精品解析：浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题

宁波外国语学校二○二四学年第一学期初二期始考数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷。试题卷共4页．满分为100分，考试时间为90分钟． 2．请将班级、姓名等分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则应满足条件是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）° A. 66 B. 92 C. 96 D. 98 4. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ） A. 分式方程增根是或 B. 若分式方程有增根，则 C. 若分式方程无解，则或 D. 分式方程的增根是 7. 如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ） A. B. C. D. 无解 8. 如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 9. 如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则______． 12. 已知方程组的解满足方程，则______． 13. 若且，则值为________ 14. 如图，，点在边上，与交于点，则______． 15. 如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于______． 16. 如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为______． 三、解答题（共52分，17、18每题6分，19、20每题8分，21题10分，22题14分） 17. 解分式方程和不等式组 （1） （2）解不等式组并把解集表示在数轴上． 18. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． （1）请在图甲中作一个格点三角形，使是一个面积为2等腰三角形． （2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出的平分线（保留作图痕迹）． 19. 某产品的商标如图所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小林认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵ AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC， ∴ △ABO≌△DCO． 你认为小林的思考过程对吗？ 如果正确，指出他用的是哪个判别三角形全等的方法；如果不正确，写出你的思考过程 20. 在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且， （1）求的面积； （2）求经过点且平分面积的直线解析式． 21. 学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍． （1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元． （2）学校超市计划按（1）题进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润． 22. 在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点， （1）若，判断的形状． （2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标． （3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． （4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁波外国语学校二○二四学年第一学期初二期始考数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷。试题卷共4页．满分为100分，考试时间为90分钟． 2．请将班级、姓名等分别填写在答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 试题卷Ⅰ 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故选：A． 2. 若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系，分情况列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：B． 3. 如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）° A. 66 B. 92 C. 96 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即，同理得出，因为，运用平角性质算出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 【详解】解：， ， 如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， 故选：B． 4. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作轴，证是解题关键． 【详解】解：作轴，如图所示： 令，则；令，则； ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点的坐标是 故选：D 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组无解， ， 故选：B 6. 对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ） A. 分式方程的增根是或 B. 若分式方程有增根，则 C. 若分式方程无解，则或 D. 分式方程的增根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 7. 如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方， ∴不等式组的解为， 故选：A． 8. 如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则，，然后利用即可得到答案． 【详解】解：， ， 点是的中点， ， ， 即， ． 故选：B． 9. 如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的翻折变换，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据题意得到，设，则，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由翻折而成， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，则， 设，则， 在中，， 即， 解得． 故选B． 10. 如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 【详解】解：当时， ； 在中，， 当， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； 情况二： ， ， ， 为等边三角形， ； 故选C． 二、填空题：（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点为， 根据“左减右加”， 得到点的坐标为， 对应点落在轴上， 解得． 故答案为：． 12. 已知方程组的解满足方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．方程组中两方程相加表示出，代入已知方程即可求出答案． 【详解】解：， ①②得：． ， ， 解得． 故答案为：． 13. 若且，则的值为________ 【答案】-7或6 【解析】 【分析】由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值． 【详解】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②， ∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42， ∴（x+y）2+（x+y）-42=0， ∴（x+y+7）（x+y-6）=0， ∴x+y+7=0或x+y-6=0， 解得：x+y=-7或x+y=6． 故答案为-7或6. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，将（x+y）2+（x+y）-42正确因式分解是解答本题的关键. 14. 如图，，点在边上，与交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定即可判断；，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数；本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 【详解】解：和相交于点， ． 在和中， ∵， ． 又， ， ． 在和中， ， ． ，． 在中， ，， ， ． 故答案为： 15. 如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：，， 是的中线，， 是的中点， 是的中位线， 设， ， ，点是的中点，点是的中点， ，， 的周长为8， ， ， ， 由勾股定理可知：， 故答案为： 16. 如图，是边长为等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点作于点，可得四边形是正方形，可证，得到，所以连接，当点三点共线时，的值最小，即的值最小，则的值最小，如图所示，过点作于点，交于点，则，可得是等腰直角三角形， 可求出，可证四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解 ，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是边长为的等腰直角三角形，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， 过点作，且，则，连接， 在，中， ， ∴， ∴， ∴连接，当点三点共线时，的值最小，即的值最小， ∴的值最小， ∴， 如图所示，过点作于点，交于点，则， ∵四边形是正方形，是对角线，， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，矩形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，最短路径，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，勾股定理，最短距离，图形结合分析思想是解题的关键． 三、解答题（共52分，17、18每题6分，19、20每题8分，21题10分，22题14分） 17. 解分式方程和不等式组 （1） （2）解不等式组并把解集表示数轴上． 【答案】（1） （2），见详解 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 经检验：是原分式方程的解． 【小问2详解】 解： 由①得：， 由②得：， 原不等式组的解集为：， 在数轴上表示为 18. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． （1）请在图甲中作一个格点三角形，使是一个面积为2的等腰三角形． （2）请在图乙中仅用无刻度直尺，作出的平分线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算即可； （2）连接，取中点，根据等腰三角形的性质画图即可． 【小问1详解】 解：根据等腰三角形的性质，； ； 【小问2详解】 解：连接，取中点， 根据题意得：， ， 故平分． ． 19. 某产品的商标如图所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小林认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵ AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC， ∴ △ABO≌△DCO． 你认为小林的思考过程对吗？ 如果正确，指出他用的是哪个判别三角形全等的方法；如果不正确，写出你的思考过程 【答案】小华的思考不正确；理由见解析． 【解析】 【分析】显然小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边．我们可以连接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，从而得到∠A=∠D，然后再根据AAS来判定△AOB≌△DOB． 【详解】解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边； 正确的解答是：连接BC， 在△ABC和△DBC中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）； ∴∠A=∠D， 在△AOB和△DOC中， ∵， ∴△AOB≌△DOC（AAS）． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且， （1）求面积； （2）求经过点且平分面积的直线解析式． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、三角形的中线性质、坐标与图形等知识，熟知三角形的中线平分该三角形的面积是解答的关键． （1）先求得点A的坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可； （2）先求得点P坐标，然后根据三角形的中线平分该三角形的面积得过点P的直线经过线段的中点，利用中点坐标公式求得中点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点P在x轴的负半轴， ∴； ∵经过点的直线平分面积， ∴该直线经过线段的中点， ∵， ∴线段的中点坐标为， 设该直线的解析式为， 将、代入，得，解得， ∴经过点且平分面积的直线解析式为． 21. 学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍． （1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元． （2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润． 【答案】（1）每个A种水杯的进价为25元，每个B种水杯的进价为20元； （2）满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）设每个A种水杯的进价为a元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进A种水杯x个，根据题意列不等式组得到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意， ∴， 答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元； 【小问2详解】 解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个， 根据题意，得， 解得， ， 设利润为W元，根据题意， ， ∵， ∴W随x的增大而减小，又x为整数， ∴当时，W最大，最大值为， 答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元． 22. 在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点， （1）若，判断的形状． （2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标． （3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． （4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系． 【答案】（1）直角三角形 （2） （3）或或或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查两点间的坐标公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据两点间的坐标公式求出的长，根据勾股定理逆定理计算即可； （2）过点作轴，证明，即可求出点的坐标； （3）根据等腰三角形的性质分类讨论即可； （4）过点作轴，根据全等三角形的判定证明，再根据勾股定理证明与的数量关系． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：过点作轴， 由（1）可得，中， ， 在和中， ； 【小问3详解】 解：设点为， ①当时， ， 解得，（舍去）， 此时； ②当时，， 解得或； 此时或， ③当时，即， ， 解得， 此时； 综上所述，或或或； 【小问4详解】 解：过点作轴， 中， ，， ， 在和中， ， ，， ， 由题意可得：， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$