精品解析：四川师范大学附属青台山中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

川师青台山中学九下阶段性检测 考试时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数小于，正数大于；两个负数比较大小，绝对值越大其值越小．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴四个数中最小的数是， 故选：B． 2. 据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模，仅移动端应用规模达261万，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数“261万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．根据科学记数法的表示形式表示即可． 【详解】解：261万 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，准确分析判断是解题的关键． 根据合并同类项法则可判断选项，根据积的乘方和幂的乘方可判断选项，根据完全平方公式可判断选项，根据同底数幂的乘法可判断选项． 【详解】解：，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； 故选． 4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市2023年12月某五天的空气质量指数：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（　　） A. 34 B. 28 C. 35 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．将5个数字从大到小排列，找出中间的数即为中位数． 【详解】解：将5个数字从大到小排列为61、35、34、28、27，最中间为34． 所以中位数为34． 故选：A． 5. 如图，在平行四边形中，，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，根据平行四边形的性质得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 6. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式．应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：设袋子中白球的个数为个， 则， 解得， 经检验得是原方程的解， 估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 7. 明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有两银子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤，得出等式即可． 【详解】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得： 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型． 8. 已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： … … … … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象对称轴是直线 D. 图象开口向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据与的对应值得出二次函数的对称轴直线．由表可得当时，，当时，，推出对称轴直线为，且开口向上，逐一分析判断即可． 【详解】解：当时，，当时，， 对称轴直线为， 故C选项错误，符合题意； 时，， 函数有最小值，开口向上，故A、D正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：6x2y﹣3xy＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______． 【答案】-7 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k+1=-2×3，然后解方程即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象经过点（-2，3）， ∴k+1=-2×3， ∴k=-7． 故答案为-7． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 11. 如图，，，，则的度数为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，即可得出结论． 【详解】∵△ABC≌△ADC， ∴∠BAC=∠CAD． ∵∠BCA=40°，∠B=80°， ∴∠BAC=180°﹣∠BCA﹣∠B=180°﹣40°﹣80°=60°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠BAC=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及三角形内角和定理是解答本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 13. 如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图，得，根据勾股定理得，利用三角形面积的不变性计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，勾股定理的应用，熟练掌握作图和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和实数运算的运算法则． （1）先算零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、去绝对值，然后计算乘法，再算加减即可； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 原不等式组的解集是． 15. 为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图所示的统计图，已知“查资料”的人数是人． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生共有　　　　人； （2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为　　　　，圆心角度数是　　　　度； （3）补全条形统计图； （4）该校共有学生人，估计每周使用手机时间在小时以上（不含小时）的人数． 【答案】（1） （2）， （3） 补全条形统计图如下： （4）该校学生名学生中每周使用手机时间在小时以上（不含小时）的人数大约有人 【解析】 【分析】（1）“查资料”的频数为人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）根据各组频率之和为，可求出“玩游戏”所占的百分比；进而求出“玩游戏”所所对应的圆心角度数； （3）求出“小时以上”的频数即可补全条形统计图； （4）求出样本中每周使用手机时间在小时以上（不含小时）的人数所占的百分比，即可估计总体人中，每周使用手机时间在小时以上（不含小时）的人数． 【小问1详解】 解：÷（人），即本次随机抽取的学生共有人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中“玩游戏”所对应的百分比为：， ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：“小时以上”人数为：（人）， 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校学生名学生中每周使用手机时间在小时以上（不含小时）的人数大约有人． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率频数调查人数是正确计算的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 16. 随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． （1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． （2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可． （2）证明，利用三角函数解答即可． 本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵撑杆． ∴， 故点到地面的距离为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：在水平地面上投影的长度约是． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，以为直径的交于点，点是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，，证明即可证明是的切线； （2）连接，得到，得到 ，根据正弦函数的定义，列式解答即可． 本题考查了切线的证明，勾股定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得（舍去） ∴． 故圆的半径为3． 18. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； （2）如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2） ①证明：如图， ∵直线与双曲线交于点，联立得： ， 解得：或， ∴、； ∵的横坐标，且在双曲线的图象上， ∴的坐标为， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为， ∴当 时，，即； ∴设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为为， ∴当时，，即， 过点作轴的垂线， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴直线与直线为“等腰三角线”； ② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、反比例函数与一次函数交点求解、新定义理解应用.三角形相似判定与性质等知识． ()利用“等腰三角线”的性质，可知，根据等腰三角形的性质求出的坐标，设直线的解析式为，将点的坐标代入计算即可； ()①先求出直线的解析式，在求出垂直平分，得，求出，即可得答案；②设交于点，求出，得，再求出，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴的解析式为； 【小问2详解】 ①略 ②解：设交于点，如图， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴平分，垂直平分， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴． B卷（共50分） 一．填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 估计值的整数部分是：______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据，得到的整数部分为2，从而得到的整数部分为4，解答即可．本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 20. 如图，⊙O的内接四边形ABCD的一个外角∠DAE＝45°，连结OB，OD，若将一骰子（看着一个点）投到⊙O中，则骰子落在阴影部分的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出阴影部分面积，利用阴影部分面积除以总面积，进而求出投到阴影部分的概率即可． 【详解】解：的内接四边形的一个外角， ， ， 设的半径为， ， 骰子落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，圆内接四边形的性质，概率的求法，熟悉相关性质是解题的关键． 21. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，，若，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】设，根据边轴，边轴，得到，根据题意，，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：设， ∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，，， ∵， ∴， ∴， 过点A作轴于点D， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 解得 ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，正切函数的应用，线段的表示法，熟练掌握性质，正切函数的应用是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长交的延长线于点，过点作，与射线相交于点，连接，点为的中点，若，当点从点运动到点时，点经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】：连接，根据，点为的中点，，得，判定点G在线段的垂直平分线上运动，利用特殊点，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的全等判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵，点为的中点，， ∴， ∴点G在线段的垂直平分线上运动， 当点E与点A重合时，，此时，交点为，此时是线段的中点；此时四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， 当点E与点B重合时，，交点为，此时是线段的中点； 则线段的长为点G运动的路径长， 过点作于点Q， 则， ∴ ∴，， ∵矩形中，点是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设， 则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的全等判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 二、解答题（共3个小题，共30分） 24. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 【答案】（1）0.2 （2） （3）小明选择甲品牌的共享电动车更省钱 【解析】 【分析】（1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费； （2）用待定系数法可得乙品牌共享电动车在骑行时间不低于10分钟时y与x之间的函数关系式； （3）求出骑行时间，由图象直接可得答案． 【小问1详解】 解：由图可得：甲品牌共享电动车每分钟收费（元） 故答案为：0.2； 【小问2详解】 当时，设乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式是 将，代入得： ， 解得， ∴； 【小问3详解】 小明需要骑行的时间是（分）， 从图象可知，当时，，即骑行甲品牌的共享电动车更省钱， ∴小明选择甲品牌的共享电动车更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，能正确识图． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，的最大值为，最小值为，求的取值范围； （3）点是上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作交射线于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）根据函数，得到对称轴是中线，且最大值为，结合时，的最大值为，最小值为，分类解答即可． （3）延长交于点G，设，则，， 则， ，利用正弦函数，构造二次函数求最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：根据函数， ∴对称轴是直线， ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远的点的函数值越小，且当时，函数取得最大值，且最大值为， ∵时，的最大值为，最小值为， ∴，即， 当时，． 当时，，是最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 延长交于点G，设，则，， 则， ， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵点是上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用，正弦函数的应用，平行线的性质，线段的表示法，熟练掌握二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用，正弦函数的应用是解题的关键． 26. 在正方形中，点是边上一动点，连接，过点作交的延长线于点． （1）如图1，连接，若，求证：平分； （2）如图2，若，求的值； （3）直接写出的最大值． 【答案】（1） 证明：延长交于点G， ∵正方形中， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴平分． （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，证明，结合，证明直线是线段的垂直平分线，即可证明平分； （2）延长交于点G，证明，在上取点Ｍ，使得，连接，利用正切函数，勾股定理，解方程思想，分类思想解答即可． （3）设的中点为O，，则，根据，可以判定点D，F,B都在以为直径的上，利用垂径定理，垂线段最短，三角形相似的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点G， ∵正方形中， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在上取点Ｍ，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得， ∴， 当时， ∴， ∴ ∴； 当时， ∴， ∴ ∴； 故或． 【小问3详解】 解：设的中点为O，，则， ∵ ∴点D，F,B都在以为直径的上， 过点O作，交分别于P，Q，交于点F， 则， 根据垂径定理，得， ∴， ∴， 根据垂线段最短，是最短的， ∵， ∴， ∴，比值最小， ∴，最大， ∴， 故最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，四点共圆，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，四点共圆，特殊角的三角函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川师青台山中学九下阶段性检测 考试时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模，仅移动端应用规模达261万，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数“261万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市2023年12月某五天的空气质量指数：34，28，35，61，27，则这组数据的中位数是（　　） A. 34 B. 28 C. 35 D. 27 5. 如图，在平行四边形中，，则（　 ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有两银子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： … … … … 则关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 有最小值 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象对称轴是直线 D. 图象开口向上 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：6x2y﹣3xy＝_____． 10. 反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为_______． 11. 如图，，，，则的度数为________________. 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则________． 13. 如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则______． 三、解答题（共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图所示的统计图，已知“查资料”的人数是人． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次随机抽取的学生共有　　　　人； （2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为　　　　，圆心角度数是　　　　度； （3）补全条形统计图； （4）该校共有学生人，估计每周使用手机时间在小时以上（不含小时）的人数． 16. 随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． （1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． （2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 17. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 18. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； （2）如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． B卷（共50分） 一．填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 估计值的整数部分是：______． 20. 如图，⊙O的内接四边形ABCD的一个外角∠DAE＝45°，连结OB，OD，若将一骰子（看着一个点）投到⊙O中，则骰子落在阴影部分的概率为_______． 21. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形与反比例函数的图象交于两点，轴，轴，，若，则的值是______． 23. 如图，在矩形中，点是的中点，点是边上一动点，连接并延长交的延长线于点，过点作，与射线相交于点，连接，点为的中点，若，当点从点运动到点时，点经过的路径长为______． 二、解答题（共3个小题，共30分） 24. “绿色出行，低碳环保”，共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有甲、乙两种品牌的共享电动车，收费标准y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象信息，解答下列问题： （1）甲品牌共享电动车每分钟收费_____________元． （2）当骑行时间不低于10分钟时，求乙品牌共享电动车y与x之间的函数关系式． （3）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，若小明需要骑行共享电动车去上班，小明家到单位的距离为，请通过计算帮小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，的最大值为，最小值为，求的取值范围； （3）点是上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作交射线于点，求的最大值． 26. 在正方形中，点是边上一动点，连接，过点作交的延长线于点． （1）如图1，连接，若，求证：平分； （2）如图2，若，求的值； （3）直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $