专题04 三角形的初步认识综合题（共40道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题04 三角形的初步认识综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点D，交于点M，交于点N，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①由得到，由角的和差解题即可； ②由得到，继而证明即可解题； ③由得到及三角形内角和可得，再由角的和差解题即可； ④证明即可解题． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∵ ，故③符合题意； ④由①知， 又∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故正确的结论有：①②③④， 故选：D． 2．如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据，推出，根据三角形内角和判断①；证明，判断③正确；根据全等的性质得到，推出即可判断④；根据外角的性质及④的结论，可判断③． 【详解】解： ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于E，于F， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， ∵,,且, ∴．故②错误； 综上所述正确的有①③④． 故选：D． 3．如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线和全等三角形．熟练掌握角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，是解决问题的关键． 根据三角形内角和求出 ， 根据角平分线定义得，，得，根据三角形外角性质得，可判断①；根据三角形角平分线性质知，点O在平分线上，平分，可判断②；证明，过点O作于点F，于点G，可得,得，可判断③；证，得，由，，得，可判断④；在上取点H，使，证，得，可得，可得 ,得，可判断⑤． 【详解】解；∵， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ①正确； ∵平分，平分， ∴点O在平分线上，平分， ②正确； ∵， ∴， 过点O作于点F，于点G， 则，， ∴, ∴ ， ③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ④不正确； 在上取点H，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴，与的面积之和等于的面积， ⑤正确． ∴正确的有①②③⑤，共4个． 故选：C． 4．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的性质，先根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理得到，然后结合三角形的全等，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：设，， 平分交于点，平分交于点，， ，，， ； 在中，， 故①说法正确，符合题意； 是的角平分线，不是三角形的中线， 与不一定相等，故与不一定相等， 故②说法错误，不符合题意； 若，则， ∵平分， ∴， ∴， ， ， 故③说法正确，符合题意； 如图1所示，在边上取，连接， 平分，， ， ，， ∵， ， ， 又平分， ∴， ， ，， ， 故④说法正确，符合题意； 过作于，于， ∵， ∴， ∵，， ， 故⑤说法正确，符合题意； 综上，说法正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 5．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6．如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 7．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M，    ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 8．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（   ） 若，则； ；； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故正确；同理可求，由直角三角形的性质可得，故正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故错误；由“”可证，可得，由“”可证，可得，即，故正确；由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ，故正确； ， ， 平分，平分， ，， ，， ， ，故正确； 如图，延长，交于点， ，，， ， ， ， ，故错误； 如图，在上截取，连接， ，，， ∴， ， ， 又，， ， ， ，故正确； 如图，过点N作于P，于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 10．如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用． 由，可得，故结论①正确；证明，可得，故结论②正确；证明，可得平分，故结论③正确；由，结合是的余角的5倍，可得，进一步可得结论④正确；证明，，进一步可得结论⑤错误； 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵是的余角的5倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：C． 11．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得 ，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到． 【详解】解：设与的延长线交于点，   ， ∴， ∴，故①正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ，故④正确； 平分， ∴点到的距离相等，都设为， ，故③正确． 故选：B． 12．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，角平分线判定与性质，三角形内角和与外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 13．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；若，则，则，则为等边三角形，这与题干任意画一个 的不符，故③错误．，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，④正确；利用角平分线的性质定理以及三角形的面积公式，可得⑤正确．正确作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【详解】解：、分别是与的角平分线，， ， ， 故①正确； ， ， 过点作，，，， 、分别是与的角平分线， 是的平分线， 故②正确； 若，则，则，则为等边三角形， 这与题干任意画一个 的不符， 故③错误． ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， 同理，， ，， 两式相加得，， ， ， 故④正确； 是角平分线， 到、的距离相等， ， 故⑤正确． 故选：． 14．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论 ； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解． 【详解】解：①， ，即， 在和中， ， ， ，故①选项符合题意； ，故④选项符合题意； ②， ， ， ， 平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 故②选项符合题意； 根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键． 15．如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（    ）    A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】由，得，则，可判断①正确；作于点G，于点H，则，因为与不一定相等，与不一定相等，可判断②错误；延长到点K，使，连接，可证明，得，而，所以，则，所以，则，可判断③正确；在上截取，连接，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断④正确；由④可得，，由即可推出，可判断⑤正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 如图1，作于点G，于点H，则，    ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 即：与不一定相等， 故②错误； 如图1，延长到点K，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 由④可得，，，    ∵， ∴，即， 故⑤正确， 正确的结论为①③④⑤， 故选：D． 【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 16．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于H，    ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 17．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵， 故①正确； 如图，过点作于，    又 点F是的中点，故②正确； 故③正确； 故④错误； 故正确的有①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据，，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：有题意可知 ， ①正确； 是角平分线， ②正确； ③正确； ， ④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 19．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 20．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易证，从而推得①正确； 利用及三角形内角和与对顶角，可证，但现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得，则③正确； 证明，则，可得出结论④正确； 利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴， 现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 即，故③正确； 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 故④正确． ∵，，， ∴，，， ∴． 故⑤正确． 综上可知，正确的有①③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 21．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ，故②不符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④符合题意． 故答案为：． 22．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序号是 ． 的面积等于的面积； ； ； ．         【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断；根据三角形内角和定理求出 ，根据三角形的外角性质即可推出；根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线定义即可判断，根据等腰三角形的判定判断即可；能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴, ， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误； 故答案为：． 23．如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当，时，．”计算可得②的结论不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据是的角平分线，，可得，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立． 【详解】对于①， 是的高线， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， 举反例，当，时，． 理由如下： 当，时， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ②错误； 对于③， 是的外角， ， 是的外角， ， 而由①知， ， ， ③正确； 对于④， 设与交于点，与交于点， 是的角平分线， ， ， ， 又，， ， ④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高，举反例的方法，熟练掌握相关知识及方法是解答本题的关键． 24．如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①②③④ 【分析】①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可； ②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可； ④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：设，，    ∵平分，平分， ∴， 由三角形外角的性质可得： ∴①正确； 延长与交于点，如下图： ∵ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴②正确； 同理可得： ∴，③正确； 在上截取，则是的垂直平分线，如下图：    ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴④正确 故答案为：①②③④ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形． 25．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明． 【详解】∵在与中， ， ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ ∴ 故③正确； 如图，过点作交于点，连接， 若 ∵ 则 ∵ 则 若， 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 故④错误． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作． 26．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．    【答案】①②③④ 【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正确；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，①正确； 过点P作，    ∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线，②正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，③正确； 在与中，， ∴， 同理，， ∴， 两式相加得，， ∵， ∴，④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 27．如图，于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，延长至点，若平分，平分，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 （写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据三角形三条高交于一点可得，即可利用三角形内角和定理证明，则①正确；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，再由三角形外角的性质得到，进而得到，则，则②正确；证明，得到，则③正确；证明，得到，得到，再由，得到，则④错误；根据全等三角形的性质即可证明，则⑤正确． 【详解】解：于点，于点，与交于点，连接并延长交于点， ， ，， ； 故①正确． ，，平分，平分， ，， ， ， ， ， ； 故②正确． 在和中， ， ， ； 故③正确． ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故④错误． ， ， ， ， ， ； 故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 28．如图，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确．④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．③利用②的结论得出∠FGD=∠FEB，从而证明错误的．②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F，故①正确； ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∠BAF=∠ABC+∠C， ∴2∠BEF=∠BAF+∠C，即∠BEF=（∠BAF+∠C），故④正确； ∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠FGD=∠CBE+∠C=∠ABE+∠C，故③错误， ∵∠ABD=90°-∠BAC，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，∠CBD=90°-∠C， ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， ∵∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE， ∴∠F=（∠BAC-∠C）；故②正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 29．如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有 ． ①；②；③；④；⑤平分 【答案】①②③⑤. 【分析】由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可. 【详解】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形， ∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°， ∴∠ABD=∠EBC， 在△ABD和△EBC中， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴AD=EC，故①正确； ∴∠DAB=∠BEC， 又由上可知∠ABE=∠CBD=60°， ∴∠EBD=60°， 在△ABM和△EBN中， ∴△ABM≌△EBN（ASA）， ∴BM=BN，故②正确； ∴△BMN为等边三角形， ∴∠NMB=∠ABM=60°， ∴MN∥AC，故③正确； 若EM=MB，则AM平分∠EAB， 则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件， 故④不正确； 如图作 ∵由上可知△ABD≌△EBC， ∴两个三角形对应边的高相等即， ∴是的角平分线，即有平分，故⑤正确. 综上可知：①②③⑤正确. 故答案为：①②③⑤. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质与平行线的判定是解题的关键. 30．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①是正确的； ∵， ∴， ∴平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故②是不正确的； 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③是正确的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④是正确的， 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 31．如图，交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③．④平分其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；通过证明，即可知道，；接着通过证明，通过证明，即可求解； 【详解】解： ，，， ， ， ，故①正确； ，，， 故②正确； ∴， 连接，如图所示； 在和中， ，， ， ， 故平分， 故④正确； 在和中， ，， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 假如， 那么， ， ， ，与三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角矛盾； 故 故③不正确； 故答案为：①②④ 32．如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连结，使．有以下四个结论： ①； ②若点A为中点，则； ③若，则； ④的面积是面积的2倍． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线；先利用证明可判断①、再利用证明可判断②，再利用全等三角形的性质与三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③，④；能够确定清晰的解题思路是解题关键． 【详解】解：∵为中线， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A为中点， ∴， ∴，故②正确； ∵，（已证）， ∴， ∵点A不一定是中点， ∴不一定相等，故③错误； ∵，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 33．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】证明即可判断①正确；无法判断，即可判断②错误；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确，证明即可判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故①正确， 平分， ， ，， ， 故③正确， ， ， ， ， ，， ， 故④正确， 无法判断，故②错误； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 34．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 35．如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，根据题意可知，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，即可得答案． 【详解】解：是角平分线 ，故①符合题意； 是边上的高，即 ，故②符合题意； 是角平分线，平分 ， ， 由②可知， ，故③不符合题意； ， ，故④符合题意； 故答案为：3． 36．如图，在中，斜边的中垂线交于点，交的外角平分线于点于点垂直的延长线于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练应用判定和性质是解决问题的关键．利用“” 证明；证明，进而不能证明；利用“”字模型可证；连接，可证，则得． 【详解】解：平分，，， ，， 垂直平分， ， 在和中 ， 故正确； 由可知，， ， 又 ， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知，， ， ， 中的度数没有给出，由图可知， ， 不能判断， 故错误； 连接， 垂直平分， ， 在中，， ， ，， ， ， 故错误． 故答案为：． 37．如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，根据各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系即可解题． 【详解】①∵分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确． ②∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ④∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 38．如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．      【答案】①②④ 【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图所示， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∴，故①正确； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 39．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于点H．给出以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有 （填出所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②；由直角三角形的性质可判断③正确；根据全等三角形的判定和性质判断④． 【详解】解：在中， ， ， 又分别平分， ， ，故①正确． ， 又， ， ， 又， ， ，故②正确． ， ， 又， ， ， ． 故③正确． 在和中， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②③④． 40．如图，，，，于H，的延长线交于G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为 ． 【答案】①②④ 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得 ，即，；③由①可知 ，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， ，，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知 ，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故答案为：①②④． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的初步认识综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点D，交于点M，交于点N，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 3．如图，在中，，两条角平分线相交于点O，下列结论： ①；②连接，则平分；③；④；⑤与的面积之和等于的面积．其中正确的结论有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4   8．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（   ） 若，则； ；； ； A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）    A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 12．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④   13．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 14．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论 ； ； ； 中，，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（    ）    A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤   16．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 17．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 20．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 21．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 22．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序号是 ． 的面积等于的面积； ； ； ．         23．如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 24．如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    25．如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 26．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．    27．如图，于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，延长至点，若平分，平分，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 （写序号）． 28．如图，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的为 ． 29．如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有 ． ①；②；③；④；⑤平分 30．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有 ．（填序号） 31．如图，交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③．④平分其中正确的结论有 （填序号）． 32．如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连结，使．有以下四个结论： ①； ②若点A为中点，则； ③若，则； ④的面积是面积的2倍． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 33．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 34．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 35．如图， 在中，，是角平分线，是边上的高， 延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②； ③，④．其中结论正确的个数是 ． 36．如图，在中，斜边的中垂线交于点，交的外角平分线于点于点垂直的延长线于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 37．如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 38．如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．      39．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于点H．给出以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有 （填出所有正确的序号） 40．如图，，，，于H，的延长线交于G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$