专题1.7 全等三角形几何模型（一线三等角）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.7 全等三角形几何模型（一线三等角）（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是过点A的直线，于D，于E．若，，则的长为（　　）    A．8 B．10 C．12 D．14 2．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．0.85 B．0.8 C．1.25 D．1.0 4．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且．若，则四边形的面积为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 6．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D． 9．（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知：如图，在中，，．点在的延长线上，且，连的延长线交于点．若，则（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 12．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于 ．    13．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 14．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是 ． 16．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    17．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 18．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点C在线段上，，，，．   （1）求证：； （2）若，，求的长． 20．（8分）（13-14九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    21．（10分）（2024八年级上·河北·专题练习）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： （1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； （2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． （3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 22．（10分）（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）若为的中点，点与点重合，试说明与全等； （2）如图2，若，，求，，之间的数量关系； （3）如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 23．（10分）（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．   （1）若直线经过内部，且E、F在射线上，设： ①如图1，若，，求证：． ②如图2，若，①中结论是否成立？请说明理由． （2）如图3，直线经过外部，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 24．（12分）（23-24八年级上·广东惠州·期末）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B A C A A A 1．B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定．根据题意证明，继而利用全等三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先利用证明，可得出，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解: ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，平行线的判定，先证明，得到四边形是梯形，再证明，得到，进一步证明，得到，推出，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】解：作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．通过证明，得出、，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、， ∴， ∵点B与地面距离为， ∴点E到地面的距离为， ∴， ∴点D到地面的距离为：， 小丽距离地面的高度为：． 故选：A． 7．C 【分析】由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵， 故①正确； 如图，过点作于，    又 点F是的中点，故②正确； 故③正确； 故④错误； 故正确的有①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 首先作于,作交的延长线于.根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积． 【详解】解：作于,作交的延长线于 ， 在和中， 的高即为, 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 10．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确作差辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点E作于M，证可得；再证可得，进而得到；设，，，求出，然后代入计算即可． 【详解】解：如图：过点E作于M， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 在和中，， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴， ∴． 故选A． 11． 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、四边形的面积等知识点，证得是解题的关键． 先证明可得，然后根据四边形的面积为，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵、， ∴，, ∵， ∴， ∴， 在和中，、、， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为． 13． / 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵且 ∴ 由外角定理可得， 又∵， ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴（）． ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴ ∴的面积是 故答案为：，． 14．或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用分类讨论思想以及正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键 过点E作于G，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；根据全等三角形的性质得到，结合，且，根据线段的和差关系列式代入计算；当点在直线上时，同理证明三角形的全等，然后运用全等三角形的性质以及数形结合思想，再结合线段的和差关系列式，代入数值进行计算，即可得到答案； 【详解】解：过点E作于G， 则， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 在和中 ， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 则 ∵， ∴ 即； 如图，过点E作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，且， ∴； ∴ 故答案为：或． 15． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与与性质、灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 作于M，通过证明得到，再根据已知条件证明，从而得到，设，找出和与x的关系即可得解答． 【详解】解：如图：作于M，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】过点作于，先证得为等腰直角三角形，则，，再证和全等得，，则，，然后证和全等得，从而得，然后可得出答案． 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，如下图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18． = 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识．①求出，，根据证，推出，即可得出结果；②求出，由证，推出，即可得出结果． 【详解】解：①，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②与应满足， 在中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，． 19．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，即可求解； 掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， （）； （2）解：， ，， ． 20．（1）见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线m，直线m， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）成立．证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 21．(1)45 (2)8 (3)，理由见详解 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等，先证明，进而可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45； （2）∵于M，于N， ∴，． 在中， ∴， 同理：． 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22．(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． （1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证； 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，， ∴，， ∴． 又∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知． ∵， ， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；   理由：∵， ， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即（2）中的数量关系不会改变； 23．(1)①见解析；②成立，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①证明，得出，，根据即可得出结论； ②先证明，再证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，再证明，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①由图知：， 又， 在中，， ， ， ， ，， ； ②结论成立，理由如下： ，， ， 又∵在中，， ， ， ， ，， ， 即①中两个结论还成立； （2）解：， ， 又，且， ， ，， ， ，， ． 24．（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； 故答案为：0.8； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$