精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试题

三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量 B. 若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直 C. 是任意一个平面的一个法向量 D. 一个平面的法向量是不唯一的 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方向向量的定义，平面的法向量的定义及性质即可判断. 【详解】对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量，是正确的； 对于B，由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的； 对于C，由平面的法向量的定义可知，是任意一个平面的一个法向量，是错误的； 对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的. 故选：C. 4. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 5. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 6. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 7. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C 若，，则 D. 平行六面体体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则， 所以则，使得，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D. 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误. 故选：BC. 11. 在四面体中，已知，，则（ ） A. 直线AC与DB所成的角为 B. 直线AD与平面ABC所成角正弦值为 C. 平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为 D. 若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，把四面体放置在一个长方体中，设长方体的棱长分别为，求得，以为坐标原点，结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，把四面体放置在一个长方体中，如图所示， 设长方体的棱长分别为，可得，解得， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 对于A中，直线与为异面直线，所以直线与所成的角， 则，所以A不正确； 对于B中，由， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 可得，所以B正确； 对于C中，由， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面和平面所成的角为， 可得，所以C正确； 对于D中，取的中点，分别连接， 因为，可得和， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 所以线段为异面直线和的公垂线段，即和上两动点的最短距离， 又由，，所以，即和上两动点的最短距离为， 所以D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解. 【详解】由于，所以，解得， 故答案为：2 13. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间位置的向量关系即可求解. 【详解】平面的法向量为，依题意，，则， 因此，所以. 故答案为： 14. 正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面的法向量，根据平面，可得,进而求出的坐标，再根据外接球球心O在过的外心且垂直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面的法向量为，， 则，令，解得，所以， 又平面，所以,所以， 解得：， 再根据下图：作的平行线,分别为的中点，连接, 因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直面的垂线上， 连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等， 故,故,由题可设，,所以， 又, 所以,解得：，所以 所以, 所以球的表面积为, 故答案为： 【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于是的中点,所以，再根据空间向量的加法运算即可求出结果； （2）由于是的中点,所以，再根据空间向量的减法运算即可求出结果； （3）由于，分别，的中点，所以，又是的中点，，再根据空间向量的加法运算即可求出结果； 【小问1详解】 解：因为是的中点，所以， 所以，； 【小问2详解】 解：因为是的中点,所以， 所以，； 【小问3详解】 解：因为，分别，的中点，所以， 又是的中点，， 所以， . 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； 【小问2详解】 ， 设，则且， 解得或， 故或； 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求体对角线的长度； （2）求证：四边形为正方形. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出. （2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得. 【小问1详解】 在平行六面体中，， 由，， 得， 所以. 【小问2详解】 在平行六面体中，，则四边形为平行四边形， 由，，得是等边三角形，即，则为菱形； 又，则，即， 所以四边形为正方形. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点， （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ， ． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明； （2）设直线l的方向向量，由与两平面的法向量垂直列方程求解； （3）写出三个平面的法向量，求得与交线的方向向量，进而可求解. 【小问1详解】 取平面内的任意两点，， 则两式相减得，， 即，所以，从而， 故是平面的法向量. 【小问2详解】 记平面，的法向量为，， 设直线l的方向向量， 因为直线l为平面和平面的交线，所以，， 即，取，则， 所以直线l的单位方向向量为. 【小问3详解】 设， 由平面经过点，，， 所以，解得，即， 所以记平面、、的法向量为，，， 与（2）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得. 【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量 B. 若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直 C. 是任意一个平面的一个法向量 D. 一个平面的法向量是不唯一的 4. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 5. 空间向量在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）. A B. 1 C. D. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则，使得 D. 若，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 11. 在四面体中，已知，，则（ ） A. 直线AC与DB所成的角为 B. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为 C. 平面ABC与平面ABD夹角余弦值为 D. 若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则________． 13. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________. 14. 正方体棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）． 16. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求体对角线的长度； （2）求证：四边形为正方形. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为. （1）证明：向量是平面的法向量； （2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； （3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $