无强调是上奇函数，所以时可能没有定义，B错； C选项，当时，，又为奇函数，则时，有最小值，故C正确； D选项，函数出现两个或两个以上相同性质的单调区间时，中间用逗号或汉字和连接，不能用并集符号.故D错误. 故选：AC． 12. 记，已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式有，解不等式可得的最值，进而由可知的最值情况，又，可得，可得最小值，而可确定最小值，进而判断各选项. 【详解】由题意，结合基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，设，则，解得，即有，故A选项正确； 而，故B选项错误； 又，所以，当且仅当时，等号成立，故C选项正确； 又，所以当时，有最小值为，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可． 【详解】要使函数有意义， 则， 解得且，， 故函数的定义域为， 故答案为：． 14. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 15. 已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 16. 若函数，满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出函数为减函数，再根据分段函数的单调性来列出不等关系，求出结果 【详解】因为，所以在R上是减函数， 当时，，对称轴为，分段函数要满足在上单调递减，需要满足 ，解得：. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．17题10分，18~22每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算； （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 18. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论B是否为空集计算即可； （2）利用补集、并集的概念化条件为，计算即可. 【小问1详解】 若，则，即时，此时显然符合题意； 若，则，要满足，则，解得， 综上所述实数a的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可知若，则， 所以有，解之得， 则实数a的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）在坐标系中画出函数的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）的图象如图： （3） 【解析】 【分析】（1）用代入法求出当时的表达式，即可得到函数的解析式； （2）直接作出二次函数的图象，即可得到的图像； （3）由函数的单调递增区间列不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，，， 函数为奇函数，， 函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知，函数的单调递增区间是. 要使在上单调递增，则， 解得，实数的取值范围是. 20. 已知函数是定义在上的函数． （1）用定义法证明函数在上是增函数； （2）解不等式． 【答案】（1） 对于任意的，且， 则：， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数； （2） 【解析】 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 21. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 【答案】（1）车流密度的取值范围是 （2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案； （2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案. 【小问1详解】 解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时）， 代入，解得， 所以. 当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是. 【小问2详解】 解：由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， . 当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 22. 已知. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2） 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）整理后分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出答案； （2）因式分解后得到，对进行分类讨论，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 变形得到对一切实数x恒成立， 当时，，不对一切实数x恒成立，舍去； 当时，则需，解得， 综上，实数a的取值范围是； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以， 因为， 所以当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $