湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中2024-2025学年高二上学期8月月考数学试卷

汉阳一中、江夏一中2023级高二年级8月月考 数学试卷 命题学校：二阳一中命愿敏师：陆冬丽瑰李银审愿敢师：毛水国 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个远项中，只有一项是符 合超目要求的. ·.1.在空间直角坐标系中，a=1,2,1)为直线1的一个方向向量，n=(21,4)为平面“的一个法向 量，且11la,则r=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.已知直线a,b与平而x,B,Y,能使a⊥B的充分条件是() A.a/1a,a⊥BB.a⊥y3⊥ ,a11B R.a∩B=a,上 3已知事件4B互斥，它们郴不发生的概率为，且P(1)=2P(B),则P(元=() B. 4-9 as 4.己知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球.4个红球，各个球的大小与质地相同. 现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中 取出的2个球的颜色不相同的概革相停，则x=() A.2 C.6或2 D.8或4 5.水平放登的△ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所 示的△A'BC,其中0A=OB=2,OC=V3,则△ABC 绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为() A.8v3 B.(8V3+3) C/16V3m D.(16V3+12)a 6.矩形ABCD中，AB=l,BC=√2，E是边BC的中点，AE和BD交于点M,将△ABE沿AE折 起，在翻折过程中当AB与MD垂直时，异面直线BA和CD所成角的余弦值为() A B.4 7.已知EF是梭长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足M匠MF=40,AB是正方 体的一条棱，则AM.AB的最小值为() A.16(W2-4 B.16(2-V2) C.164-V2) D.162-2 高二致学试卷 第1页 共4页 1/4 8.在四按徘PAB(D中，ADm2,A化aCC)-I,D/C,且以-化，n-P吧，期直 闺PA封平面PD所成角的正收值的最大值为(） N e D.1 二、多项选择题：木大圈共3小题，付小题6分，共18分在小题给山的选中， 有多项符合题日要求全部迹对的得6分，部分选对得都分分，有选错得0分， 9.设人，B为古典概率投型中的阿个加机非件，以下命题正确的为() A.若P(小-子P()号喇当A仪当P(+)-名制，元B是红斥件 B.若P)-子，P)子则A+B热6然件 C.若P()写，P(@)~子则P(A+))时4D是预立事件 D.若P(团=P(-子，且P()m子则4B是独立亦件 10.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350Kw,b之 间，进行适当分组后（创组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中入个 小矩形的面积从左到佑依次为品，(1=1,2，“，6)，则() A,x的值为0.0044 频米/阻 0.000*4+ B.这100户居民该月用电量的中位数为175 0.0036-… 0.0024 G.用电量落在区间150,350)内的户数为75 0.0012 05010015020025030350月用电6/%Wb, D.这100户居民该月的平均用电是为丁(50+25城 IL.己知正方体dBCD-48CD,的核长为l,点P满足BP-BC+BB,其中1e[0,He0,, 点E、分别是DD、4D,的中点，下列选项不正确的是() A.当入=1时，△ABP的而积为定值 1 B.当+H=)时，三棱锥P-CEF的休积为定值 C.存在0<“<1<1使得AD与平面ABP所成的角为45 D.当u=号时，存在点P,.使得4B1平面BP 2 高二数学试卷 第2页共4页 2/4 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本愿共3个小题，每小思6分，共15分. 12.一组数据：1,2,3,4,5,5,5,6,6，才8,9,9,10的众数为0，第三四分位数为b, 则a+b=: 1,5 13.11分制乒乓球比赛，每高一球得1分，当某局打成10：】0后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获能，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比类，假设甲发球时甲将分的概率为子， 乙发球时乙得分的概率为：各球的结果相互独立在茱局打成10：10后，甲先发球，则甲以13：1山 获胜的概率为一 14.已知三梭锥S-ABC中，顶点S在底面的射影恰好是△ABC内切圆的图心，底面ABC的 最短边长为6.若三个侧面面积分别为3、29,429,529，则顶点S到底面ABC的距离为 ；三梭锥S一ABC的外接球的表面积为 四、解答题：本大题共5小愿，共77分。解答应写出文字说明，正明过程或演算步臻， 15.甲、乙两人组成“队“多加绡成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猪对的 概率为}，乙每轮箭对的，率为号在每轮活动中，甲和乙缩对与否互不影响，各轮结果也互不 3 影响求 (1)甲在两轮活动中怡好射对一个成语的极率： (2)“星队“在两轮活动中猜对3个成语的概率. 16.如图，EL平面BCD,GFE.D1BC,D18=AD-LE=8C=2GF=号 (I)求证：BF∥平面ADE: E (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值： (3)求二面角E-BD-F的正弦值 3/4 17.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛，从所有答卷中随 机抽取100份作为样本，将样本的成锁（满分100分，成绩均为不低于40分的整致）分成六段： [40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. 4领率组距 (1)求须率分布直方图中a的值： 0.025 0.020 (2)求样本成绩的第80百分位数： 0.015 0.010 (3)已知落在[50,60)的平均成续是51，方差是7，落在[60,70)的 0.005 平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差。 405060708090100分数 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60,△PAD是正 三角形，E为线段AD的中点. (I)若PB中点为G,求证：EG∥平面PCD: (②)若平面PAD⊥平面ABCD,点F为平面PCD上的动点， ①当点F恰为PC中点时，求异面直线PD与BF所成角的余弦值： ②若点H是平面PBE内的动点，求DH+FH的最小值， 19.为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛 选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解 密机会.已知甲每次解开密码的概率为 (sas1), 乙每状解开密码的概率为A行≤B<小， 每次是否解开密码也互不影响.设4={甲成功解密一份文件}，A={伊成功解密两份文件}， B=‘7,成功解密一份文件)，B,=7成功解密两份文件} 尼知概串P(4)=居P(a,)号 (i)求%，B的值. ()求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的凝率。 2若之+日-3，求甲、乙两次鳞密过程中一共解开密码三次的概车最小值。 a B 他。细 4/4高二数学企考答案 1A2.A3.C4.C5.c6.D7.B8.C 8.【详解】取AD中点O,连接PO、BO、CO,设CO与BD交于F,连接PF, 在愿梯形ABCD中，由AO1/BC且BO=BC=CD=OD, 故四边形DOCB为菱形，所以BD⊥CO,又PB=PD,且F为BD的中点， 所以BD⊥PF,又PF∩CO=F,所以BDL平面PCO,BD⊥PO, 连接AC交B0于G,连接PG,同理可得AC⊥平面PBO,所以AC⊥PO, 因为BD,AC相交，所以PO⊥平面ABCD, 过O作OH⊥P℉交PF于H,由BDI平面PCO. 故BD⊥O附，又PF∩BD=F,所以OH⊥平面PBD, D 设P0.0F=号8=宁故0H了又0-20D, 21 Q 故点A到平面PBD的距离d=20H=一21 40+ 设直线PA与平面PBD所成角的大小为0，则 如6-岛Fi 21 2 2 2 y4++5 435当且仅当片即！=号时取等号， 2 故直线PA与平面PBD所成角的正弦位的最大值为号， 9.ACD 10.AD 11.ACD 12.13 136 14.①.5 ②.101r 15.(a 2 )设4装示甲两轮霜对1个成瑞的事件，则P4)-子号 (2)设4，A,分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B,B分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的 Pa)-号-Pa)--号 设A="两轮活动"星队'猪对3个成语”，则A=AB,UAB,且A8与4，B互斥，4与B,A与B分别湘 独立，所以P(4=P(4,)+PA)=P(A)P(B,)+P(6)P(a)=+号×= 8916912 因此，“墨队“在两轮活动中猪对3个成语的极率是 2 1 1/4 16.【答案】(1)证明见解折②号% 【详解】(I)因为CFIIAE,CFa平面ADE,AEc平面ADE: 所以CF∥平面ADE,同理可知：CB∥平面ADE, 因为CF∩BC=C,所以平面BCFI平面ADE, 因为BFc平面BCF,所以BF∥平面ADE (2)建立如图所示的空间直角坐标系2， 则B1.0,0,D0,10.E0.0,2》.c12,0,F1,2g 得D=（-11,0,BE=（-10,2,C正=（-1，-2,2,8F=0,2,8 设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量， BD=0 -x+y=0 则有 8E=0' 得 -x+2=0'所以万=(220， CE -1×2-2×2+2×14 设直线CE与平面BDE所成角为0，所以sin0=kosC远，训 V1+4+4×V4+4+19 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 (3)设m=(a,b,c)为平面BDF的法向量， m·BD=0 -a+b=0 则有 得 mBF=0 2b+c=0' 8 所以m=(4,4-7),所以0s<mn>2X4+2x4-1=1 9×V8131 所以二面角E-BD-F的正弦值为 22 3 17.【答茶】(1)0.030 (2)86 (3)59,37 【详解】(1)每组小矩形的面积之和为1， ∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,.a=0.030. (2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.8， 成绩落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9>0.8， ∴.第80百分位数落在80,90)内， 设第80百分位数为m,则0.65+(m-80)×0.025=0.8,解得m=86,即第80百分位数为86. (3)由图可知，成绮在[50,60)的人数为100×0.1=10， 2/4 成绩在[60,70)的人数为100×0.2=20， 故两组成绩的总平均数为10×51+20×63=59， 10+20 总方差为10+20[10x(51-59+10x7+2063-59+20x4]=37. 18.【答案】(1)证明见解析20而，②2压 20 5 【详解】(1)取PC中点2，连接2D, ~E为线段AD的中点，G0∥BC,G0=BC, C.DECDE0.DE ∴四边形EG2D为平行四边形，.EG∥D2, :EGa平面PCD,D2c平面PCD ·EGH平面PCD. (2)①取CD的中点M,连接BM,FM, F为PC中点，MF∥PD,MF=PD=l, :∠BFM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角. :平面PAD⊥半由ABCD, 平面PADO平面ABCD=AD,PE⊥AD,ADc平面ABCD, :PE⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,PE⊥BE :菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°， :aPAD与△ABD.△BCD是全等的正三角形， :M,E分别为CD.AD的中点， PE=BE=BM=3, 在Rt△PBE中，PB=√PE2+BE=V6, 在RtePBC中，PC=√PB2+BC2=V1o, .BF=PC10 22 在BMr中，0BMF=MF+BP-BM1+-3 2 ō 2MF.BF 2x1x10 20 2 ②：AD⊥PE,AD⊥BE,PEBE=EPE,BEC平面PBE,.AD⊥平面PBE, 又，E为线段AD的中点，：DH=AH, 3 3/4 DH+FH a AH +FH, 要使DH+FH最小只霜AF最短即可，即为A点到面PCD的距离h -103 在△PDC中，PC=Vo,PD=PCa2,S.mcx- 2 2 在RI4NFC中，cos∠rCN=FC.FC NC 4 2h。2 mae,x5x3×2x2x5xhx压 2 23 :DH+FPM的最小值为2压 5 19.【答案】)Da=A=号：（高 81 【详解】(1D由题知P(4）=2a-a)-P(马，)eB=g,解得：a=} (i)由知：P(4)=公-6P(1-200--号 设A=“甲乙两人两次一共解开密码3次的水件”，则 A=AB+AB,AB与AB互斥，A与B,4与B分别相互独立. 所以P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =3x4+2x45 8y16912 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为 (2)由愿知：占+日-3a+B=3a0, a B P(4)=2a(1-),P(4)=ax2,P(8)=2p1-B),P(B)=B. 设A=“甲乙两人两次-一共解开密码3次的串件”，则 A=AB2+AB,AB2与AB互斥，A与B,42与B分别相互独立， 所以P(A)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(4)P(B) =2a(0-a)B2+2p(1-B)a2=2ap[(a+)-2aB]=2(aBy a+B=3a0≥2ap, ∴明之号，当且仅当a=月=号时等号成立。 2a景 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为 2 81 4 4/4