专题1.6 全等三角形几何模型（一线三等角）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.6 全等三角形几何模型（一线三等角）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一线三直角模型 1.基本图形 题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90° 图1 图2 图3 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立 结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论： （1） 四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高） 【知识点二】一线三等角模型 图4 图5 题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D 解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA） 结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，，垂足分别是． （1）求证：； （2）猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【变式2】（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，，，，．若，，则 ． 【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明 【例2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时， °， °． （2）若，试说明． （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明 【例3】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． （3）当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24八年级下·重庆丰都·期末）如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展 【例4】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． （1）问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． （2）探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【变式1】（22-23八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】 （2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：． 【例2】    （2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【例2】（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂直分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 全等三角形几何模型（一线三等角）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一线三直角模型 1.基本图形 题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90° 图1 图2 图3 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立 结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论： （1） 四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高） 【知识点二】一线三等角模型 图4 图5 题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D 解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA） 结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，，垂足分别是． （1）求证：； （2）猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，，，，．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先证明，进而证明，得到，则． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明 【例2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时， °， °． （2）若，试说明． （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；65 (2)详见解析 (3)可以，当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 解：（1）解： ， ， ，， ， ， 故答案为：25；65； （2）解：，， ，， ． ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ； （3）解： 的形状可以是等腰三角形． ①当时，， ， ②当时，， ． ， 此时，点与点重合，不符合题意． ③当时，， ． 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案． 解：标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明 【例3】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． （3）当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算； （1）求出，即可利用证明； （2）作交的延长线于点，求出，证明，可得，然后再证即可； （3）分情况讨论：当点在的延长线上时，作交的延长线于点，求出，证明，可得，，然后求出，再证，可得，设，表示出和，然后根据三角形的面积公式列式即可；当点在线段上时，同理求解即可． 解：（1）证明：如图1， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）； 理由：如图2，作交的延长线于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，当点在的延长线上时，作交的延长线于点，则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，当点在线段上时，设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解． 解：∵， 故①正确； 如图，过点作于，    又 点F是的中点，故②正确； 故③正确； 故④错误； 故正确的有①②③三个， 故选：C． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·重庆丰都·期末）如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质， 过点作于，易证，可得，即可求出面积． 解：过点作于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展 【例4】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． （1）问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． （2）探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析(3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键． （1）根据证明，得，，进而可证； （2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证． 解：（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （2） 理由如下：过点B作于点H，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E， ∴四边形和四边形都是长方形， ∴，． 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图4，作于点H， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易证，从而推得①正确； 利用及三角形内角和与对顶角，可证，但现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得，则③正确； 证明，则，可得出结论④正确； 利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确． 解：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴， 现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 即，故③正确； 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 故④正确． ∵，，， ∴，，， ∴． 故⑤正确． 综上可知，正确的有①③④⑤． 故选C． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质． 延长交直线a于F，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，推出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据即可得到结论． 解：延长交直线a于F， 于点D，于点E， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】 （2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：． 【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得． 证明：∵， ∴∠BAE＋∠CAF＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE＋∠EBA＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， ∵AB＝AC， ∴△BAE≌△ACF， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【例2】    （2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到， ，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD． 证明：∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中 ∴≌ 故． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 【例2】（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂直分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】(1) (2)，见详解 (3）结论成立，见详解 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． （1）解：，理由如下： ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （2）解：，证明如下 ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （3）（1）的结论成立，理由如下： ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$