精品解析：山东省济南市高新区第一实验中学2024-2025学年九年级上学期数学开学测试试题

济南高新区第一实验中学九年级开学自主诊断 数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3. 不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．在平面内，把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A中，不是中心对称图形，故不符合题意； B中，是中心对称图形，故符合题意； C中，不是中心对称图形，故不符合题意； D中，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（ ） A. （2m﹣n） （2m＋n） B. 4 （m﹣n） （m＋n） C. （4m﹣n） （m＋n） D. （m﹣2n） （m＋2n） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平方差公式分解因式得出答案； 详解】 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，正确掌握运算方法是解题的关键． 3. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可． 【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得： （n-2）×180°÷n=144°， 解得：n=10． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键． 4. 如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（　　） A. 3：2 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC＝AD：AB＝2：3； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5. 如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个， ∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝， 故选B． 【点睛】本题主要考查概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算公式. 7. 每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列式．设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器，利用“现在生产台所需时间与原计划生产台机器所需时间相同”列方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器， 由题意得：， 故选：A． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线，，，为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．下列结论不成立的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若，则四边形为矩形 C. 若，则四边形为菱形 D. 若，则四边形为正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解． 【详解】A.∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ 在与中 ∴ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， 故A选项正确； B.假设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则当时， ∵四边形为平行四边形 ∴四边形为矩形， 故B选项正确； C.∵， ∴E是AB中点 ∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴四边形为菱形， 故C选项正确； D.当时与时矛盾，则DE不垂直于AB，则四边形不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握相关性质及定理的几何证明方法是解决本题的关键． 9. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】结合作图方法可知是的中垂线，结合矩形的性质易证四边形是菱形，，利用等积法可知③错误；利用含角的直角三角形的性质易证④错误． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查矩形性质，垂直平分线的作法及菱形的性质，熟练掌握垂直平分线的作法，矩形和菱形的性质是解决本题的关键． 10. 已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于x的方程有两个实数根； ④当时，若，则x的取值范围是． 以上结论正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①把代入解方程即可求解；②把代入，再配方求最小值即可；③把代入解方程即可求解；④根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：①若，则，解得，或， ∴的值为；故①错误； ②当时， ，∴当时，代数式的最小值为；故②错误； ③由题意得，， ∴或， 解得，或； 解，即，没有实数解， ∴关于x的方程有两个实数根，故③正确； ④当时， ∴，解得；故④错误； 综上，只有③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和一元二次方程的解法是解题的关键． 11. 当x______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，，BE交对角线AC于点F．则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】据平行四边形的性质可得出CD∥AB，CD＝AB，由可得出CE＝AB，由CD∥AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB． ∵点E在CD上， ∴ ∵CD∥AB， ∴△CEF∽△ABF ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质找出△CEF∽△ABF及CE＝AB是解题的关键． 13. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，求解并注意检验． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，， ∵当时，， ∴舍去， 故答案为：． 14. 清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的边上的高，则，当,时，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式计算得到，利用勾股定理求得，计算即可，本题考查了勾股定理，新定义，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，得到是等边三角形，进而判断当面积最小时，，根据为上的动点，当重合时，最小，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形 ， 为等边三角形， 点是上靠近点的四等分点， 的面积最小时，的面积也最小 当最小时，的面积最小 当时，最小 是等边三角形， 点是上的动点， 当点与点重合时，最小 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形的面积最小值转化为和的最小值是解题的关键． 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 变形为：， ∵，，，， ∴，， 故，； 【小问2详解】 解：， 直接开平方，得或， 解得：，． 17. 先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简分式，再选择一个让原式的所有分母都不为0的值代入求值即可． 【详解】原式 ， ∵ ∴和0， ∴当时， 原式 【点睛】此题考查分式的性质和混合运算，解题关键是利用因式分解将分式化简，然后根据分式的性质代值计算． 18. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形性质先证明，得到，可证明四边形为平行四边形，再结合即可得到最后结论． 【详解】证明：四边形为矩形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据题意证明是解答本题的关键． 19. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 【答案】（1）见解析，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种； （2）游戏公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）列表列出所有等可能结果即可； （2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断． 【小问1详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 由表格可知，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种； 【小问2详解】 解：游戏公平， 由表格知a+b为奇数的情况有4种，为奇数的情况也有4种， 概率相同，都是，所以游戏公平． 【点睛】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围； （3）设是这个方程的两个实数根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）设是这个方程的两个实数根，根据根与系数的关系和根的判别式计算即可； （3）根据根与系数的关系判断即可； 【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根时，，解得； （2）∵设是这个方程的两个实数根，则，， ∴，解得， 又∵方程有两个实根， ∴， 解得， ∴； （3）不存在，理由：∵，， ∴， 整理，得，解得． 又由（2）可知，m的值不存在． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 21. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等． （1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； （2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？ 【答案】（1）每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元 （2）要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用． （1）设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为W元，写出W关于a的函数，根据该函数的增减性，确定当a取何值时W取最小值，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， （元）， ∴每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元． 【小问2详解】 解：设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副．根据题意，得： ， 解得， 设花费的资金总额为W元，则， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∵且x为整数， ∴当时，W取最小值，， ∴要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元． 22. 如图， Rt的两条直角边cm，cm，点沿从向运动，速度是1cm/秒，同时，点沿从向运动，速度为2cm/秒．动点到达点时运动终止．连接、、． （1）当动点运动几秒时，． （2）当动点运动几秒时，的面积为？ （3）在运动过程中是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）运动秒或秒 （2）1秒 （3）存在，秒 【解析】 【分析】设点运动时间为秒，则秒，秒，秒，秒； （1）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （2）过作于，易证，根据三角形相似的性质得到比例线段用表示，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【小问1详解】 解：设点运动时间为秒，则秒，秒，秒，秒， 当，即时，， ，即， ； 当，即时，， ，即， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； 【小问2详解】 解：过作于，如图， ， ， ， ， 即， ， ， 或（舍， 即当动点运动1秒时，的面积为cm； 【小问3详解】 解：存在． 如图，过点作于， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 24. 如图所示，，为等腰三角形，． （1）如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ； （2）如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系? 证明你的结论； （3）若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想． 【答案】（1）； （2），，理由见解析 （3），，图形和理由见解析 【解析】 【分析】本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质和判定等．构造三角形全等是解题的关键． （1）证，结合为中点，即可得； （2）延长到，使，连接、、， 易证，进而可以证明，即可证明，； （3）基本方法同（2）． 【小问1详解】 解：∵，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，理由： 如图，延长到，使，连接、、， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又为中点， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 解：图形如图3， 结论：，， 证明如下： 如图4，延长到，使，连接、，连接交延长交于，交于， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又为的中点， ∴，， ∴，． 25. 矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD． （1）请直接写出点A的坐标为________，点D的坐标为________； （2）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标； （3）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q，使以B、M、N、Q为顶点四边形为正方形?若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(-4，0)，(0，3) （2）P(-，)； （3）点Q坐标为：（，）或（8，-16）或（24，16）或（-8，）或（8，-16）． 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）过D作AB的对称点D1，连接OD1，交AB于点P，此时△POD的周长最小，利用待定系数法求得直线OD1的解析式和直线AB的解析式，解方程组即可求解； （3）分BN为边和BN为对角线两种情况讨论，利用正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质可求解． 【小问1详解】 解：∵线段OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD． 解方程x2－7x＋12＝0得：x=4或3， ∴OA=4，OD=3， ∴点A的坐标为(-4，0)，点D的坐标为(0，3)； 故答案为：(-4，0)，(0，3)； 【小问2详解】 解：过D作AB的对称点D1，连接OD1，交AB于点P，此时△POD的周长最小， ∵△ABE是将△ABC沿AB折叠得到的， ∴点D1在AC上， ∵OA=4，OD=3， ∴AD=5， ∴AD1=5， ∴D1(-4，5)， 设直线OD1的解析式为y=kx， ∴5=-4k， ∴k=-， ∴直线OD1的解析式为y=-x， ∵四边形AOBC是矩形，且△ABE是将△ABC沿AB折叠得到的， ∴AC∥OB，∠CAB=∠BAD， ∴∠CAB=∠BAD=∠ABD， ∴AD=BD=5，则OB=8， ∴B(0，8)， 同理求得直线AB的解析式为y=2x+8， 解方程-x =2x+8，得x=-， y=， ∴P(-，)； 【小问3详解】 解：∵B(0，8)，A (-4，0)， ∴AB=4， 当BN为边时， 如图，若四边形BNMQ是正方形，则BN=MN，过点Q作QG⊥x轴于G，过点N作NI⊥x轴于I， ∵∠OAB=∠NAM，∠AOB=∠ANM=90°， ∴△AOB∽△ANM， ∴，即， ∴NM=，AM=，AN=， ∴OM=-4=， ∵AM×IN=AN×MN， ∴IN=， ∵四边形BNMQ是正方形， ∴QM=NM，∠QMN=90°， ∠QMG+∠NMI=90°， 又∵∠QMG+∠MQG=90°， ∴∠MQG=∠IMN， 又∵∠QGM=∠MIN=90°， ∴△QGM≌△MIN， ∴QG=IM=，MG=IN=， OG=OM+MG=IN=， 点Q（，）； 如图，若四边形BNQM是正方形， 同理，△AOB∽△ABM， ∴，即， ∴AM=20， ∴OM=20-4=， ∴M(16，0)； 同理，点Q（8，-16）； 如图，若四边形BMQN是正方形， 同理可求M(16，0)；点Q（24，16）； 当BN是对角线时，若四边形BMNQ是正方形，过点N作NF⊥x轴于F， ∵四边形BMNQ是正方形， ∴BM=NM，∠BMN=90°， ∠BMO+∠FMN=90°， 又∵∠BMO+∠OBM=90°， ∴∠FMN=∠OBM， 又∵∠NFM=∠MOB=90°， ∴△NFM≌△MOB（AAS）， ∴BO=FM=8，OM=NF， 设点M（a，0）， ∴OF=8-a，FN=a， ∴点N（a-8，-a）， ∵点P在AB上，y=2x+8 ∴-a=2（a-8）+8， ∴a=， ∴点M（，0）； 过点Q作QH⊥y轴于H， 同理可证△QBH≌△BMO， ∴QH=BO=8，BH=OM=， ∴HO=， ∴点Q（-8，）； 如图，若四边形BMNQ是正方形， 同理可求点M（-24，0），则点Q（8，-16）， 综上所述：满足条件点Q的个数为5个，点Q坐标为：（，）或（8，-16）或（24，16）或（-8，）或（8，-16）． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，矩形的性质，正方形的性质，待定系数法求解析式，相似三角形　判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南高新区第一实验中学九年级开学自主诊断 数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效． 3. 不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 1. 下列交通标志中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（ ） A. （2m﹣n） （2m＋n） B. 4 （m﹣n） （m＋n） C. （4m﹣n） （m＋n） D. （m﹣2n） （m＋2n） 3. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ） A 12 B. 10 C. 8 D. 7 4. 如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（　　） A. 3：2 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5 5. 如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线，，，为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．下列结论不成立的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若，则四边形为矩形 C. 若，则四边形菱形 D. 若，则四边形为正方形 9. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知多项式，多项式． ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于x的方程有两个实数根； ④当时，若，则x的取值范围是． 以上结论正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11. 当x______时，分式有意义． 12. 如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，，BE交对角线AC于点F．则＝_____． 13. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________． 14. 清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的边上的高，则，当,时，则的面积为______． 15. 如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为______． 16. 计算 （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，请在2，，0，3当中选一个合适的数代入求值． 18. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形． 19. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围； （3）设是这个方程的两个实数根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 21. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等． （1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格； （2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？ 22. 如图， Rt的两条直角边cm，cm，点沿从向运动，速度是1cm/秒，同时，点沿从向运动，速度为2cm/秒．动点到达点时运动终止．连接、、． （1）当动点运动几秒时，． （2）当动点运动几秒时，的面积为？ （3）在运动过程中是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 24. 如图所示，，为等腰三角形，． （1）如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ； （2）如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系? 证明你的结论； （3）若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想． 25. 矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB，将△ABC沿AB折叠得△ABE，AE交y轴于点D，线段OD、OA的长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD． （1）请直接写出点A的坐标为________，点D的坐标为________； （2）点P为直线AB上一点，连接PO、PD，当△POD的周长最小时，求点P的坐标； （3）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形?若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $