精品解析：江苏省泰州市兴化市文正高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

文正高级中学2023秋学期第二次月度检测 高一数学试题 （考试用时：120分钟 总分：150分 命题人：王爱民） 注意事项： 1.本试卷共分四部分，第一部分为单项选择题，第二部分为多项选择题，第三部分为填空题，第四部分为解答题. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则的值是（　　） A. B. C. 24 D. 4. 函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. “”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 8 若 ，则（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 10. 下列说法正确的是（  ） A. 函数（且）图象恒过定点 B. 函数与是相同的函数 C. 函数的最小值为6 D. 若不等式的解集为或，则 11. 下列正确的是（ ） A. 为锐角， B. 为锐角， C. 若，则 D. 若，且，则 12. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点的角的集合是 C. 对，恒成立 D. 若，且，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 定义在上的奇函数，当时，，当时，________． 14. 已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______． 15 若，则______. 16. 已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列各式的值: (1) (2) 18 已知，其中. （1）求，的值； （2）求的值. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）若是三角形的一个内角，且，求的值. 20. 已知函数，且其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若已知，求的值. 21. 已知函数. （1）若对任意，都有，则的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，求的最小值. 22. 某工厂为某汽车公司加工一款新能源汽车，已知加工该款汽车每年需投入固定成本10亿元，若年加工量为x万辆，则每年需另投入变动成本亿元，且，该工厂为此汽车公司每加工一辆汽车，可获得3万元的加工费.记该工厂加工这款汽车所获得的年利润为y亿元（利润＝加工费﹣成本）. （1）求y关于x的函数表达式. （2）要使年利润不低于5亿元，则年加工量至少为多少万辆？ （3）当年加工量为多少万辆时，年利润最大？并求出年利润最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 文正高级中学2023秋学期第二次月度检测 高一数学试题 （考试用时：120分钟 总分：150分 命题人：王爱民） 注意事项： 1.本试卷共分四部分，第一部分为单项选择题，第二部分为多项选择题，第三部分为填空题，第四部分为解答题. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】写出该命题的否定即可. 【详解】“，”的否定是“，”. 故选：A 3. 已知，则的值是（　　） A. B. C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂的运算求出、的值，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故选：B 4. 函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集. 【详解】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为， 故选：A． 5. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出答案. 【详解】，其中， 故的终边在第三象限. 故选：C 6. “”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可。 【详解】可得或 所以“”是“”的必要而不充分条件。 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题。 7. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 8. 若 ，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可. 【详解】依题，令，则， ， 所以 . 故选：A 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案. 【详解】，所以A错； 弧长，所以B对； 扇形的周长为，所以C对； 面积为，所以D错； 故选：BC 10. 下列说法正确的是（  ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数与是相同的函数 C. 函数的最小值为6 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据指数函数的运算性质，函数的定义，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数且的图象恒过定点，故正确. 对于，由得，所以的定义域为， 由得，所以的定义域为， 又因为，故函数与是相同的函数， 故B正确； 对于，当且仅当时取等号， 方程无解，等号不成立，故C错误. 对于，关于的不等式的解集为或，故必有 ，进而得到，故错误. 故选：AB 11. 下列正确是（ ） A. 为锐角， B. 为锐角， C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合角的象限可判断AB，应用指对幂的运算公式可判断CD. 【详解】对A，为锐角，则在第一象限，则，A正确； 对B，若，则在第一象限，则，B正确； 对C，，C错误； 对D，，则，同理， 则，解得，D正确. 故选：ABD 12. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点的角的集合是 C. 对，恒成立 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所在象限得出范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将平方，从而可求得的符号，求出的值，进而可判断D. 【详解】对于A，若是第一象限角，则， 则， 当时，，为第一象限角， 当时，，为第三象限角， 所以是第一或第三象限角，故；，故A正确； 对于B，终边经过点的角的终边落在第一、三象限的角平分线上， 即角的集合是，故B错误； 对于C，当时，， 则，故C正确； 对于D，若，则， 即若，所以， 则， 又，则，所以， 故，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 定义在上的奇函数，当时，，当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以，解得. 设，则，所以， 又为奇函数，所以， 即当时，. 故答案为： 14. 已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】的解为，的解为：，再根据是的必要不充分条件，从而求解. 【详解】对于，由可解得， 对于，由可解得， 因为是的必要不充分条件，所以解得． 故的取值范围为：. 故答案为：. 15. 若，则______. 【答案】##-0.8 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 16. 已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦型函数图象的性质与的范围即可得. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，，解得，， 又，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列各式的值: (1) (2) 【答案】（1）18；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用幂的运算法则计算； （2）根据对数运算法则计算． 【详解】（1）原式＝． （2）原式＝． 【点睛】本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型． 18. 已知，其中. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系、结合的范围计算可得答案； （2）先用诱导公式，然后用平方关系变形，再用弦化切计算可得答案. 【小问1详解】 由题意， 又在第三象限，，故解得； 【小问2详解】 . 19. 已知函数. （1）求的值； （2）若是三角形的一个内角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简的表达式，再由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； （2）由题意可得，两边平方求出，即可求出，从而求出、，即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 所以 . 【小问2详解】 由题意知，，平方得， 所以，， 因为且，所以， 从而得，故，得. 20. 已知函数，且其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数，求出函数的最小正周期，可求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合切化弦可求得的值. 【小问1详解】 解：由诱导公式可得， 因为函数相邻对称轴距离为，则函数的最小正周期为，则， 故. 【小问2详解】 解：因为，所以， 等式两边平方可得：，解得：， 所以，，故， 所以， 当时， ； 当时， . 综上所述，. 21. 已知函数. （1）若对任意，都有，则的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知； （2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围； （3）分析对称轴与区间关系，结合二次函数的单调性求解出. 【小问1详解】 因为， 所以， 化简得，且不恒为， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为的对称轴为，又在区间上不单调， 所以，所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 的对称轴为， 当时，即时，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，即时，上单调递减，所以， 综上可知，. 22. 某工厂为某汽车公司加工一款新能源汽车，已知加工该款汽车每年需投入固定成本10亿元，若年加工量为x万辆，则每年需另投入变动成本亿元，且，该工厂为此汽车公司每加工一辆汽车，可获得3万元的加工费.记该工厂加工这款汽车所获得的年利润为y亿元（利润＝加工费﹣成本）. （1）求y关于x的函数表达式. （2）要使年利润不低于5亿元，则年加工量至少为多少万辆？ （3）当年加工量为多少万辆时，年利润最大？并求出年利润的最大值. 【答案】（1） （2）10 （3）当年加工量为20万辆时，年利润最大，年利润的最大值为16亿元 【解析】 【分析】（1）根据利润＝加工费﹣成本，求解即可； （2）由时，求x的取值范围即可； （3）分别求出和时，所获得的年利润的最大值，比较即可得出结论. 【小问1详解】 因为每年投入变动成本， 所以当时，所获得的年利润为； 当时，所获得的年利润为 ， 所以y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，令，解得， 所以要使年利润不低于5亿元，则年加工量至少为10万辆； 【小问3详解】 当时，所获得的年利润为是单调递增函数， 所以时y取得最大值为； 当时，所获得的年利润为 ， 当且仅当，即时取得“＝”； 所以当年加工量为20万辆时，年利润最大，年利润的最大值为16亿元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$